数学新高考一轮复习理集合.docx
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数学新高考一轮复习理集合
第一节
集__合
1.集合的相关概念
(1)集合元素的三个特性:
确定性、无序性、互异性.
(2)元素与集合的两种关系:
属于,记为;不属于,记为.
(3)集合的三种表示方法:
列举法、描述法、图示法.
(4)五个特定的集合:
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N+
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
记法
基本关系
子集
集合A的元素都是集合B的元素
x∈A⇒x∈B
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不属于A
A⊆B,且存在x0∈B,x0∉A
AB或BA
相等
集合A,B的元素完全相同
A⊆B,B⊆A
A=B
空集
不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集
任意的x,x∉∅,∅⊆A
∅
3.集合的基本运算
表示
运算
文字语言
符号语言
图形语言
记法
交集
属于集合A属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A,且x∈B}
A∩B
并集
属于集合A属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A,或x∈B}
A∪B
补集
全集U中属于集合A的元素组成的集合
{x|x∈U,且x∉A}
∁UA
4.集合问题中的几个基本结论
(1)集合A是其本身的子集,即A⊆A;
(2)子集关系的传递性,即A⊆B,B⊆C⇒A⊆C;
(3)A∪A=A∩A=,A∪∅=,A∩∅=,∁UU=,∁U∅=.
(4)A∩B=A⇒A⊆B,A∪B=B⇒A⊆B.
[小题体验]
1.已知集合A={1,2},B={x|0<x<5,x∈N},则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A.1 B.2
C.3D.4
答案:
D
2.已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为________.
答案:
5
3.(2018·江苏高考)已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么A∩B=________.
解析:
A∩B={0,1,2,8}∩{-1,1,6,8}={1,8}.
答案:
{1,8}
1.认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件.
2.解题时注意区分两大关系:
一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系.
3.易忘空集的特殊性,在写集合的子集时不要忘了空集和它本身.
4.运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心.
5.在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.
[小题纠偏]
1.(2019·浙江名校联考)已知∁RM={x|ln|x|>1},N=,则M∪N=( )
A.(0,e] B.[-e,+∞)
C.(-∞,-e]∪(0,+∞)D.[-e,e]
解析:
选B 由ln|x|>1得|x|>e,∴M=[-e,e].N=(0,+∞),∴M∪N=[-e,+∞).故选B.
2.若集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且B⊆A,则由m的可能取值组成的集合为________.
解析:
当m+1>2m-1,即m<2时,B=∅,满足B⊆A;若B≠∅,且满足B⊆A,如图所示,
则即所以2≤m≤3.故m<2或2≤m≤3,即所求集合为{m|m≤3}.
答案:
{m|m≤3}
3.已知集合A={0,x+1,x2-5x},若-4∈A,则实数x的值为________.
解析:
∵-4∈A,∴x+1=-4或x2-5x=-4.
∴x=-5或x=1或x=4.
若x=1,则A={0,2,-4},满足条件;
若x=4,则A={0,5,-4},满足条件;
若x=-5,则A={0,-4,50},满足条件.
所以x=1或x=4或-5.
答案:
1或4或-5
[题组练透]
1.下列命题正确的有( )
①很小的实数可以构成集合;
②(易错题)集合与集合{(x,y)|y=x2-1}是同一个集合;
③1,,,,0.5这些数组成的集合有5个元素;
④集合{(x,y)|xy≤0,x,y∈R}是指第二和第四象限内的点集.
A.0个 B.1个
C.2个D.3个
解析:
选A 由题意得,①不满足集合的确定性,故错误;②两个集合,一个是数集,一个是点集,故错误;③中=0.5,出现了重复,不满足集合的互异性,故错误;④不仅仅表示的是第二、四象限的点,还可表示原点,故错误.综上,没有正确命题,故选A.
2.已知a>0,b∈R,若={a-b,0,a2},则a2+b2的值为( )
A.2B.4
C.6D.8
解析:
选B 由已知得a≠0,则=0,所以b=0,于是a2=4,即a=2或a=-2,因为a>0,所以a=2,故a2+b2=22+02=4.
3.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a等于( )
A.B.
C.0D.0或
解析:
选D 若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.当a=0时,x=,符合题意.
当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0,得a=,
所以a的值为0或.
4.(易错题)(2019·江西重点中学协作体联考)设集合A={1,2,3},B={2,3,4},M={x|x=ab,a∈A,b∈B},则M中的元素个数为________.
解析:
结合题意列表计算M中所有可能的值如下:
b
a
2
3
4
1
2
3
4
2
4
6
8
3
6
9
12
观察可得:
M={2,3,4,6,8,9,12},据此可知M中的元素个数为7.
答案:
7
[谨记通法]
与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集.
(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性.
[典例引领]
1.已知集合M={1,2,3,4},则集合P={x|x∈M且2x∉M}的子集有( )
A.8个 B.4个
C.3个D.2个
解析:
选B 由题意,得P={3,4},所以集合P的子集有22=4个.
2.已知集合A={x|x2+x-2=0},B={x|ax=1},若B⊆A,则a=( )
A.-或1B.2或-1
C.-2或1或0D.-或1或0
解析:
选D 集合A={x|x2+x-2=0}={-2,1}.当x=-2时,-2a=1,解得a=-;当x=1时,a=1;又因为B是空集时也符合题意,这时a=0,故选D.
[由题悟法]
集合间基本关系的两种判定方法和一个关键
[即时应用]
1.集合{a,b,c,d,e}的真子集的个数为( )
A.32B.31
C.30D.29
解析:
选B 因为集合有5个元素,所以其子集的个数为25=32个,其真子集的个数为25-1=31个.
2.已知集合A={x|-1<x<3},B={x|-m<x<m},若B⊆A,则m的取值范围为________.
解析:
当m≤0时,B=∅,显然B⊆A.
当m>0时,
∵A={x|-1<x<3}.
当B⊆A时,在数轴上标出两集合,如图,
∴∴0<m≤1.
综上所述m的取值范围为(-∞,1].
答案:
(-∞,1]
[锁定考向]
集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系,考查对集合的理解及不等式的有关知识;有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题,考查学生的灵活处理问题的能力.
常见的命题角度有:
(1)集合的运算;
(2)利用集合运算求参数;
(3)新定义集合问题.
[题点全练]
角度一:
集合的运算
1.(2018·北京高考)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=( )
A.{0,1}B.{-1,0,1}
C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}
解析:
选A ∵A={x||x|<2}={x|-2<x<2},
B={-2,0,1,2},
∴A∩B={0,1}.故选A.
2.(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁RA=( )
A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}
C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}
解析:
选B ∵x2-x-2>0,∴(x-2)(x+1)>0,
∴x>2或x<-1,即A={x|x>2或x<-1}.
则∁RA={x|-1≤x≤2}.故选B.
角度二:
利用集合运算求参数
3.(2019·浙江联盟校联考)已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<a},若P∪Q={x|-1<x<2},则实数a的值为( )
A.1B.2
C.D.
解析:
选B 因为P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<a},所以当a≤1时,P∪Q={x|-1<x<1},不符合题意;当a>1时,P∪Q={x|-1<x<a},结合P∪Q={x|-1<x<2},可得a=2.
角度三:
新定义集合问题
4.如果集合A,B,同时满足A∪B={1,2,3,4},A∩B={1},A≠{1},B≠{1},就称有序集对(A,B)为“好集对”.这里有序集对(A,B)是指当A≠B时,(A,B)和(B,A)是不同的集对,那么“好集对”一共有( )个( )
A.5个B.6个
C.7个D.8个
解析:
选B 因为A∪B={1,2,3,4},A∩B={1},A≠{1},B≠{1},所以当A={1,2}时,B={1,3,4};当A={1,3}时,B={1,2,4};当A={1,4}时,B={1,2,3};当A={1,2,3}时,B={1,4};当A={1,2,4}时,B={1,3};当A={1,3,4}时,B={1,2}.所以满足条件的“好集对”一共有6个,故选B.
[通法在握]
解集合运算问题4个技巧
看元素构成
集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键
对集合化简
有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了、易于解决
应用数形
常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图
创新性问题
以集合为依托,对集合的定义、运算、性质加以深入的创新,但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决
[演练冲关]
1.(2019·浙江十校联盟适考)已知集合A={x|1<x<4},B={x∈Z|x2-6x<0},则(∁RA)∩B=( )
A.{1,4}B.{4,5}
C.{1,4,5}D.{2,3}
解析:
选C 法一:
由x2-6x<0可得0<x<6,所以B={1,2,3,4,5},又∁RA={x|x≤1或x≥4},所以(∁RA)∩B={1,4,5}.
法二:
因为求的是(∁RA)∩B,故排除D,又1,5∈∁RA,1,5∈B,故选C.
2.(2019·长沙模拟)已知集合A={1,2,3},B={x|x2-3x+a=0,a∈A},若A∩B≠∅,则a的值为( )
A.1B.2
C.3D.1或2
解析:
选B 当a=1时,x2-3x+1=0,无整数解,则A∩B=∅;当a=2时,B={1,2},A∩B={1,2}≠∅;当a=3时,B=∅,A∩B=∅.因此实数a=2.
3.(2019·杭州高三四校联考)设集合A={x|(x-3)(x-a)=0,a∈R},B={x|(x-1)(x-4)=0},则A∪B的子集个数最多为( )
A.2B.4
C.8D.16
解析:
选D 由题意可知,要使A∪B的子集个数最多,则需A∪B中的元素个数最多,此时a≠1,a≠3,且a≠4,即集合A={3,a},B={1,4},A∪B={1,3,4,a},故A∪B的子集最多有24=16个.
4.
如图所示的Venn图中,A,B是非空集合,定义集合AB为阴影部分表示的集合.若x,y∈R,A={x|y=},B={y|y=3x,
x>0},则AB为( )
A.{x|0<x<2}B.{x|1<x≤2}
C.{x|0≤x≤1或x≥2}D.{x|0≤x≤1或x>2}
解析:
选D 因为A={x|0≤x≤2},B={y|y>1},A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1<x≤2},所以AB=∁A∪B(A∩B)={x|0≤x≤1或x>2},故选D.
一抓基础,多练小题做到眼疾手快
1.(2019·浙江考前热身联考)已知集合M={x|y=},N={x|-1<x<1},则M∪N=( )
A.[0,1) B.(-1,2)
C.(-1,2]D.(-∞,0]∪(1,+∞)
解析:
选C 法一:
易知M={x|0≤x≤2},又N={x|-1<x<1},所以M∪N=(-1,2].故选C.
法二:
取x=2,则2∈M,所以2∈M∪N,排除A、B;取x=3,则3∉M,3∉N,所以3∉M∪N,排除D,故选C.
2.(2019·浙江三地联考)已知集合P={x|<2},Q={x|-1≤x≤3},则P∩Q=( )
A.[-1,2)B.(-2,2)
C.(-2,3]D.[-1,3]
解析:
选A 由|x|<2,可得-2<x<2,所以P={x|-2<x<2},所以P∩Q=[-1,2).
3.(2018·嘉兴期末测试)已知集合P={x|x<1},Q={x|x>0},则( )
A.P⊆QB.Q⊆P
C.P⊆∁RQD.∁RP⊆Q
解析:
选D 由已知可得∁RP=[1,+∞),所以∁RP⊆Q.故选D.
4.(2018·浙江吴越联盟第二次联考)已知集合M={0,1,2,3,4},N={2,4,6},P=M∩N,则P的子集有________个.
解析:
集合M={0,1,2,3,4},N={2,4,6},P=M∩N={2,4},则P的子集有∅,{2},{4},{2,4},共4个.
答案:
4
5.已知集合A={x|x≥3},B={x|x≥m},且A∪B=A,则实数m的取值范围是________.
解析:
因为集合A={x|x≥3},B={x|x≥m},且A∪B=A,所以B⊆A,如图所示,所以m≥3.
答案:
[3,+∞)
二保高考,全练题型做到高考达标
1.(2019·杭州七校联考)已知集合A={x|x2>1},B={x|(x2-1)(x2-4)=0},则集合A∩B中的元素个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
解析:
选B A={x|x<-1或x>1},B={-2,-1,1,2},A∩B={-2,2},故选B.
2.(2019·浙江六校联考)已知集合U={x|y=},A={x|y=log9x},B={y|y=-2x}则A∩(∁UB)=( )
A.∅B.R
C.{x|x>0}D.{0}
解析:
选C 由题意得,U=R,A={x|x>0},因为y=-2x<0,所以B={y|y<0},所以∁UB={x|x≥0},故A∩(∁UB)={x|x>0}.故选C.
3.(2019·永康模拟)设集合M={x|x2-2x-3≥0},N={x|-3<x<3},则( )
A.M⊆NB.N⊆M
C.M∪N=RD.M∩N=∅
解析:
选C 由x2-2x-3≥0,解得x≥3或x≤-1,所以M={x|x≤-1或x≥3},所以M∪N=R.
4.(2019·宁波六校联考)已知集合A={x|x2-3x<0},B={1,a},且A∩B有4个子集,则实数a的取值范围是( )
A.(0,3)B.(0,1)∪(1,3)
C.(0,1)D.(-∞,1)∪(3,+∞)
解析:
选B ∵A∩B有4个子集,∴A∩B中有2个不同的元素,∴a∈A,∴a2-3a<0,解得0<a<3且a≠1,即实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3),故选B.
5.(2018·镇海中学期中)若集合M=,N={x|x<1},则M∪N=( )
A.(0,1)B.(0,2)
C.(-∞,2)D.(0,+∞)
解析:
选C 集合M=={x|0<x<2},N={x|x<1}.M∪N={x|x<2}=(-∞,2).故选C.
6.设集合A={x|x2-x-2≤0},B={x|x<1,且x∈Z},则A∩B=________.
解析:
依题意得A={x|(x+1)(x-2)≤0}={x|-1≤x≤2},因此A∩B={x|-1≤x<1,x∈Z}={-1,0}.
答案:
{-1,0}
7.(2018·嘉兴二模)已知集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x2-4x≤0},则A∪B=________,A∩(∁RB)=________.
解析:
因为B={x|x2-4x≤0}={x|0≤x≤4},所以A∪B={x|-1≤x≤4};因为∁RB={x|x<0或x>4},所以A∩(∁RB)={x|-1≤x<0}.
答案:
{x|-1≤x≤4} {x|-1≤x<0}
8.设集合A={(x,y)|y≥|x-2|,x≥0},B={(x,y)|y≤-x+b},A∩B≠∅.
(1)b的取值范围是________;
(2)若(x,y)∈A∩B,且x+2y的最大值为9,则b的值是________.
解析:
由图可知,当y=-x往右移动到阴影区域时,才满足条件,所以b≥2;要使z=x+2y取得最大值,则过点(0,b),有0+2b=9⇒b=.
答案:
(1)[2,+∞)
(2)
9.已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A⊆B,则实数a-b的取值范围是________.
解析:
集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4],因为A⊆B,所以a≤2,b≥4,所以a-b≤2-4=-2,即实数a-b的取值范围是(-∞,-2].
答案:
(-∞,-2]
10.已知集合A={x|(x+2m)(x-m+4)<0},其中m∈R,集合B=.
(1)若B⊆A,求实数m的取值范围;
(2)若A∩B=∅,求实数m的取值范围.
解:
(1)集合B=={x|-2<x<1}.
当A=∅时,m=,不符合题意.
当A≠∅时,m≠.
①当-2m<m-4,即m>时,A={x|-2m<x<m-4},
又因为B⊆A,
所以即所以m≥5.
②当-2m>m-4,即m<时,A={x|m-4<x<-2m},
又因为B⊆A,
所以即所以m≤-.
综上所述,实数m的取值范围为∪[5,+∞).
(2)由
(1)知,B={x|-2<x<1}.
当A=∅时,m=,符合题意.
当A≠∅时,m≠.
①当-2m<m-4,即m>时,A={x|-2m<x<m-4},
又因为A∩B=∅,所以-2m≥1或者m-4≤-2,
即m≤-或者m≤2,所以<m≤2.
②当-2m>m-4,即m<时,A={x|m-4<x<-2m},
又因为A∩B=∅,所以m-4≥1或者-2m≤-2,
即m≥5或者m≥1,所以1≤m<.
综上所述,实数m的取值范围为[1,2].
三上台阶,自主选做志在冲刺名校
1.对于复数a,b,c,d,若集合S={a,b,c,d}具有性质“对任意x,y∈S,必有xy∈S”,则当时,b+c+d等于( )
A.1B.-1
C.0D.i
解析:
选B ∵S={a,b,c,d},由集合中元素的互异性可知当a=1时,b=-1,c2=-1,∴c=±i,由“对任意x,y∈S,必有xy∈S”知±i∈S,∴c=i,d=-i或c=-i,d=i,∴b+c+d=(-1)+0=-1.
2.对于集合M,N,定义M-N={x|x∈M,且x∉N},M⊕N=(M-N)∪(N-M),设A=,B={x|x<0,x∈R},则A⊕B=( )
A.B.
C.∪[0,+∞)D.∪(0,+∞)
解析:
选C 依题意得A-B={x|x≥0,x∈R},B-A=,故A⊕B=∪[0,+∞).故选C.
3.已知函数f(x)=-的定义域为集合A,且B={x∈Z|2<x<10},C={x∈R|x<a或x>a+1}.
(1)求:
A和(∁RA)∩B;
(2)若A∪C=R,求实数a的取值范围.
解:
(1)要使函数f(x)=-,
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