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倒立摆创新实践报告
一、倒立摆系统介绍
1、倒立摆系统简介
倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合,其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统,可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。
GIP系列倒立摆系统是固高科技有限公司,为全方位满足各类电机拖动和自动控制课程的教学需要,而研制、开发的实验教学平台。
GIP系列的主导产品由直线运动型、旋转运动型和平面运动型三个子系列组成。
虽然倒立摆的形式和结构各异,但所有的倒立摆都具有以下的特性:
非线性:
倒立摆是一个典型的非线性复杂系统,实际中可以通过线性化得到系统的近似模型,线性化处理后再进行控制,也可以利用非线性控制理论对其进行控制,倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。
不确定性:
主要是模型误差以及机械传动间隙,各种阻力等,实际控制中,一般通过减少各种误差,如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差,利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。
耦合性:
主要是模型误差以及机械传动间隙,各种阻力等,实际控制中一立摆的各级摆杆之间,以及和运动模块之间都有很强的耦合关系,倒立摆控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算,忽略一些次要的耦合量。
开环不稳定性:
倒立摆的稳定状态只有两个,即在垂直向上的状态和垂直向下的状态,其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点,垂直向下为稳定的平衡点。
约束限制:
由于机构的限制,如运动模块行程限制,电机力矩限制等。
为制造方便和降低成本,倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小,行程限制对于倒立摆的摆起尤为突出,容易出现小车的撞边现象。
倒立摆作为典型的快速、多变量,高阶非线形不稳定系统,一直是控制领域研究的热点。
它不但是验证现代控制理论方法的典型实验装置,而且其控制方法在一般工业过程中亦有着广泛的应用。
对倒立摆控制系统的研究可归结为非线形多变量绝对不稳定系统的研究。
早期的倒立摆控制律大多采用状态反馈,近年来,随着智能控制理论的发展,有人开始将模糊控制算法,神经网络用于倒立摆的控制。
由于倒立摆是多变量系统,控制目标多对模糊控制而言,其输入为每个变量的误差,误差的导数,因此在多变量情况下,模糊控制器规则较多,结构复杂,实现较困难。
与之相比,人工神经网络的最大优点在于它善于对网络参数的自适应学习,具有很好的非线形逼近特性和泛化能力。
利用前馈网络的误差反向传播算法,在多变量情况下具有精度高、实现快,算法简单,鲁棒性好等优点,能很好的满足系统的控制要求。
2、交流伺服电机
伺服电动机又称执行电动机,在自动控制系统中,用作执行元件,把所收到的电信号转换成电动机轴上的角位移或角速度输出。
分为直流和交流伺服电动机两大类,其主要特点是,当信号电压为零时无自转现象,转速随着转矩的增加而匀速下降。
伺服电机内部的转子是永磁铁,驱动器控制的U/V/W三相电形成电磁场,转子在此磁场的作用下转动,同时电机自带的编码器反馈信号给驱动器,驱动器根据反馈值与目标值进行比较,调整转子转动的角度。
伺服电机的精度决定于编码器的精度(线数)。
3、编码器
旋转编码器是一种角位移传感器,它分为光电式、接触式和电磁感应式三种,其中光电式脉冲编码器是闭环控制系统中最常用的位置传感器。
图1光电编码器原理示意图
旋转编码器有增量编码器和绝对编码器两种,图2-1为光电式增量编码器示意图,它由发光元件、光电码盘、光敏元件和信号处理电路组成。
当码盘随工作轴一起转动时,光源透过光电码盘上的光栏板形成忽明忽暗的光信号,光敏元件把光信号转换成电信号,然后通过信号处理电路的整形、放大、分频、记数、译码后输出。
为了测量出转向,使光栏板的两个狭缝比码盘两个狭缝距离小1/4节距,这样两个光敏元件的输出信号就相差π/2相位,将输出信号送入鉴向电路,即可判断码盘的旋转方向。
光电式增量编码器的测量精度取决于它所能分辨的最小角度α(分辨角、分辨率),而这与码盘圆周内所分狭缝的线数有关。
其中n——编码器线数。
由于光电式脉冲编码盘每转过一个分辨角就发出一个脉冲信号,因此,根据脉冲数目可得出工作轴的回转角度,由传动比换算出直线位移距离;根据脉冲频率可得工作轴的转速;根据光栏板上两条狭缝中信号的相位先后,可判断光电码盘的正、反转。
绝对编码器通过与位数相对应的发光二极管和光敏二极管对输出的二进制码来检测旋转角度。
对于线数为n的编码器,设信号采集卡倍频数为m,则有角度换算关系为:
式中φ——为编码器轴转角;
N——编码器读数;
对于电机编码器,在倒立摆使用中需要把编码器读数转化为小车的水平位置,以下转换关系:
式中l——小车位移;
Φ——同步带轮直径。
二、系统建模
系统建模可以分为两种:
机理建模和实验建模。
实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号,激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出,应用数学手段建立起系统的输入-输出关系。
这里面包括输入信号的设计选取,输出信号的精确检测,数学算法的研究等等内容。
机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上,通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入-状态关系。
对于倒立摆系统,由于其本身是自不稳定的系统,实验建模存在一定的困难。
但是忽略掉一些次要的因素后,倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统,可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。
下面我们采用其中的牛顿-欧拉方法和拉格朗日方法分别建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。
1、微分方程的推导
在忽略了空气阻力和各种摩擦之后,可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统,如图2所示。
我们不妨做以下假设:
M小车质量
m摆杆质量
b小车摩擦系数
l摆杆转动轴心到杆质心的长度
I摆杆惯量
F加在小车上的力
x小车位置
图2直线一级倒立摆模型
φ摆杆与垂直向上方向的夹角;
θ摆杆与垂直向下方向的夹角(考虑到摆杆初始位置为竖直向下)
图3是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中,N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
注意:
在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定,因而矢量方向定义如图所示,图示方向为矢量正方向。
图3小车及摆杆受力分析
分析小车水平方向所受的合力,可以得到以下方程:
式1
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式:
式2
即:
式3
把这个等式代入式1中,就得到系统的第一个运动方程:
式4
为了推出系统的第二个运动方程,我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析,可以得到下面方程:
式5
式6
力矩平衡方程如下:
式7
注意:
此方程中力矩的方向,由于θ=π+φ,cosφ=−cosθ,sinφ=−sinθ,故等式前面有负号。
合并这两个方程,约去P和N,得到第二个运动方程:
式8
设θ=π+φ(φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角),假设φ与1(单位是弧度)相比很小,即φ<<1,则可以进行近似处理:
。
用u来代表被控对象的输入力F,线性化后两个运动方程如下:
式9
对式9进行拉普拉斯变换,得到
式10
注意:
推导传递函数时假设初始条件为0。
由于输出为角度φ,求解方程组的第一个方程,可以得到:
式11
或
式12
如果令v=x,则有:
式13
把上式代入方程组的第二个方程,得到:
式14
整理后得到传递函数:
式15
其中
设系统状态空间方程为:
式16
方程组对
解代数方程,得到解如下:
式17
整理后得到系统状态空间方程:
式18
由式9的第一个方程为:
对于质量均匀分布的摆杆有:
于是可以得到:
化简得到:
式19
设
则有:
式20
另外,也可以利用MATLAB中tf2ss命令对式13进行转化,求得上述状态方程。
2、实际系统模型
实际系统的模型参数如下:
M小车质量1.096Kg
m摆杆质量0.109Kg
b小车摩擦系数0.1N/m/sec
l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m
I摆杆惯量0.0034kg*m*m
把上述参数代入,可以得到系统的实际模型。
摆杆角度和小车位移的传递函数:
式21
摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为:
式22
摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数:
式23
以外界作用力作为输入的系统状态方程:
式24
需要说明的是,在固高科技所有提供的控制器设计和程序中,采用的都是以小车的加速度作为系统的输入,如果用户需要采用力矩控制的方法,可以参考以上把外界作用力作为输入的各式。
3、系统可控性分析
对于连续时间系统:
系统状态完全可控的条件为:
当且仅当向量组
是线性无关的,或n×n维矩阵
的秩为n。
系统的输出可控性的条件为:
当且仅当矩阵
的秩等于输出向量y的维数。
应用以上原理对系统进行可控性分析,
代入上式,并在MATLAB中计算:
clear;
A=[0100;
0000;
0001;
0029.40];
B=[0103]';
C=[1000;
0100];
D=[00]';
cona=[BA*BA^2*BA^3*B];
cona2=[C*BC*A*BC*A^2*BC*A^3*BD];
rank(cona)
rank(cona2)
4、系统阶跃响应分析
上面已经得到系统的状态方程,先对其进行阶跃响应分析,在MATLAB中键入以下命令:
clear;
A=[0100;
0000;
0001;
0029.40];
B=[0103]';
C=[1000;
0100];
D=[00]';
step(A,B,C,D)
得到:
图4直线一级倒立摆单位阶跃响应仿真
可以看出,在单位阶跃响应作用下,小车位置和摆杆角度都是发散的。
三、系统控制器设计
1、PID控制分析
此设计采用PID控制实现。
经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统,控制器设计时一般需要有关被控对象的较精确模型。
PID控制器因其结构简单,容易调节,且不需要对系统建立精确的模型,在控制上应用较广。
首先,对于倒立摆系统输出量为摆杆的角度,它的平衡位置为垂直向上的情况。
系统控制结构框图如下:
图5直线一级倒立摆闭环系统图
图中KD(s)是控制器传递函数,G(s)是被控对象传递函数。
考虑到输入r(s)=0,结构图可以很容易的变换成:
图6直线一级倒立摆闭环系统简化图
该系统的输出为:
其中num——被控对象传递函数的分子项
den——被控对象传递函数的分母项
numPID——PID控制器传递函数的分子项
denPID——PID控制器传递函数的分母项
通过分析上式就可以得到系统的各项性能。
摆杆角度和小车加速度的传递函数:
PID控制器的传递函数为:
需仔细调节PID控制器的参数,以得到满意的控制效果。
前面的讨论只考虑了摆杆角度,那么,在控制的过程中,小车位置如何变化呢?
小车位置输出为:
通过对控制量v双重积分即可以得到小车位置。
2、PID控制参数设定及仿真
由实际系统的物理模型:
在Simulink中建立如图所示的直线一级倒立摆模型:
设置PID参数:
实验结果如下图所示:
图20直线一级倒立摆PID控制实验结果1
图21直线一级倒立摆PID控制实验结果2
四、总结
五、参考资料
- 配套讲稿:
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- 特殊限制:
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- 关 键 词:
- 倒立 创新 实践 报告