圆的有关性质.docx
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圆的有关性质
圆的有关性质
(一)
一、内容综述:
1.圆的有关概念:
(1).圆的对称性:
圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,圆有无数条对称轴。
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
圆还有旋转不变性。
(2).点和圆的位置关系:
设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则:
点在圆内
d 点在圆上 d=r 点在圆外 d>r 2.有关性质: (1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 (2)同弧或等弧所对的圆周角相等,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。 (3)半圆(或直径)所对的圆周角是直角,900的圆周角所对的弦是直径。 (4)圆内接四边形的性质: 圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。 3.难点讲解: 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的实质可以理解为: 一条直线,如果它具有两个性质: (1)经过圆心; (2)垂直于弦,那么这条直线就一定具有另外三个性质: (3)平分弦,(4)平分弦所对的劣弧,(5)平分弦所对的优弧(如图所示). 如果将定理的条件与结论一个换一个或两个换两个,就可得到九个逆命题,并能证明它们都是真命题.教科书把较重要的作为推论l,而其余的作为练习题。 总之,一条直线,如果它五个性质中的任何两个成立,那么它也一定具有其余三个性质. 推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。 (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧, 推论1的实质是: 一条直线(如图) (1)若满足: i)经过圆心,ii)平分弦,则可推出: iii)垂直于弦,iv)平分弦所对的劣弧,v)平分弦所对的优弧. (2)若满足: i)垂直于弦,ii)平分弦。 则可推出: iii)经过圆心,iv)平分弦所对的劣弧,v)平分弦所对的优弧. (3)若满足;i)经过圆心,ii)平分弦所对的一条弧,则可推出: iii)垂直于弦,iv)平分弦,v)平分弦所对的另一条弧. 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等. 如图中,若AB∥CD,则 注意: 在圆中,解有关弦的问题时,常常需要作“垂直于弦的直径作为辅助线。 三、例题分析: 例1.如图,AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交,过A,B向CD引垂线,垂足分别为E,F,求证: CE=DF。 证明: 过O作OM⊥CD于M, ∴CM=DM, ∵AE⊥CD,BF⊥CD, ∴AE//OM//FB, 又∵O是AB中点, ∴M是EF中点(平行线等分线段定理), ∴EM=MF, ∴CE=DF。 说明: 此例是垂径定理及平行线等分线段定理相结合构成的命题。 由于C、D两点是轴对称点,欲证CE=DF,那么E,F也必是轴对称点,由于E,F是垂足,那么E,F也应关于某条垂线成轴对称点,这样,这两个知识的结合部分仍是含有共同的对称轴。 例2.已知△ABC内接于⊙O,且AB=AC,⊙O的半径等于6cm,O点到BC的距离为2cm,求AB的长。 分析: 因为不知道△ABC是锐角三角形,还是钝角三角形(由已知分析,△ABC不会是直角三角形,因为若是直角三角形,则BC为斜边,圆心O在BC上,这与O点到BC的距离为2cm矛盾),因此圆心有可能在三角形内部,也可能在三角形外部,所以需分两种情况进行讨论: (1)假若△ABC是锐角三角形,如图,由AB=AC, 可知, ,∴点A是弧BC中点, 连结AO并延长交BC于D,由垂径推论 可得AD⊥BC,且BD=CD,这样OD=2cm, 再连结OB,在Rt△OBD中OB=6cm, 可求出BD的长,则AD长可求出, 则在Rt△ABD中可求出AB的长。 (2)若 △ABC是钝角三角形,如图, 连结AO交BC于D,先证OD⊥BC, OD平分BC,再连结OB,由OB=6cm, OD=2cm,求出BD长,然后求出AD的长, 从而在Rt△ADB中求出AB的长。 略解: (1)连结AO并延长交BC于D,连结OB, ∵AB=AC, ∴ ,∴AD⊥BC且BD=CD, ∴OD=2,BO=6, 在Rt△OBD中,由勾股定理得: BD= = =4 , 在Rt△ADB中,AD=OA+OD=8, 由勾股定理可得: AB= = =4 (cm) (2)同 (1)添加辅助线求出BD=4 , 在Rt△ADB中,AD=AO-OD=6-2=4, 由勾股定理可得: AB= = =4 (cm), ∴AB=4 cm或4 cm。 说明: 凡是与三角形外接圆有关的问题,一定要首先判断三角形的形状,确定圆心与三角形的位置关系,防止丢解或多解。 例3.已知如图: 直线AB与⊙O交于C,D,且OA=OB。 求证: AC=BD。 证明: 作OE⊥AB于点E, ∴CE=ED, ∵OA=OB, ∴AE=BE, ∴AC=BD。 请想一下,若将此例的图形做如下变化,将如何证明。 变化一,已知: 如图,OA=OB,求证: AC=BD。 变化二: 已知如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点,求证: AC=BD。 说明: 这三道题的共同特点是均需要过点O作弦心距,利用垂径定理进行证明,所变化的是A,B两点位置。 例4.如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=1cm,EB=5cm,∠DEB=600,求CD的长。 解: 作OF⊥CD于F,连结OD, ∵AE=1,EB=5, ∴AB=6,∴OA= =3, ∴OE=OA-AE=3-1=2, 在Rt△OEF中, ∵∠DEB=600, ∴∠EOF=300,∴EF= OE=1, ∴OF= = , 在Rt△OFD中,OF= ,OD=OA=3, ∴DF= = = (cm), ∵OF⊥CD,∴DF=CF, ∴CD=2DF=2 (cm) 说明: 因为垂径定理涉及垂直关系,所以就可出现与半径相关的直角三角形,求弦长,弦心距,半径问题,常常可以利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形,用其性质来解决问题,因而,在圆中常作弦心距或连结半径作为辅助线,然后用垂径定理来解题。 三、自测题 (一)判断正误: 1.直径是圆的对称轴。 2.三点确定一个圆 3.平分弦的直径垂直弦 4.在同圆中,等弦对等弧 5.圆心角相等,它们所对的弧相等 6.在同圆中,等弧对等弦 7.线段AB是⊙O的直径,点C在直线AB上,如果AC 8.正方形ABCD,根据经过不在同一直线上的三个点可以确定一个圆,它可以确定四个圆。 9.在⊙O中, ,那么它们所对弦的关系是AB=2CD。 10.⊙O的半径为5cm,点P到圆的最小距离与最大距离之比为2: 3,则OP长为1cm。 (二)解答题: 1.如图,在⊙O中,弦AB//EF,连结OE,OF交AB于C,D, 求证: AC=DB。 2.如图,AB是⊙O直径,CD是弦,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F,连结OE,OF, 求证: ∠OEF=∠OFE 四: 答案 (一) 1.×(直径所在直线是圆的对称轴) 2.×(经过不在同一直线上的三个点确定一个圆) 3.×(平分弦(不是直径)的直径垂直弦) 4.×(在同圆中,等弦所对的优(劣)弧等,因为一条弦对两条弧) 5.× 6、√ 7、× 8、× 9、× 10、×(OP的长是1cm或25cm) (二) 1.证明: 作ON⊥EF交AB于M, ∵AB//EF, ∴OM⊥AB, ∵OE=OF, ∴∠OEF=∠OFE, ∵∠OCD=∠OEF,∠ODC=∠OFE, ∴∠OCD=∠ODC, ∴OC=OD, ∴CM=DM, ∵AM=BM, ∴AC=BD 2.证明: 作OM⊥CD于M, ∵AE⊥CD于E,BF⊥CD于F, ∴AE//OM//BF, ∵OA=OB,∴EM=FM, ∴OE=OF,∴∠OEF=∠OFE 圆的有关性质 (二) 一、内容综述: 这部分圆的内容中,解题时常添加的辅助线。 1.连半径。 目的: 因为同圆的半径相等,所以可以产生等腰三角形。 2.作弦心距。 目的: 可以利用垂径定理。 若既连半径,又作弦心距,则可产生RtΔ。 3.连结弧的中点与圆心,目的: 可以利用垂径定理的推论。 4.作直径所对的圆周角,目的: 产生RtΔ。 5.补全圆内接四边形,例如: 连结AD, 目的: 利用圆内接四边形的性质: ∠ADE=∠B。 二、例题分析: 例1.已知: 如图,AB是⊙O直径,弦AC∥半径OD,求证: 分析: 此题证弧等 证弧等常采用的方法有: 1.圆的两条平行弦所夹的弧等。 2.由垂径定理及其推论可得两弧等。 3.在同圆或等圆中,如果两个圆心角等(或两条弦,两条弦的弦心距等)那么它们所对应的弧等。 4.在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧等,因此这题可以通过添加辅助线采取不同的方法来证明, 方 法1: 证明: 延长DO交⊙O于E, ∵AC∥OD,∴ 又∵∠AOE=∠DOB,∴ ∴ 此方法是: 利用圆的两条平行弦所夹的弧等,及在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧等,进行证明。 方 法2: 证明: 连结BC,交OD于E, ∵AB是直径,∴∠ACB=900, 又∵AC∥OD, ∴∠OEB=∠ACB=900,即OD⊥BC, ∴ 此方法是: 利用垂径定理,证明。 方 法3: 证明: 连结AD,∵OA=OD,∴∠1=∠2, 又∵AC∥OD,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3, ∴ 此方法是: 利用在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧等进行证明。 方 法4: 证明: 连结OC, ∵OA=OC,∴∠A=∠C,又∵AC∥OD, ∴∠A=∠1,∠2=∠C,∴∠1=∠2, ∴ 此方法是: 利用在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧等进行证明。 例2.如 图,已知: AD是半圆的直径, AB=BC=1cm,AD=4cm.求CD的长。 分析: 若连结AC,则CD在RtΔACD中,AD长已知,若能求出AC的长,则可利用勾股定理求出CD,如何求AC的长呢? 从已知可推得 ,即B为 的中点,连结OB,由垂径定理推论得OB垂直平分AC,求出AC的一半即可。 解: 连结AC,OB,交AC于P, ∵AB=BC,∴ ∴AP=CP,BP⊥AC, 设BP为xcm,则OP=OB-BP=2-x, 在RtΔABP中: AB2-BP2=AP2,在RtΔAPO中: AO2-OP2=AP2, ∴AB2-BP2=AO2-OP2, ∴1-x2=4-(2-x)2 ∴x= 即BP= ∴AP= = = , ∴AC=2AP= , ∵AD是直径,∴∠ACD=900, 在RtΔACD中,由勾股定理得: CD= = = , 答: CD为 cm。 说明: 连结AC的目的产生RtΔ,连结OB的目的是利用垂径定理的推论使OB垂直平分AC。 例3.如图,AB为⊙O的直径,CD为弦,AB⊥CD于K,E为劣弧 上的点,且 ,AE的延长线交DC的延长线于F,求证: AE·CF=AB·KD。 分析: 欲证等积式,化成比例式 = ,由于这个比例式不能直接证出,则要寻找“代换”,由已知可得KD=CK,因此要证比例式 = ,这个比例式也不能直接证出,则要进行“等比代换”或“等积代换”。 因此要找出比例式,这个比例式中至少有两条线段是要证的比例式中的线段。 由已知 ,可得C为 的中点,连结OC可推得OC∥AE,所以 = ,即 = ,现在只要能证 = 即可。 就是“中间比”。 由已知可推得ΔOCK∽ΔABE,所以 = 即 = 。 证明: 连结OC,BE, ∵ ,∴∠A=∠1,∴OC∥AF, ∴ = ,∵OA=OC,∴ = , ∵AB是直径,∴∠AEB=900,∵AK⊥CD, ∴CK=DK,∴∠OKC=∠AEB=900,∴ΔOCK∽ΔABE, ∴ = ,∴ = ,∴ = , ∴AE·CF=AB·KD。 三、自我测试: 1.四边形ABCD内接于圆,AB、DC的延长线相交于E,BC、AD的延长线相交于F,求证: = 。 2.已知⊙O是以等腰ΔABC的一腰AB为直径的圆,它交另一腰AC于E,交BC于D,求证: BC=2DE。 3.如图 (1)圆内接四边形ABCD中,AC>AD,延长AD到D',使AD'=AC,连结BD'交圆于点E,交AC于C',且 AC'=AD。 求证 (1)ΔABE是等腰三角形; (2)AB2=AC·AD。 4.已知如图 (2),AB是⊙O的直径,弦PQ交AB于M,并且PM=MO。 求证: = 。 四、答案: 1.证明: 如图(3),连结AC,BD, ∽ΔDEB = ΔACF∽ΔBDF = ∴ = = 2.证明: 如图(4),连结AD。 = 3.证明: 如图 (5),连结BD。 (1) ≌ΔADC ∠D'+∠EAD=∠ABD+∠EBD ∠AEB=∠ABE AB=AE ΔABE是等腰三角形。 (2)AB=AE ΔABC∽ΔAC'B = AB2=AC·AD。 4.证明: 如图(6),连结PO并延长PO交⊙O于N,连结OQ, ∵PM=MO,∴∠P=∠AOP, ∵∠P , ∠AOP , ∴ = , 又∵∠AOP=∠BON, ∴ ,∵ ∴ = 。
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