等腰三角形的性质.docx
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等腰三角形的性质
等腰三角形的性质
例1等腰三角形两腰上的高相等
已知,如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E
求证:
BD=CE
分析:
只需证明△BDC≌△CEB
证明:
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)
∵BD⊥AC于D,CE⊥AB于E
∴∠BDC=∠CEB=90°
在Rt△BDC与Rt△CEB中
∴△BDC≌△CEB(AAS)
∴BD=CE(全等三角形对应边相等)
例2如图,在△ABC中,AD是△ABC的角平分线,AC=AB+BD
求证:
∠B=2∠C
分析:
由于已知AC=AB+BD,故常通过“截长补短”的方法,构造全等三角形,然后再利用等边对等角以及三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和的性质来完成.
证明:
在AC上截取AE=AB,连结DE.
∵AD是△ABC的角平分线
∴∠BAD=∠EAD(角平分线定义)
在△ABD与△AED中
∴△ABD≌△AED(SAS)
∴∠ABD=∠AED(全等三角形对应角相等)
BD=ED(全等三角形对应边相等)
∵BD=AC-AB=AC-AE=CE
∴ED=CE
∴∠EDC=∠C(等边对等角)
∴∠AED=∠EDC+∠C(三角形外角等于不相邻的两内角和)=2∠C
∴∠B=2∠C
例3如图,点D在AC上,点E在AB上,且AB=AC,BC=BD,AD=DE=BE
求:
∠A的度数
分析:
在等腰三角形中,求角的度数常应用三条性质
(1)三角形内角和为180°,
(2)三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和,(3)等边对等角来进行计算.
解:
设∠A=α
∵AD=DE=EB(已知)
∴∠DEA=∠A=α,∠EBD=∠EDB(等边对等角)
又∵∠DEA=∠EBD+∠EDB(三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和)
∵BD=BC,AB=AC(已知)
在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°(三角形的内角和为180°)
∴α=45°即∠A=45°
例4在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为AC的中点,AE⊥BD于F交BC于E,
求证:
∠ADB=∠CDE
分析:
∵∠ADB是Rt△ABD的内角,也是Rt△ADF的内角,则∠CDE也应在某个直角三角形中,由此可联想作辅助线,过点C作CG⊥AC交AE延长线于G,由条件可得Rt△ABD≌Rt△CAG,△CDE≌△CGE,则∠ADB=∠G,∠G=∠CDE,∴∠ADB=∠CDE
证明:
过点C作CG⊥AC交AE延长线于G
∵BA⊥AC,CG⊥AC
∴CG∥AB
∴∠BAG=∠CGA(两直线平行,内错角相等)
∵∠BAD=90°,AF⊥BD
∴∠ABD=∠CAG(等角的余角相等)
在Rt△ABD与Rt△CAG中
∴Rt△ABD≌Rt△CAG(ASA)
∴AD=CG(全等三角形对应边相等)
∠ADB=∠CGA(全等三角形对应角相等)
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)
∴∠ACB=∠BCG(等量代换)
∵AD=DC,AD=CG
∴CD=CG(等量代换)
在△DCE与△GCE中
∴△CDE≌△CGE(SAS)
∴∠CDE=∠CGE(全等三角形对应角相等)
∴∠ADB=∠CDE(等量代换)
例5求证:
等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
已知△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D.
分析:
一”的重要性质即可得.另外,还可以通过证明2∠DBC=∠BAC来解决,则需作∠CBE=∠DBC,问题转化为证明∠DBE=∠BAC.
证明:
(一)
作∠BAC的平分线AE交BC于E.
∵AB=AC,AE平分∠BAC
∴AE⊥BC(等腰三角形三线合一)
即∠EAC+∠C=90°
∵BD⊥AC
∴∠DBC+∠C=90°
∴∠EAC=∠DBC(同角的余角相等)
证明:
(二)
作∠CBE=∠DBC,BE交AC延长线于E,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角),
又∵∠1=∠2(辅助线所作),
∠ACB=∠2+∠E(外角定理),
∠ABC=∠1+∠3,
∴∠3=∠E(等式性质),
又∵BD⊥AC(已知),
∠3+∠A=90°,∠1+∠2+∠E=90°
∴∠1+∠2=∠A(同角余角相等).
例6已知:
如图,△ABC中,AB>AC,在AB上截取AE=AC,AD为∠BAC的平分线,EF∥BC.
求证:
∠DEC=∠FEC
分析:
此题有AE=AC,必然有等腰三角形AEC,且AD是∠EAC的平分线,等腰三角形顶角的平分线,底边上的高与底边中线三线合一.AD⊥EC,O为EC中点.
证明:
∵AE=AC,AD平分∠EAC(已知),
∴EO=CO,AD⊥EC(等腰三角形顶角的平分线又是底边中线,高线),
∴ED=CD(垂直平分线性质),
∴∠1=∠2(等边对等角),
又∵EF∥BC(已知),
∴∠FEC=∠2(平行线性质),
∴∠FEC=∠DEC.
说明:
“三线合一”是等腰三角形的一个重要性质,是证明中常用到的线段,也常作为一条辅助线添在图中.
例7已知如图
(1),AB=AC,AD=AE,求证:
BD=EC
分析:
欲证BD=EC,只需证明出△ABD≌△ACE,为此,只需寻得满足全等的三个条件,因为已知AB=AC,AD=AE,这样,只需证得∠3=∠4,观察图形可以知道,只需证明∠BAE=∠CAD,而这只需证出△ABE≌△ACD,为此,只需证出∠B=∠C,及∠2=∠1,而由已知AC=AB及AD=AE,根据“等边对等角”即可以满足条件.
另外还可以从证出BE=CD得到,只需证明△ABE≌△ACD,得到BE=CD,利用等量减等量得出BD=CE.
第三种思路,可以利用等腰三角形“三线合一”的性质作辅助线底边BC上的高AF,因为AB=AC,故有BF=CF,又在等腰三角形ADE中,AF⊥DE于F,可推出DF=EF,由此BF-DF=CF-EF,所以BD=CE.
证法一:
在△ADE中
∵AD=AE(已知)
∴∠1=∠2(等边对等角)
在△ABC中,
∵AB=AC(已知)
∴∠B=∠C(等边对等角)
∵∠1,∠2分别是△ABD和△ACE的外角
∴∠3=∠4
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=CE
证法二:
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵AD=AE
∴∠1=∠2
∵∠BAE=180°-∠B-∠2
∠CAD=180°-∠C-∠1
∴∠BAE=∠CAD
在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD
∴BE=CD
∴BE-DE=CD-DE
即BD=CE
证法三:
如图
(2)
作AF⊥BC于F
在△ABC中
∵AB=AC
又∵∠AF⊥BC
∴BF=CF(等腰三角形底边上的高线与底边上的中线互相重合)
在△ADE中
∵AD=AE
又∵AF⊥DE
∴DF=FE
∴BF-DF=CF-EF
即BD=CE
例8如图,C是线段AB上的一点,△ACD和△BCE是等边三角形,AE交CD于M,BD交CE于N,交AE于O
求证:
(1)∠AOB=120°
(2)CM=CN
(3)MN∥AB
证明:
(1):
∵△ADC是等边三角形
∴AC=CD,
∠ACD=60°
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE
∴∠ACE=60°+∠DCE
∵△CBE是等边三角形
∴CE=CB,∠ECB=60°
∴∠DCB=∠DCE+∠ECB
∴∠DCB=60°+∠ECD
∴∠ACE=∠DCB
在△ACE和△DCB中
∴△ACE≌△DCB(SAS)
∴∠EAC=∠BDC
∵∠AOB=∠DAO+∠ADC+∠BDC
∴∠AOB=60°+∠DAO+∠EAC
∵∠DAO+∠EAC=60°
∴∠AOB=60°+60°=120°
(2)∵△ADC和△CBE是等边三角形
∴∠ACD=∠ECB=60°,CE=CB
∵∠ACB=180°
∴∠DCN=60°
∵△DCB≌△ACE(已证)
∴∠AEC=∠DBC
在△CME和△CNB中
∴△CME≌△CNB(ASA)
∴CM=CN
(3)∵CM=CN,∠MCN=60°
∴△CMN是等边三角形
∴∠NMC=60°
∵∠DCA=60°
∴∠NMC=∠DCA
∴MN∥AB
说明:
通过此题的证明给我们以下两点启示:
一是分析题意,寻求证明或解题思路要充分运用已知条件,如本题中求证∠AOB=120°,就是根据给定的两个正三角形的每一个内角均为60°及三边相等的条件,先求得△ACE≌△DCB,再利用外角等于它不相邻的两个内角之和来证的.二是在证明线段相等时,常将两线段归属于某一个三角形或者两个三角形中,再证明该三角形为等腰三角形或两个三角形全等,本题的第
(2)问就是运用此法.
例9△ABC中,AB=AC,D为AB上一点,E为AC延长线上一点,且DB=CE.DE交BC于F,求证:
DF=FE.
证法一:
如图
(1),过D作DG∥AC,交BC于G点.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB
又∵DG∥AC,∴∠DGB=∠ACB,∠DBG=∠DGB.
∴DG=DB又∵DB=EC∴DG=EC
又∵∠DFG=∠EFC,∠GDF=∠CEF
∴△DGF≌△ECF(AAS)
∴DF=FE
证法二:
如图
(2)
过E作EG∥AB交BC的延长线于G.
∴∠B=∠FGE∠ACB=∠GCE
又∵△ABC中,AB=AC
∴∠B=∠ACB
∴∠FGE=∠GCE∴CE=GE
又∵DB=CE∴DB=GE
又∵∠DFB=∠GFE
∴△DBF≌△EGF
∴DF=FE
证法三:
如图(3),过D作DN⊥BC于N,过E作EM⊥BC的延长线于M.
∴∠ACB=∠MCE
又∵AB=AC∴∠B=∠ACB
∴∠B=∠MCE
又∵DN⊥BC于N,EM⊥BC于M
∴∠DNB=∠EMC=Rt∠BD=CE
∴△DBN≌△ECM(AAS)
∴DN=EM
又∵∠DFN=∠EFM
∠DNF=∠EMF=Rt∠
∴△DNF≌△EMF(AAS)
∴DF=FE.
说明:
当遇到欲证的两条线段(或两角)所在的两个三角形不全等时,需添加辅助线,“制造”所含两条线段(或两角)的三角形全等,这是常用的思考方法.
本题的逆命题也成立,即“已知:
在△ABC中,AB=AC,D在AB上,E为AC延长线上一点,DE交BC于F,DF=FE,求证:
DB=CE.
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