北京西城第二学期高二期末理科试题及答案.docx
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北京西城第二学期高二期末理科试题及答案
北京市西城区2017—2018学年度第二学期期末试卷
高二数学(理科)2018.7
试卷满分:
150分考试时间:
120分钟
本试卷共5页,共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
第一部分(选择题共40分)
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.
1.复数( )
(A)
(B)
(C)
(D)
2.若函数,则()
(A)
(B)
(C)
(D)
3.设函数的导函数为,若为奇函数,则有()
(A)
(B)
(C)
(D)
4.射击中每次击中目标得1分,未击中目标得0分.已知某运动员每次射击击中目标的概率是,假设每次射击击中目标与否互不影响,则他射击3次的得分的数学期望是()
(A)
(B)
(C)
(D)
y
O1x
1
-1
5.已知一个二次函数的图象如图所示,那么()
(A)(B)
(C)(D)
6.有5名男医生和3名女医生.现要从中选3名医生组成地震医疗小组,要求医疗小组中男医生和女医生都要有,那么不同的组队种数有()
(A)种
(B)种
(C)种
(D)种
7.已知函数,若,x0为的一个极大值点,则实数的取值范围是()
(A)
(B)
(C)
(D)前三个答案都不对
8.某个产品有若干零部件构成,加工时需要经过7道工序,分别记为A,B,C,D,E,F,G.其中,有些工序因为是制造不同的零部件,所以可以在几台机器上同时加工;有些工序因为是对同一个零部件进行处理,所以存在加工顺序关系.若加工工序Y必须要在工序X完成后才能开工,则称X为Y的紧前工序.现将各工序的加工次序及所需时间(单位:
小时)列表如下:
工序
A
B
C
D
E
F
G
加工时间
3
4
2
2
2
1
5
紧前工序
无
C
无
C
A,B
D
A,B
现有两台性能相同的生产机器同时加工该产品,则完成该产品的最短加工时间是()
(假定每道工序只能安排在一台机器上,且不能间断.)
(A)个小时
(B)个小时
(C)个小时
(D)个小时
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.
9.函数的图象在处的切线的斜率为___________.
10.在的展开式中,常数项是___________.(用数字作答)
11.已知某随机变量的分布列如下():
1
P
那么的数学期望___________,的方差=___________.
12.若4名演讲比赛获奖学生和3名指导教师站在一排照相,则其中任意2名教师不相邻的站法有_______种.(用数字作答)
13.设函数,其中.若对于任意,,则实数a的取值范围是____.
14.某电影院共有个座位.某天,这家电影院上、下午各演一场电影.看电影的是甲、乙、丙三所中学的学生,三所学校的观影人数分别是985人,1010人,2019人(同一所学校的学生既可看上午场,又可看下午场,但每人只能看一场).已知无论如何排座位,这天观影时总存在这样的一个座位,上、下午在这个座位上坐的是同一所学校的学生,那么n的可能取值有_____个.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
在数列中,,,其中.
(Ⅰ)计算,,的值;
(Ⅱ)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法加以证明.
16.(本小题满分13分)
在奥运知识有奖问答竞赛中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题,已知甲答对这道题的概率是,甲、乙两人都回答错误的概率是,乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否是相互独立的.
(Ⅰ)求乙答对这道题的概率;
(Ⅱ)求甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题的概率.
17.(本小题满分13分)
设,函数在区间上单调递增,在区间上单调递减.
(Ⅰ)若,求的值;
(Ⅱ)求函数在区间上的最小值(用b表示).
18.(本小题满分13分)
甲、乙两个篮球队在4次不同比赛中的得分情况如下:
甲队
88,91,92,96
乙队
89,93,9,92
乙队记录中有一个数字模糊(即表中阴影部分),无法确认,假设这个数字具有随机性,并用m表示.
(Ⅰ)在4次比赛中,求乙队平均得分超过甲队平均得分的概率;
(Ⅱ)当时,分别从甲、乙两队的4次比赛中各随机选取1次,记这2个比赛得分之差的绝对值为,求随机变量的分布列;
(Ⅲ)如果乙队得分数据的方差不小于甲队得分数据的方差,写出的取值集合.(结论不要求证明)
19.(本小题满分14分)
设函数,其中.
(Ⅰ)当时,求函数的极值;
(Ⅱ)当时,证明:
函数不可能存在两个零点.
20.(本小题满分14分)
已知函数.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)若函数在区间上为单调函数,求实数的取值范围;
(Ⅲ)设函数,其中.证明:
的图象在图象的下方.
北京市西城区2017—2018学年度第二学期期末试卷
高二数学(理科)参考答案及评分标准
2018.7
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.C
2.B
3.D
4.A
5.C
6.A
7.B
8.A
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.
10.
11.,
12.
13.
14.
注:
一题两空的题目,第一空2分,第二空3分.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.
15.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
由题意,得,,.…………………………3分
(Ⅱ)解:
由,,,猜想.…………………………5分
以下用数学归纳法证明:
对任何的,.
证明:
①当时,由已知,得左边,右边,
所以时等式成立.………………………7分
②假设当时,成立,………………………8分
则时,,
所以当时,等式也成立.…………………………12分
根据①和②,可知对于任何,成立.……………………13分
16.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件A,B,C,………………1分
设乙答对这道题的概率,
由于每人回答问题正确与否是相互独立的,因此A,B,C是相互独立事件.
由题意,并根据相互独立事件同时发生的概率公式,
得…………………………4分
解得,
所以,乙对这道题的概率为.…………………………6分
(Ⅱ)解:
设“甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题”为事件M,丙答对这道题的
概率,…………………………7分
由(Ⅰ),并根据相互独立事件同时发生的概率公式,
得,…………………………9分
解得.…………………………10分
甲、乙、丙三人都回答错误的概率为
.……………………12分
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中,至少有一人答
对这道题”是对立事件,
所以,所求事件概率为.…………………………13分
17.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
求导,得.…………………………1分
因为函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,
所以.…………………………3分
又因为,
所以,验证知其符合题意.…………………………4分
(Ⅱ)解:
由(Ⅰ),得,即.
所以,.……5分
当时,得当时,,
此时,函数在上单调递增.这与题意不符.……………………7分
当时,
随着的变化,与的变化情况如下表:
极大值
极小值
所以函数在,上单调递增,在上单调递减.
由题意,得.…………………………9分
所以当时,函数在上的最小值为;……………11分
当,函数在上的最小值为,
综上,当时,在上的最小值为;当,在上的最小值为.…………………………13分
(或写成:
函数在上的最小值为).
18.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
设“乙队平均得分超过甲队平均得分”为事件,…………………………1分
依题意,共有10种可能.…………………………2分
由乙队平均得分超过甲队平均得分,得,
解得,
所以当时,乙队平均得分超过甲队平均得分,共6种可能.……4分
所以乙队平均得分超过甲队平均得分的概率.…………………5分
(Ⅱ)解:
当时,记甲队的4次比赛得分88,91,92,96分别为,乙队的4次比赛得分89,93,95,92分别为,
则分别从甲、乙两队的4次比赛中各随机选取1次,所有可能的得分结果有种,它们是:
,,,,,,,,,,,,,,,,………6分
则这2个比赛得分之差的绝对值为的所有取值为.……………7分
因此,,,,,,.…………………………9分
所以随机变量的分布列为:
0
1
2
3
4
5
7
…………………………10分
(Ⅲ)解:
.…………………………13分
19.(本小题满分14分)
(Ⅰ)解:
求导,得,……………………2分
因为,所以,
所以当时,,函数为减函数;
当时,,函数为增函数.
故当时,存在极小值;不存在极大值.……………5分
(Ⅱ)证明:
解方程,得,.
当,即时,
随着的变化,与的变化情况如下表:
1
极大值
极小值
…………………………7分
所以函数在,上单调递增,在上单调递减.
又因为,
所以函数至多在区间存在一个零点;………………………9分
当,即时,
因为(当且仅当时等号成立),
所以在上单调递增,
所以函数至多存在一个零点;…………………………11分
当,即时,
随着的变化,与的变化情况如下表:
1
极大值
极小值
…………………………12分
所以函数在,上单调递增,在上单调递减.
又因为,
所以当时,,
所以函数至多在区间存在一个零点.
综上,当时函数不可能存在两个零点.…………………………14分
20.(本小题满分14分)
(Ⅰ)解:
求导,得,…………………………1分
又因为,,
所以曲线在点处的切线方程为.…………………3分
(Ⅱ)解:
设函数,
求导,得,
因为函数在区间上为单调函数,
所以在区间上,恒成立,或者恒成立,…………4分
又因为,且,
所以在区间上,只能是恒成立,即恒成立.…6分
又因为函数在区间上单调递减,
所以,
所以.…………………………8分
(Ⅲ)证明:
设,.……………………9分
求导
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