高中数学必修2第二章章末检测.docx
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高中数学必修2第二章章末检测
高中数学必修2第二章章末检测
(时间:
120分钟 满分:
150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E、F、G、H四点,如果EF,GH交于一点P,则( )
A.P一定在直线BD上
B.P一定在直线AC上
C.P一定在直线AC或BD上
D.P既不在直线AC上,也不在直线BD上
2.下列推理错误的是( )
A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂α
B.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=AB
C.l⊄α,A∈l⇒A∉α
D.A∈l,l⊂α⇒A∈α
3.给定下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中,为真命题的是( )
A.①和②B.②和③
C.③和④D.②和④
4.在空间中,下列说法中不正确的是( )
A.两组对边相等的四边形是平行四边形
B.两组对边平行的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.对角线互相平分的四边形是平行四边形
5.长方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AB,A1D1所成的角等于( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
6.正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角C1-AB-C的平面角等于( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
7.已知m,n是不同的直线,α,β是不重合的平面,则下列命题中正确的是( )
A.若m∥α,m∥n,则n∥α
B.若m⊥α,n⊥α,则n⊥m
C.若m⊥α,m∥β,则α⊥β
D.若α⊥β,m⊂α,则m⊥β
8.如图
(1)所示,在正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2及G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3三点重合,重合后的点记为G,如图
(2)所示,那么,在四面体S-EFG中必有( )
A.SG⊥△EFG所在平面
B.SD⊥△EFG所在平面
C.GF⊥△SEF所在平面
D.GD⊥△SEF所在平面
9.如图所示,将无盖正方体纸盒展开,直线AB、CD在原正方体中的位置关系是( )
A.平行
B.相交且垂直
C.异面直线
D.相交成60°角
10.矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积为( )
A.
πB.
πC.
πD.
π
11.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于( )
A.ACB.BD
C.A1DD.A1D1
12.如图所示,将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角,此时∠B′AC=60°,那么这个二面角大小是( )
A.90°B.60°
C.45°D.30°
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.设平面α∥平面β,A、C∈α,B、D∈β,直线AB与CD交于点S,且点S位于平面α,β之间,AS=8,BS=6,CS=12,则SD=________.
14.如图所示,已知矩形ABCD中,AB=3,BC=a,若PA⊥平面AC,在BC边上取点E,使PE⊥DE,则满足条件的E点有两个时,a的取值范围是________.
15.如图所示,在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时,有A1C⊥B1D1(注:
填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况).
16.下列四个命题:
①若a∥b,a∥α,则b∥α;②若a∥α,b⊂α,则a∥b;③若a∥α,则a平行于α内所有的直线;④若a∥α,a∥b,b⊄α,则b∥α.
其中正确命题的序号是________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)
如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为AB、A1D1的中点,判断MN与平面A1BC1的位置关系,为什么?
18.(12分)如图,在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,且E、F分别是AB、BD的中点.
求证:
(1)EF∥面ACD;
(2)面EFC⊥面BCD.
19.(12分)如图,已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A作AE⊥SB于点E,过E作EF⊥SC于点F.
(1)求证:
AF⊥SC;
(2)若平面AEF交SD于点G,求证:
AG⊥SD.
20.(12分)如图所示,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,底面边长为a,E是PC的中点.
(1)求证:
PA∥面BDE;平面PAC⊥平面BDE;
(2)若二面角E-BD-C为30°,求四棱锥P-ABCD的体积.
21.(12分)如图所示,在矩形ABCD中,AB=3
,BC=3,沿对角线BD将△BCD折起,使点C移到C′点,且C′点在平面ABD上的射影O恰在AB上.
(1)求证:
BC′⊥平面AC′D;
(2)求点A到平面BC′D的距离.
22.(12分)如图,在五面体ABC-DEF中,四边形ADEF是正方形,FA⊥平面ABCD,BC∥AD,CD=1,AD=2
,∠BAD=∠CDA=45°.
(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值;
(2)证明CD⊥平面ABF;
(3)求二面角B-EF-A的正切值.
高中数学必修2第二章章末检测答案
1.B [(如图),∵P∈HG,HG⊂面ACD,
∴P∈面ACD,同理P∈面BAC,
面BAC∩面ACD=AC;
∴P∈AC,选B.]
2.C [若直线l∩α=A,显然有l⊄α,A∈l,但A∈α.]
3.D [当两个平面相交时,一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面,故①不对;由平面与平面垂直的判定可知②正确;空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面,故③不对;若两个平面垂直,只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直,故④正确.]
4.A
5.D [由于AD∥A1D1,则∠BAD是异面直线AB,A1D1所成的角,很明显∠BAD=90°.]
6.B
7.C [A中还有可能n⊂α;B中n∥m;D中还有可能m∥β或m⊂β或相交不垂直;C中,由于m∥β,设过m的平面γ与β交于b,则m∥b,又m⊥α,则b⊥α,又b⊂β,则α⊥β,所以C正确.]
8.A [∵四边形SG1G2G3是正方形,
∴SG1⊥G1E,EG1⊥G2F,FG3⊥SG3.
当正方形折成四面体之后,上述三个垂直关系仍保持不变,
EG,GF成为四面体的面EGF的相邻两条边,
因此,在四面体S-EFG中侧棱SG⊥GE,SG⊥GF,
∴SG⊥平面EFG.]
9.D [恢复成正方体(如图),
易知△ABC为等边三角形,
所以∠ABC=60°.选D.]
10.C [球心O为AC中点,半径为R=
AC=
,
V=
πR3=
π.选C.]
11.B [证BD⊥面CC1E,则BD⊥CE.]
12.A [连接B′C,则△AB′C为等边三角形,设AD=a,
则B′C=AC=
a,B′D=DC=a,
所以∠B′DC=90°.]
13.9
解析 由面面平行的性质得AC∥BD,
=
,
解得SD=9.
14.a>6
解析 (如图)
由题意知:
PA⊥DE,
又PE⊥DE,
所以DE⊥面PAE,∴DE⊥AE.
易证△ABE∽△ECD.
设BE=x,则
=
,即
=
.
∴x2-ax+9=0,由Δ>0,解得a>6.
15.B1D1⊥A1C1(答案不唯一)
解析 由直四棱柱可知CC1⊥面A1B1C1D1,
所以CC1⊥B1D1,要使B1D1⊥A1C,
只要B1D1⊥平面A1CC1,所以只要B1D1⊥A1C1,
还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形,正方形等条件.
16.④
解析 ①中b可能在α内;②a与b可能异面;③a可能与α内的直线异面.
17.解 直线MN∥平面A1BC1,
证明如下:
∵MD/∈平面A1BC1,ND/∈平面A1BC1.
∴MN⊄平面A1BC1.
如图,取A1C1的中点O1,连接NO1、BO1.
∵NO1綊
D1C1,
MB綊
D1C1,∴NO1綊MB.
∴四边形NO1BM为平行四边形.∴MN∥BO1.
又∵BO1⊂平面A1BC1,
∴MN∥平面A1BC1.
18.证明
(1)∵E,F分别是AB,BD的中点,
∴EF是△ABD的中位线,∴EF∥AD,
∵EF⊄面ACD,AD⊂面ACD,∴EF∥面ACD.
(2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD.
∵CB=CD,F是BD的中点,∴CF⊥BD.
又EF∩CF=F,∴BD⊥面EFC.∵BD⊂面BCD,
∴面EFC⊥面BCD.
19.证明
(1)∵SA⊥平面AC,BC⊂平面AC,
∴SA⊥BC,
∵四边形ABCD为矩形,∴AB⊥BC.
∴BC⊥平面SAB,∴BC⊥AE.
又SB⊥AE,∴AE⊥平面SBC.
∴AE⊥SC.又EF⊥SC,∴SC⊥平面AEF.
∴AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面AC,∴SA⊥DC.
又AD⊥DC,∴DC⊥平面SAD.
∴DC⊥AG.
又由
(1)有SC⊥平面AEF,AG⊂面AEF,
∴SC⊥AG,∴AG⊥平面SDC,∴AG⊥SD.
20.
(1)证明
连接OE,如图所示.
∵O、E分别为AC、PC中点,
∴OE∥PA.
∵OE⊂面BDE,PA⊄面BDE,
∴PA∥面BDE.
∵PO⊥面ABCD,∴PO⊥BD.
在正方形ABCD中,BD⊥AC,
又∵PO∩AC=0,∴BD⊥面PAC.
又∵BD⊂面BDE,∴面PAC⊥面BDE.
(2)解 取OC中点F,连接EF.
∵E为PC中点,
∴EF为△POC的中位线,∴EF∥PO.
又∵PO⊥面ABCD,
∴EF⊥面ABCD
∵OF⊥BD,∴OE⊥BD.
∴∠EOF为二面角E-BD-C的平面角,
∴∠EOF=30°.
在Rt△OEF中,
OF=
OC=
AC=
a,
∴EF=OF·tan30°=
a,∴OP=2EF=
a.
∴VP-ABCD=
×a2×
a=
a3.
21.
(1)证明 ∵点C′在平面ABD上的射影O在AB上,
∴C′O⊥平面ABD,∴C′O⊥DA.
又∵DA⊥AB,AB∩C′O=O,
∴DA⊥平面ABC′,∴DA⊥BC′.
又∵BC⊥CD,∴BC′⊥C′D.
∵DA∩C′D=D,∴BC′⊥平面AC′D.
(2)解
如图所示,
过A作AE⊥C′D,垂足为E,连接BE.
∵BC′⊥平面AC′D,∴BC′⊥AE.
∴AE⊥平面BC′D.
故AE的长就是A点到平面BC′D的距离.
∵AD⊥AB,DA⊥BC′,
∴AD⊥平面ABC′,∴DA⊥AC′.
在Rt△AC′B中,AC′=
=3
.
在Rt△BC′D中,C′D=CD=3
.
在Rt△C′AD中,由面积关系,得
AE=
=
=
.
∴点A到平面BC′D的距离是
.
22.
(1)解 因为四边形ADEF是正方形,所以FA∥ED.
所以∠CED为异面直线CE与AF所成的角.
因为FA⊥平面ABCD,所以FA⊥CD.故ED⊥CD.
在Rt△CDE中,CD=1,ED=2
,
CE=
=3,
所以cos∠CED=
=
.
所以异面直线CE与AF所成角的余弦值为
.
(2)证明 如图,过点B作BG∥CD,交AD于点G,则∠BGA=∠CDA=45°.
由∠BAD=45°,可得BG⊥AB,从而CD⊥AB.
又CD⊥FA,FA∩AB=A,所以CD⊥平面ABF.
(3)解 由
(2)及已知,可得AG=
,即G为AD的中点.
取EF的中点N,连接GN,则GN⊥EF.
因为BC∥AD,所以BC∥EF.
过点N作NM⊥EF,交BC于点M,
则∠GNM为二面角B-EF-A的平面角.
连接GM,可得AD⊥平面GNM,故AD⊥GM,
从而BC⊥GM.
由已知,可得GM=
.
由NG∥FA,FA⊥GM,得NG⊥GM.
在Rt△NGM中,tan∠GNM=
=
.
所以二面角B-EF-A的正切值为
.
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