相似三角形专项训练试题.docx
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相似三角形专项训练试题
相似三角形训练试题
.解答题(共30小题)
1.(2016?
福州)如图,在△ABC中,AB=AC=1,BC=,在AC边上截取AD=BC,
BD.
通过计算,判断AD2与AC?
CD的大小关系;求∠ABD的度数.
2.(2016?
阜阳校级一模)如图,△ABC中,点E在DC的延长线上,且CE=CD,过点
∠C=90°,AC=3,BC=4,点D是AB的中点,
B作BF∥DE交AE的延长线于点F,交AC
的延长线于点G.
(1)求证:
AB=BG;
P的位置,使△BCP与△BCD相似.
(2)若点P是直线BG上的一点,试确定点
3.(2016春?
昌平区期末)如图,在△ABCAM的垂线,交CB的延长线于点D.求证:
中,∠BAC=90°,M是BC的中点,过点A作△DBA∽△DAC.
4.(2016春?
盐城校级月考)已知,如图,==,那么△ABD与△BCE相似吗?
为什么?
5.(2016春?
郴州校级月考)如图,△ABC与△ADE中,∠C=∠E,∠1=∠2;
(1)
(2)
ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动,如果P、Q同时出发,用t(秒)表示运动时间(0≤t≤6),那么当t为何值时,△APQ与△ABD相似?
说明理由.
7.(2015?
上饶校级模拟)如图,在正三角形ABC中,D,E分别在AC,AB上,且
AE=EB.求证:
△AED∽△CBD.
8.(2015秋?
寿光市期末)如图所示,Rt△ABC中,已知∠BAC=90°,AB=AC=2,点D在BC上运动(不能到达点B,C),过点D作∠ADE=45°,DE交AC于点E.
(1)求证:
△ABD∽△DCE;
(2)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.
9.(2015春?
潍坊校级期末)如图,D是△ABC的BC边上一点,E为AD上一点,若∠DAC=∠B,CD=CE,试说明△ACE∽△BAD.
10.(2015秋?
太原期末)如图,在△ABC中,AB=8cm,BC=16cm,动点P从点A开始沿AB边运动,速度为2cm/s;动点Q从点B开始沿BC边运动,速度为4cm/s;如果P、Q两动点同时运动,那么何时△QBP与△ABC相似?
11.(2015秋?
睢宁县期末)如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,D是AC上的一点,且AD=2,试在AB上确定一点E,使得△ADE与原三角形相似,并求出AE的长.
12.(2015秋?
太和县校级期末)如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点E、F在AB上,∠ECF=45°.求证:
△ACF∽△BEC.
13.(2015秋?
包河区期末)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BC=10cm,AC=6cm,在线段BC上,动点P以2cm/s的速度从点B向点C匀速运动;同时在线段CA上,点Q以acm/s的速度从点C向点A匀速运动,当点P到达点C(或点Q到达点A)时,两点运动停止,在运动过程中.
1)当点P运动s时,△CPQ与△ABC第一次相似,求点Q的速度a;
2)当△CPQ与△ABC第二次相似时,求点P总共运动了多少秒?
14.(2015春?
宁波校级期末)如图,四边形ABCD和ACED都是平行四边形,B,C,E在
一条直线上,点R为DE的中点,BR分别交AC,CD于点P,Q.
(1)则图中相似三角形(相似比为1除外)共有对;
(2)求线段BP:
PQ:
QR,并说明理由.
15.(2015春?
成武县期末)如图,已知△ABC中,AB=,AC=,BC=6,点M为
AB的中点,在线段AC上取点N,使△AMN与△ABC相似,求MN的长.
16.(2015秋?
通州区期末)王华在学习相似三角形时,在北京市义务教育教科书九年级上
册第31页遇到这样一道题,如图1,在△ABC中,P是边AB上的一点,连接CP,要使△
ACP∽△ABC,还需要补充的一个条件是,或.
请回答:
(1)王华补充的条件是,或.
(2)请你参考上面的图形和结论,探究,解答下面的问题:
22
如图2,在△ABC中,∠A=30°,AC2=AB2+AB?
BC.求∠C的度数.
17.(2015秋?
平顶山校级期中)已知:
如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为1cm/s;点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s;连接PQ.若设运动的时间为t(s)(0 18.(2015秋? 建湖县校级月考)如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E分别在BC、AB上,且∠BDE=∠CAD.求证: △ADE∽△ABD. 19.(2014? 厦门模拟)如图,在△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,F为CA延长线上一点,∠F=∠C. (1)若BC=8,求FD的长; (2)若AB=AC,求证: △ADE∽△DFE. ABC,点D、E分别在AB、AC上,连结DE并延长 交BC的延长线于点F,连结DC、BE,若∠BDE+∠BCE=180°.请写出图中的两对相似三 24.(2014秋? 腾冲县校级期末)如图,E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点, 25(.2014秋? 晋江市校级期中)在△ABC和△A1B1C1中,已知: AB=6cm,BC=8cm,AC=11cm, A1B1=18cm,B1C1=24cm,A1C1=33cm. 求证: △ABC∽△A1B1C1. 26.(2014秋? 定陶县期中)如图,M为线段AB的中点,AE与BD交于点C,∠DME=∠A=∠B,且DM交AC于F,ME交BC于G,写出图中两对相似三角形,并证明其中的一对. 27.(2014秋? 浙江校级期中)如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,EC⊥AB,垂足为 ABC和等腰直角 28.(2014秋? 凌河区校级期中)如图,在同一平面内,将等腰直角三角形三角形AFG摆放在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°.若△ABC固定不动,△AFG绕点A旋转. (1)如图 (1)在旋转过程中,当AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合)时,图中相似三角形有哪几对,请逐一写出;并选择一对加以证明. 2)如图 (2)在旋转过程中,当G点在BC边上,AF与BC边交于点D, (1)中的结论 为BC上的中点,连接DE,EF,DF. 1)求证: DF=EF; 2)直接写出除直角三角形以外的所有相似三角形;30.(2013秋? 巴中期末)△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于BC的中点处. ①如图甲,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证: △BEM∽△CNE;②如图乙,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N.求 证: △ECN∽△MEN. 2016年09月26日wx98wx的初中数学组卷 一.解答题(共30小题) 1.(2016? 福州)如图,在△ 参考答案与试题解析 ABC中,AB=AC=1,BC=,在AC边上截取AD=BC, 连接BD. (1)通过计算,判断AD与AC? CD的大小关系; (2)求∠ABD的度数. 【解答】解: (1)∵AD=BC,BC=, ∴AD=,DC=1﹣ 2 ∴AD==,AC? CD=1×= 2 AD=AC? CD,即. 又∵∠C=∠C,∴△BCD∽△ACB. ∠DBC=∠A. ∴DB=CB=AD. ∴∠A=∠ABD,∠C=∠BDC. 设∠A=x,则∠ABD=x,∠DBC=x,∠C=2x. ∵∠A+∠ABC+∠C=180°, ∴x+2x+2x=180°. 解得: x=36°. ∴∠ABD=36°. 2.(2016? 阜阳校级一模)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点D是AB的中点,点E在DC的延长线上,且CE=CD,过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F,交AC的延长线于点G. (1)求证: AB=BG; 2)若点P是直线BG上的一点,试确定点P的位置,使△BCP与△BCD相似. 【解答】 (1)证明: ∵BF∥DE, ∴==, ∴==, ∵AD=BD, ∴AC=CG,AE=EF, 在△ABC和△GBC中: , ∴△ABC≌△GBC(SAS), ∴AB=BG; (2)解: 当BP长为或时,△BCP与△BCD相似; ∵AC=3,BC=4, ∴AB=5, ∴CD=2.5, ∴∠DCB=∠DBC, ∵DE∥BF, ∴∠DCB=∠CBP, ∴∠DBC=∠CBP, 第一种情况: 若∠CDB=∠CPB,如图1: , ∴△BCP≌△BCD(AAS), ∴BP=CD=2.5; 第二种情况: 若∠PCB=∠CDB,过C点作CH⊥BG于H点.如图2: ∵∠CBD=∠CBP, ∴△BPC∽△BCD, ∵CH⊥BG, ∴∠ACB=∠CHB=90°,∠ABC=∠CBH,∴△ABC∽△CBH, ∴=, ∴=, ∴BH=,BP=. 综上所述: 当PB=2.5或时,△BCP与△BCD相似. 3.(2016春? 昌平区期末)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,M是BC的中点,过点A作AM的垂线,交CB的延长线于点D.求证: △DBA∽△DAC. 【解答】证明: ∵∠BAC=90°,点M是BC的中点,∴AM=CM, ∴∠C=∠CAM, ∵DA⊥AM, ∴∠DAM=90°, ∴∠DAB=∠CAM, ∴∠DAB=∠C, ∵∠D=∠D, ∴△DBA∽△DAC. 什么? 【解答】解: ∵==, ∴△ABC∽△DBE, ∴∠ABC=∠DBE, ∴∠ABC﹣∠DBC=∠DBE﹣∠DBC, 即∠ABD=∠CBE, == ∴△ABD∽△CBE. 5.(2016春? 郴州校级月考)如图,△ABC与△ADE中,∠C=∠E,∠1=∠2; (1)证明: △ABC∽△ADE. (2)请你再添加一个条件,使△ABC≌△ADE.你补充的条件为: AB=AD(答案不唯一) ∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC, ∴∠BAC=∠DAE. ∵∠C=∠E, ∴△ABC∽△ADE. (2)补充的条件为: AB=AD(答案不唯一);理由如下: 由 (1)得: ∠BAC=∠DAE, 在△ABC和△ADE中,,∴△ABC≌△ADE; 故答案为: AB=AD(答案不唯一)6.(2016春? 淮安月考)在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动,如果P、Q同时出发,用t(秒)表示运动时间(0≤t≤6),那么当t为何值时,△APQ与△ABD相似? 说明理由. 【解答】解: 设AP=2tcm,DQ=tcm, ∵AB=12cm,AD=6cm, ∴AQ=(6﹣t)cm, ∵∠A=∠A, ∴①当=时,△APQ∽△ABD, ∴=, ∴=, 解得: t=3; ②当=时,△APQ∽△ADB, ∴=, ∴=, 解得: t=1.2. ∴当t=3或1.2时,△APQ与△ABD相似. 7.(2015? 上饶校级模拟)如图,在正三角形ABC中,D,E分别在AC,AB上,且 AE=EB.求证: △AED∽△CBD. 【解答】证明: ∵△ABC为正三角形, ∴∠A=∠C=60°,BC=AB, ∵AE=BE, ∴CB=2AE, ∵, ∵,∴CD=2AD, ∴==, 而∠A=∠C, ∴△AED∽△CBD. 8.(2015秋? 寿光市期末)如图所示,Rt△ABC中,已知∠BAC=90°,AB=AC=2,点D在BC上运动(不能到达点B,C),过点D作∠ADE=45°,DE交AC于点E. (1)求证: △ABD∽△DCE; (2)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长. 【解答】 (1)证明: Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,∴∠B=∠C=45°. ∵∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=∠ADE+∠EDC,∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD. 又∵∠ADE=45°,∴45°+∠EDC=45°+∠BAD. ∴∠EDC=∠BAD.∴△ABD∽△DCE. (2)解: 讨论: ①若AD=AE时,∠DAE=90°,此时D点与点B重合,不合题意. ②若AD=DE时,△ABD与△DCE的相似比为1,此时△ABD≌△DCE,于是AB=AC=2,BC=2,AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣(2﹣2)=4﹣2 ③若AE=DE,此时∠DAE=∠ADE=45°, 如下图所示易知AD⊥BC,DE⊥AC,且AD=DC.由等腰三角形的三线合一可知: AE=CE=AC=1. 9.(2015春? 潍坊校级期末)如图,D是△ABC的BC边上一点,E为AD上一点,若∠DAC=∠B,CD=CE,试说明△ACE∽△BAD. 【解答】证明: ∵CE=CD, ∴∠CED=∠CDE, ∴∠AEC=∠ADB, ∵∠DAC=∠B, ∴△ACE∽△BAD. 10.(2015秋? 太原期末)如图,在△ABC中,AB=8cm,BC=16cm,动点P从点A开始沿AB边运动,速度为2cm/s;动点Q从点B开始沿BC边运动,速度为4cm/s;如果P、Q两动点同时运动,那么何时△QBP与△ABC相似? 【解答】解: 设经过t秒时,以△QBC与△ABC相似,则AP=2t,BP=8﹣2t,BQ=4t,∵∠PBQ=∠ABC, ∴当=时,△BPQ∽△BAC,即=,解得t=2(s); 当=时,△BPQ∽△BCA,即=,解得t=0.8(s); 即经过2秒或0.8秒时,△QBC与△ABC相似. 11.(2015秋? 睢宁县期末)如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,D是AC上的一点,且AD=2,试在AB上确定一点E,使得△ADE与原三角形相似,并求出AE的长. 【解答】解: 在AB上存在一点E,使得△ADE与△ABC相似,理由是: 分为两种情况: ①当∠ADE=∠C时,如图1: ∵∠A=∠A,∠ADE=∠C, ∴△ADE∽△ACB, ∴ ∴ ∴, ∴, ∴AE=; ②当∠ADE=∠C时,如: 2: ∵∠A=∠A,∠ADE=∠ACB, ∴△ADE∽△ABC, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴AE=. ∴在AB上存在一点E,使得△ADE与△ABC相似,符合条件的AE的长是或. 12.(2015秋? 太和县校级期末)如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点E、F在AB上,∠ECF=45°.求证: △ACF∽△BEC. 【解答】证明: ∵∠ACB=90°,AC=BC, ∴∠A=∠B=45°, ∴∠BEC=∠ACE+∠A=∠ACE+45°, ∵∠ECF=45°, ∴∠ACF=∠ACE+45°, ∴△ACF∽△BEC. 13.(2015秋? 包河区期末)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BC=10cm,AC=6cm,在线段BC上,动点P以2cm/s的速度从点B向点C匀速运动;同时在线段CA上,点Q以acm/s 的速度从点C向点A匀速运动,当点P到达点C(或点Q到达点A)时,两点运动停止,在运动过程中. 1)当点P运动s时,△CPQ与△ABC第一次相似,求点Q的速度a; 2)当△CPQ与△ABC第二次相似时,求点P总共运动了多少秒? ∵∠QCP=∠ACB, ×2=, ∴当=,△CPQ∽△CBA,即=,解得a=1, ∴点Q的速度a为1cm/s; (2)如图2,设点P总共运动了t秒, ∵∠QCP=∠ACB, ∴当=,△CPQ∽△CAB,即=,解得t=, ∴点P总共运动了秒. 14.(2015春? 宁波校级期末)如图,四边形ABCD和ACED都是平行四边形,B,C,E在一条直线上,点R为DE的中点,BR分别交AC,CD于点P,Q. (1)则图中相似三角形(相似比为1除外)共有3对; (2)求线段BP: PQ: QR,并说明理由. BC=6,点M为 15.(2015春? 成武县期末)如图,已知△ABC中,AB=,AC=, AB的中点,在线段AC上取点N,使△AMN与△ABC相似,求MN的长. 【解答】解: ①图1,作MN∥BC交AC于点N,则△AMN∽△ABC,有, 有, ∵M为AB中点,AB=, ∴AM=, ∵BC=6, ∴MN=3; ②图2,作∠ANM=∠B,则△ANM∽△ABC,有, 有, ∵M为AB中点,AB=, ∴AM=, ∵BC=6,AC=, ∴MN=, ∴MN的长为3或. 16.(2015秋? 通州区期末)王华在学习相似三角形时,在北京市义务教育教科书九年级上册第31页遇到这样一道题,如图1,在△ABC中,P是边AB上的一点,连接CP,要使△ACP∽△ABC,还需要补充的一个条件是∠ACP=∠B(或∠APC=∠ACB),或 AC2=AP? AB. 请回答: 2 (1)王华补充的条件是∠ACP=∠B(或∠APC=∠ACB),或AC2=AP? AB. (2)请你参考上面的图形和结论,探究,解答下面的问题: 如图2,在△ABC中,∠A=30°,AC2=AB2+AB? BC.求∠C的度数. 解答】解: ∵∠A=∠A, ∴当∠ACP=∠B,或∠APC=∠ACB; 2或,即AC2=AP? AB时,△ACP∽△ABC; 2故答案为: ∠ACP=∠B(或∠APC=∠ACB),或AC2=AP? AB; (1)王华补充的条件是: ∠ACP=∠B(或∠APC=∠ACB);或AC2=AP? AB;理由如下: ∵∠A=∠A, ∴当∠ACP=∠B,或∠APC=∠ACB; 或,即AC2=AP? AB时,△ACP∽△ABC; 故答案为: ∠ACP=∠B(或∠APC=∠ACB),或AC2=AP? AB; (2)延长AB到点D,使BD=BC,连接CD,如图所示: 22 ∵AC2=AB2+AB? BC=AB(AB+BC)=AB(AB+BD)=AB? AD, ∴,∴, 又∵∠A=∠A,∴△ACB∽△ADC,∴∠ACB=∠D, ∵BC=BD, ∴∠BCD=∠D,在△ACD中,∠ACB+∠BCD+∠D+∠A=180°,∴3∠ACB+30°=180°, ∴∠ACB=50°. 17.(2015秋? 平顶山校级期中)已知: 如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为1cm/s;点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s;连接PQ.若设运动的时间为t(s)(0 解答】解: ∵∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm, ∴AB==5, 则BP=t,AQ=2t,AP=5﹣t, ∵∠PAQ=∠BAC, 当=时,△APQ∽△ABC,即=,解得t=; 当=时,△APQ∽△ACB,即=,解得t=; 答: t为s或s时,以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似. BC、AB上, 18.(2015秋? 建湖县校级月考)如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E分别在且∠BDE=∠CAD.求证: △ADE∽△ABD. ∴,DE∥BC. ∴∠AED=∠C. ∵∠F=∠C, ∴∠AED=∠F, ∴FD==4; (2)∵AB=AC,DE∥BC. ∴∠B=∠C=∠AED=∠ADE, ∵∠AED=∠F, ∴∠ADE=∠F, 又∵∠AED=∠AED, ∴△
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