初中数学中考数学常见解题模型及思路初中数学自有定理.docx
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初中数学中考数学常见解题模型及思路初中数学自有定理
上下:
2.04左右:
2.17
初中数学压轴题常见解题模型及套路(自有定理)
A.代数篇:
1.循环小数化分数:
设元—扩大——相减(无限变有限)相消法。
例.把 0.108108108 ⋅⋅⋅ 化为分数。
设 S= 0.108108108 ⋅⋅⋅
(1)两边同乘 1000 得:
1000S=108.108108 ⋅⋅⋅
(2)
(2)-
(1)得:
999S=108从而:
S= 108余例仿此——
999
“
2.对称式计算技巧:
平方差公式—完全平方公式”—整体思想之结合:
x+y;x-y;xy;
x2 + y 2 中,知二求二。
222(2
( x + y) = x + y +2 x y⇒ 2x + 2y =x+) 2y -xy
2222
( x - y) = x + y -2 x y=( x+ )y -4 x y
加减配合,灵活变型。
1
x
1
x2
± 2 的变型几应用。
=
4.立方差公式:
a3 ± b3 (a ± b)(a2 m ab + b2)
5.等差数列求和的三种方法:
首尾相加法;梯形大法;倒序相加法。
例.求:
1+2+3+²²²+2017 的和。
三种方法举例:
略
6.等比数列求和法:
方法 +公式:
设元—乘等比—相减—求解。
例.求 1+2+4+8+16+32+²²² 2n令 S=1+2+4+8+16+32+²²²+ 2n
(1)
两边同乘 2 得:
2S=2+4+8+32+64+²²²+ 2n + 2n+1
(2)
(2)-
(1)得:
2S-S= 2n+1 - 1从而求得 S。
1n - m1111
-=
mnmn62 ⨯ 323
8.用二次函数的待定系数法求数列(图列)的通项公式 f(n)。
9.韦达定理求关于两根的代数式值的套路:
1
上下:
2.04左右:
2.17
11 11
xy xy 2
;xy2 +x2y等 (x、y 为一元二次方程方程的两
根)
⑵.非对称式:
根的定义—降次—变和积(一代二韦)。
10. 三大非负数:
三大永正数;
2
11.常用最值式:
(x ± y) ± 正数 等(非负数+正数)。
12.换元大法。
13.自圆其说加减法与两肋插刀法。
代数式或函数变型(如配方)只能加一个数,同时
减去同一个数;如果是方程则只需要两边同时加上或者减去同一个数即可。
14.拆项法;配方法。
原理同上。
15.十字相乘法。
16.统计概率:
两查(抽样;普查);三事(必然;不可能;随机);四图(折线;
条形;扇形;直方);三数;三差;两频(频数、频率)一率(概率)等。
17.一元二次方程应用题:
每每问题套路;利率问题套路;握手、送花问题套路。
18.|a|=|b|,则 a=±b 在动点问题中的巧妙应用(避免烦琐的因为点的相对位置变化
起的符号变化问题(平面直角坐标系中动态问题之“坐距互变”时巧施绝对值
的代数解法)。
19.四个角的正切值:
22.5 度的正切值为:
根号 2-167.5 度的正切值为根号 2+1
75 度的正切值为 2+根号 315 度的正切值为 2-根号 3
B.几何篇:
OO
1.两套:
等线套;等角套。
D
B
A
C
B
D C
A
①等角套(如图所示):
条件 :
∠AOB=∠COD结论:
∠AOC=∠BOD说明:
2
上下:
2.04左右:
2.17
②可以视做由旋转产生的“共点等角”
等线套(如图所示):
条件:
AB=CD结论:
AC=BD 说明:
可以看做由平移产生。
ACBDABCD
2.两条平行线夹一角。
一角 =两旁角的和。
条件:
AB∥CD结论:
∠P=∠AEP+∠PFC
AEB
P
CFD
3.平行线夹等(同)底三角形:
面积相等。
同底三角形面积相等,则过顶点的直线与
底所在直线平行。
CDm
ABn
若:
m∥n则 S
V ABC
= S
V ABD
反之:
若 S
V ABC
= S
V ABD
则:
m∥n (反比例模型中的
“垂平”模型的证明用之)
4.已知三角形两边定一边的范围。
“大于两边的差,小于两边的和”。
5.三角形的角分线角:
A
A
⑴两内角平分线交角:
∠ I= 90 +
∠A
2
I
⑵一内一外角分线交角:
∠ I=
∠A
2
I
B C
B
C
⑶两外平分线交角:
∠ I= 90 -
∠A
2
A
I
5.三角形的角平分线:
两边的比=分线段(第三边)的对应比。
B C
D
3
条件:
AD、BE、CF 为中线
上下:
2.04 左右:
2.17
BD
=
AC DC
1 2
3 3
A
2
33
F
E
2
3
k
B
C
D
7.大名鼎鼎的等面积法:
底与高的积相等。
三高造相似。
三高造辅助圆。
条件:
AD、BE、CF 为三角形的高——
结论:
AD²BC=BE²AC=CF²AB
A
F
△ADB∽△CFB 等。
E
B、C、E、F、四点共圆等。
B
D
C
8.高与角分线的夹角等于另外两角差的一半。
(两中线垂直的三角形叫做:
中垂三角形
2
——a2 + b2 = 5 c其中 a、b 为中线所在的边)
①条件:
AD、AE 分别为三角形的角平分线和高,
(AB≠AC)。
A
结论:
∠DAE= ∠C - ∠B
2
B C
E D
②条件:
BE、CF 为三角形的中线,且 BE⊥CF
C
结论:
a2 + b2 = 5 c2A C + B C= 5
A B
③如图:
∠D=∠A+∠B+∠C
F
E
A
AB
D
B
C
4
上下:
2.04左右:
2.17
9.三角形一分为二面积的比及其推广到蝴蝶面积。
A
①在三角形 ABC 中, AD , BE , CF 相交于同一点 O ,
那么 S:
S= BD :
DC .
∆ABO∆ACO
F
E
O
②任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”):
B
D
D C
AO :
OC = (S
S :
S = S :
S
124
1
3 或者 S1 ⨯ S3 = S2 ⨯ S
+ S ):
(S + S )
2 4 3
4
A
S 2
S 1
O
S 4
S 3
B
C
10.等腰三角形三线合一的逆定理:
两线合一亦等腰;;一垂两等变等腰;一垂三等变
等直。
等腰三角形存在性常用公式:
底角的余弦= 底边的一半
腰
■重要推论:
已知三角形中一个角的余弦:
这个角的一边³这个角的余弦 =另一边
的一半,此三角形为等腰三角形(一边为腰,另一边为底)。
如图:
AB ∙ cos B = BC ⇔V ABC为等腰三角形 (BC 为底)
2
■“两线一圆模型”:
已知线段 AB(两定点 A、B),
A
在平面内找一点 C,使三角形 ABC 为等腰三角形。
B C
B
这样的点 C 的集合在以 A、 为圆心,AB 为半径的圆和 AB 的垂直平分线上(与
A、B 共线的点除外)
(等腰三角形存在性问题)
AB
11.直角三角形斜高的求法。
斜高 = 两直角边的乘积
斜边
■直角三角形存在性之“两线一圆模型”:
已知线段 AB(两定点 A、B),
在平面内找一点 C,使三角形 ABC 为等腰三角形。
5
上下:
2.04左右:
2.17
满足条件的 C 的集合在:
过 A、B 做线段 AB 的垂线及以 AB 为直径的圆上的除
A、B 两点的任意点都可与 A、B 组成直角三角形。
(所谓的“两线一圆”)。
12.等边三角形面积的求法。
S边长为a的等边三角形
=
3
4
a 2
A
B
13.求面积的套路:
⑴.复杂图形:
一拆用加;二放用减。
⑵.三角形:
①面积公式;②两边与夹角正弦的
积的一半(遇钝变补);③铅垂线法(宽高法);
高
④等边三角形的面积。
⑤利用:
相似比的平方
=面积比(借助面积可求的三角形的面积和
相似比求解)。
⑥让出去:
化归。
宽
(3)平行四边形面积=两邻边与其夹角的正弦的乘积;菱形的面积 =边长的平方与一个
内角的正弦的乘积;梯形的面积 =两对角线与其夹角的正弦的乘积的一半。
(4).共(有一个角相等)角三角形:
面积的比等于等角两边乘积的比(鸟头定理)。
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应
角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
如图在 △ ABC 中, D, E 分别是 AB, AC 上的点如图 ⑴(或 D 在 BA 的延长线上, E 在 AC 上),
则 S
△ ABC :
S
△ ADE = ( AB ⨯ AC ) :
( AD ⨯ AE )
D A
A
D
E
E
B
C
B C
6
上下:
2.04左右:
2.17
14.三大蝴蝶:
⑴一线两等边。
条件:
△ABC、△ECD 为等边三角形,B、C、D 共线
E
A
则有:
△BCE≌△ACD
△DCG≌△ECF△BCF≌△ACG
K
F G
B
C D
旋转 60°形成的全等三角形!
!
!
∴△CGF 也是等边三角形。
还有:
AB∥CEDE∥AC 等结论成立!
∠AKB=60° CK 平分∠BKD∠BKC=60°=∠DKCK、F、C、G 四点共圆。
⑵一个三角形两等边(费马点:
见课件)。
D
A
条件:
以△ABC 的两边 AB、AC 为边向外作
E
等边三角形 ADB 和等边三角形 ACE
N
M
G
则有:
△ADC≌△ABE(SAS)∴CD=BE
B
C
∠DGB=60°∠DGE=120° 又 S
V ADC
S
ABE
分别作高 AM、AN,
则 AM=AN(面积相等,底等,则高等),∴AG 是∠DGE 的平分线!
∠DGA=∠EGA=60°
⑶一个三角形两个正方形。
F
条件:
四边形 GBAF 和正方形 ACDE
E
A
G
结论:
FC=BEFC⊥BEAH 是∠FHE 的
角平分线(∠FHA=∠EHA=45°)
A、F、B、F 四点共圆。
H
B C
D
7
上下:
2.04左右:
2.17
15.平行四边形的面积关系。
平行四边形的对角顶点到过对称中心的任意一条直线(一
般找平行于两轴的直线)的距离相等。
A
D
① SV AED
=
1
S
2 平行四边形 ABCD
O
B
E C
②平行四边形的对角顶点到过对称中心的任意一条直线(一般找平行于两轴的直线)
的距离相等。
16.平行四边形对角线平方的和等于四边平方的和:
AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2
17.矩形一边上任意一等到对角线距离的和 =长 ∙ 宽
对角线
18.矩形内任意一点到对角顶点距离的平方和相等。
如图:
矩形 ABCD 内任意一点 P,则有:
PA2 + PC 2 = PB 2 + PD 2
19.矩形精典对折图。
如图:
矩形 ABCD 沿对角线,BD 对折,C 点到了
E 点,则一对全等(小直角三角形)一对相似,两
个等腰。
例 AE:
BD=3:
5 则 AB:
BC=4:
8=1:
2
这是因为相似比为 3:
5,所以 EF:
FB=3:
5,
A D
P
B C
F
A D
B C
因此 ED=4(勾股)而 AD=DF+FA=5+3=8!
!
20.正方形垂等图。
垂直 ⇔ 相等横平竖直;改斜归正的辅助线方法。
AGMD
N
E
B
F
H C
8
上下:
2.04左右:
2.17
21.正方形三兄弟成面积图 = 中正方形之面积。
A
D
三个正方形,如图摆放:
AN 正好过 E 点。
技巧:
AC∥EC∥FN(对角线平行:
此题题眼)
E F
H
M
N
△ AGN 的面积
AGE 的面积
EGN 的面积
△AGE 的面积
ECG 的面积
B
C G
条件:
三个正方形,AN恰好过E点
结论:
三角形AGN的面积=正方形
ECGF的面积
△EGN 的面积
EGF 的面积 ∴结论成立!
A
D
M
22.两正方形垂直相等图。
如图,ABCD、CGFE 是正方形:
① △DCG≌CBCE; ②BE⊥DG。
B
E M F
C G
③BE=GD④A、B、M、D 四点共圆(双歪八)
∠ADB=∠AMB=∠AMD=45° △ADK∽△AMD(斜射影) AD 2 = AK ∙ AM
(
③若 DM 2 = ME ∙ MA 则:
BD=BG△BDG 为等腰三角形。
∠GDC=∠DAM=∠DBM=∠MBG)
此时:
MA=MB
④若 MA=ME,也能推出③中的结论。
23,正方形内含半角(其中产生的两个双八字相似和
A E
D
H
G
等腰直角三角形)——邻边相等的圆内接四边形
内含半角图。
F
K
条件:
正方形 ABCD 中,∠EBF=45°
B
C
结论:
①EF=AE+FC
②△DEF 的周长=正方形周长的一半。
③∠DCA=∠EBF=45°∴B、C、F、H
四点共圆(双八字)!
!
∠BHF=90°∴BHF 为等腰直角三角形!
!
!
④同上:
∠DAC=∠EBF=45°B、K、E、A 四点共圆(双八字),
∠BKE=90°△BKE 为等腰直角三角形!
9
上下:
2.04左右:
2.17
24.正方形内含半角模型的推广及等腰直角三角形内含半角图。
①正方形内含 45°模型推广到圆内接四边形(对角互补的四边形),有一组邻边相
等,且相等的邻边的夹角内含半角。
F
C
条件:
四边形 ABCD 中,BA=BC
E
1
2
结论:
EF=AE+CF(其余根据已推导)
B
D
F
A
C
②等腰直角三角形内含 45°
条件:
等腰直角三角形 ABC,∠FBE=45°
F
E
E F2 = A F+
C E
BC
③其他特殊的等腰三角形“顶角”内含半角图。
(根据上述模型类比解决:
用三角比找
到相关边的关系)。
25.正方形互补型(互补型):
①对称中心有直角:
OE=OF
②直角顶点在对角线上:
PB=PQ
(图①图②两种情况都成立)
10
上下:
2.04左右:
2.17
③ 小结
26.正方形 123 成 135 度。
点 E 是正方形 ABCD 内的一点,
连接 AE,BE,CE
将ABE
绕点 B 顺时针旋转
°到CBE′的位置.
若 AE=1,BE=2,CE=3,则∠BE′C=__135__度.
27.相似模型:
⑴.正 A、歪 A;正八、歪八;正射影、歪射影;正 K、歪 K(一线三等角)。
射影图中:
两直角边平方的比等于其在斜边上的射影的比!
(细讲:
自画图)
⑵.双八字(共圆图之一)。
A
D
条件:
∠BAC=∠BDC(同弦对等角)
③
①
②
结论:
B、C、D、A 四点共圆
三角形①∽三角形②
④
B C
三角形③∽三角形④(相交弦定理的逆定理:
同样可得前面的结论)
其中 AB、BC、CD、DA 四条弦所对的四对圆周角相等。
11
上下:
2.04左右:
2.17
⑶.线束定理:
两平行线被过一点的
O
三线所截得的四条“横线”
对应成比例——
A
B C
m
条件:
直线 m∥n
D E F n
结论:
ABBC等比例
DEEF
⑷.平行于一边的线段截得的图形(三角形、四边形)面积之间的关系。
条件:
DE∥BC
结论:
图形中“对应”线段的比,相关面积
A
的比,知一求它!
烂熟于心!
D
E
O
B
C
A
⑸.三角形内叉叉型:
知两比求其它比。
BE:
EC、CD:
DA、AF:
FE 、 BF:
FD
D
知二求二(过已知比的节点做平行线)
F
B
E C
⑹.四线六点型:
过其中的三条线组成的被标记的一个三角形的一个顶点,做不过这个
顶点的直线的平行线(有两条),问题迎刃而解。
A
技巧:
过 A、B、C 中一点,做不过这点的直线
D
的平行线,问题就能得到解决!
如过 C 点可做
E
AB 或者 DE 的平行线!
善于初纷繁复杂的图形
B
F
C
中找到这样的“模型”是关键。
12
上下:
2.04左右:
2.17
⑺.歪 A:
下面的四边形为圆内接四边形(歪八):
歪 A 生歪八,歪八补型得歪 A。
条件:
∠①=∠②
结论:
下面的四边形为圆内接四边形(歪八):
A
歪 A 生歪八,歪八补型得歪 A(对角互补的四边形
补型〖延长 BD、CE 相交于点 A〗可得歪 A)。
D ①
E
②
B
C
28.解直角三角形;解斜三角形(双勾股)。
⑴.直角三角形:
内高型;外高型;双高型(梯形);单高型(直角梯形)。
口诀:
角优先、多求边;造模型;设表列。
⑵.任意三角形:
知三求三(三边;两角一边;两边及夹角)——尽量不破坏已知的边
和角(内高;外高)。
29.解三角形之:
角优先,套模型:
内高型;外高型;双高型;单高型(直角梯形)
内高外高
单高双高
(附加模型:
坡度;坡角;斜率;仰角;府角;方向角——图略)
13
上下:
2.04左右:
2.17
30.手拉手模型:
14
上下:
2.04左右:
2.17
31.三平三交造平四(两对对角顶点横、纵坐标的和分别相等)。
万能公式 ——
条件:
平行四边形 ABCD(x ,y )
AA
⎧ x + x = x + x
CBD
⎩ yA + yC = yB + yD
用中点或平移动两种思路都可推理 —
(x ,y )
D D
32.共圆图:
B(x ,y ) C(x ,y )
B B C C
⑴.共边两等角(直角) —— 见 27②“双八字”;“相交弦定理”的逆定理。
⑵.对角互补(对角有两直角);外角等于内对角。
图略。
等腰梯形四顶点永远共圆。
33.垂径图;弦切图;双切图;切割图;双割图;相交弦定理(对顶三角形相似);平
行弦;圆内共点等弦所成角被过这点的直径(半径)平分。
垂径图
双切图
平行弦图
弦切图+切割图双割图
共点等弦图
A
F
EG
B
C
D
相交弦+对顶三角形相似
15
上下:
2.04左右:
2.17
34.等腰直角三角形斜边上的中点为顶点的直角构造全等。
如上图所示——
条件:
AB=AC∠BAC=90°,D 为 BC 之中点,∠EDF=90°
结论:
△ADF≌△BDES
1
S
2 V ABC
△EDF 为等腰直角三角形
E、D、F、A 四点共圆DE 2 = DF 2 = DG ∙ DAAE+AF=AB=AC
1
2
35.相似+公共边比例中项(平方:
共边相似 +勾股定理)。
37.方程思想设表列;几何勿忘角优先;以角定边找关系;比例已知用负元。
38.两边分别平行或相等的两个角相等或互补。
39.中点四边形口诀:
对垂为矩;对等为菱。
菱矩互变;任四为平。
平正自变。
40.正 A 面积大比法(知一比求全比)—— 见 27 之④
42.三角形内十字叉:
知二比求全比(六个比知二求四) ——见 27 之⑤
43.捆绑旋转大法;矩形大法(横平竖直大法);改斜归正法(过直角三角形的各顶点)。
44.平行四边形之三定一动破解大法(对角顶点横、纵坐标之和不变)。
45.平行四边形之两定两动破解决大法(利用各种全等)
注意:
44、45 已经合并为一种方法(方程法)
46.角分线、等腰、平行知二推一。
①AC 平分∠BAD
②AB=CB
③BC∥AD
“二推一”
⊕⊕→⊕
47.用数轴法确定多动点的临界点。
找拐点—定对应参数值—分段—确定分类范围。
11
42
16
上下:
2.04左右:
2.17
49.动点问题的解题套路:
⑴.相似三角形的存在性:
调包计。
⑵.等腰三角形的存在性(两点间距离公式;余弦大法;几何法)
⑶.直角三角形存在性:
射逆;勾逆;斜中逆;一线三直角之逆;直线垂直交轨大法。
⑷.面积的函数关系及最值:
正弦大法;铅垂线法;拆放法;相似比转化法。
⑸.将军饮马问题:
线段和最小、差最大;动点变定线段怎么办;两路一村;两路两村
⑹.平行四边形的存在性:
三定一动(相对顶点横、纵坐标和相等);两动两定(按照
定点之间线段分别做对角线及边分类:
平行四边形相关的全等性质求坐标)。
最终用
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- 初中 数学 中考 常见 解题 模型 思路 自有 定理