相交线和平行线解答题答案.docx
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相交线和平行线解答题答案
相交线和平行线解答题
【答案】
1.
(1)证明:
过点D作DE∥AM,过点O作OF∥AM,如图2,
∵AM∥BN,
∴AM∥DE∥BN,
∴∠MAD=∠EDA,∠NBD=∠EDB,
∴∠ADB=∠MAD+∠NBD,
同理可得∠AOB=∠MAO+∠NBO,
∵AD平分∠MAO,BD平分∠NBO,
∴∠MAD=
∠MAO,∠NBD=
∠NBO,
∴∠ADB=
(∠MAO+∠NBO)=
∠AOB;
(2)解:
(1)中的结论依然成立.
理由如下:
过点D作DE∥AM,过点O作OF∥AM,如图3,
∵AM∥BN,
∴AM∥DE∥BN,
∴∠MAD=∠EDA,∠NBD=∠EDB,
∴∠ADB=∠NBD-∠MAD,
同理可得∠AOB=∠NBO-∠MAO,
∵AD平分∠MAO,BD平分∠NBO,
∴∠MAD=
∠MAO,∠NBD=
∠NBO,
∴∠ADB=
(∠NBO-∠MAO)=
∠AOB.
2. 180;540
3. 解:
(1)①∠B+∠D=∠BED;
②∠B+∠D+∠BED=360°;
③∠BED=∠D-∠B;
④∠BED=∠B-∠D;
(2)选图③.
过点E作EF∥AB,∵AB∥CD,
∴EF∥CD,
∴∠D=∠DEF,∠B=∠BEF,
又∵∠BED=∠DEF-∠BEF,
∴∠BED=∠D-∠B.
4. 解:
第1,2,3个图形的面积为:
a2-π(
)2=(1-
)a2,
即三种方案中用于种植花草部分的面积的大小相等.
5. 16
6. AB∥CD,且AB=CD;相等;
7.
解:
AB∥CD.
理由:
如答图,过点F作FH∥AB,则∠AEF+∠EFH=180°.
∵∠AEF=150°,
∴∠EFH=30°,
又∵EF⊥GF,
∴∠HFG=90°-30°=60°.
又∵∠DGF=60°,
∴∠HFG=∠DGF,
∴HF∥CD,
则AB∥CD.
8. 2;6;12;n(n-1);4050156;3;6;6;12;
;n(n-1);2025078;4050156;4050156
9.
解:
(1)过P作PQ∥AB,
∵AB∥CD,
∴PQ∥CD,
∴∠BEP=∠1,∠2=∠PFD,
∵∠EPF=∠1+∠2,
∴∠EPF=∠BEP+∠PFD;
(2)∵∠BGP是△PEG的外角,
∴∠P=∠BGP-∠BEP.
∵∠P=∠PGB-∠BEP,
∴∠PFD=∠PGB,
∴AB∥CD;
(3)由
(1)的结论∠EPF=∠BEP+∠PFD=90°,
设∠PFD=x,则∠BEP=90°-x,
∵∠PEG=∠BEP=90°-x,
∴∠AEG=180°-2(90°-x)=2x,则
=
=2
10. ∠1=∠2+∠3;∠2=∠1+∠3
11.
解:
∠C+∠AEC=∠BAE.
理由如下:
反向延长AB交CE于F,
∵AB∥CD,
∴∠1=∠C,
∵∠1+∠AEC=∠BAE,
∴∠C+∠AEC=∠BAE.
12. 证明:
∵∠1=∠2(已知),
∠1=∠5(对顶角相等),
∴∠1=∠5(等量代换),
∴l1∥l2(同位角相等两直线平行),
∴∠6+∠7=180°(两直线平行,同旁内角互补),
∵∠4=∠6(对顶角相等),
∠3=∠7(对顶角相等),
∴∠3+∠4=∠6+∠7,
∴∠3+∠4=180°(等量代换).
13. 解:
设这个角为x°,则其余角为(90-x)°,补角为(180-x)°,依题意有
180-x=2(90-x)+40,
解得x=40.
答:
这个角的度数是40度.
14.
解:
如图:
(1)∠B=∠D;
(2)∠B+∠D=180°;
(3)由
(1)
(2)可得结论:
若两个角的两边两两互相平行,则这两个角相等或互补.
理由:
∵AB∥CD,BE∥DF,
∴∠B=∠1,∠1=∠D,
∴∠B=∠D.
(4)设一个角为x°,则另一个角的(2x-30)°,
若相等:
x=2x-30,
解得:
x=30,
则这两角分别为:
30°,30°;
若互补,则x+2x-30=180,
解得:
x=70,
则这两角分别为:
70°,110°;
答:
这两个角的度数分别为:
30°,30°或70°,110°.
15.
解:
(1)如图1,连接OP、BP,作PG⊥OB于G.
∵A(0,10),B(15,0),AC∥x轴,
∴OB=15,PG=OA=10,
∴S△OBP=
•OB•PG=
×15×10=75;
(2)如图2,过D作DE∥x轴
∴∠EDB=∠DBO
∵AC∥x轴
∴AC∥DE
∴∠PDE=∠APD
∴∠EDB+∠PDE=∠DBO+∠APD
∴∠PDB=∠DBO+∠APD
∵∠PDB=65°,∠DBO=25°,
∴65°=25°+∠APD
∴∠APD=40°;
(3)∵S△OAP=
S四边形OBPA,
∴
即
×2t×10=
×
×10(2t+15),
解得
.
16.
解:
∵AB⊥CD,
∴∠AOD=∠BOD=90°,
∴∠BOF=∠AOE=∠EOD-∠AOD=128°19′-90°=38°19′,
∴∠DOF=∠BOD-∠BOF=90°-38°19′=51°41′,
∴∠AOF=∠AOD+∠DOF=90°+51°41′=141°41′.
17.
解:
∵EF∥AD(已知),
∴∠2=∠3(两直线平行,同位角相等);
∵∠1=∠2(已知),
∴∠1=∠3(等量代换);
∴DG∥AB(内错角相等,两直线平行).
∴∠BAC+∠AGD=180°(两直线平行,同旁内角相等).
∵∠BAC=70°,
∴∠AGD=110°.
18.
解:
(1)∠1+∠2=∠3;
理由:
过点P作l1的平行线,
∵l1∥l2,
∴l1∥l2∥PQ,
∴∠1=∠4,∠2=∠5,
∵∠4+∠5=∠3,
∴∠1+∠2=∠3;
(2)同理:
∠1+∠2=∠3;
(3)同理:
∠1-∠2=∠3或∠2-∠1=∠3.
理由:
当点P在下侧时,过点P作l1的平行线PQ,
∵l1∥l2,
∴l1∥l2∥PQ,
∴∠2=∠4,∠1=∠3+∠4,
∴∠1-∠2=∠3;
当点P在上侧时,同理可得∠2-∠1=∠3.
19.
解:
如图.
20.
解:
(1)∠1+∠2=∠3;
理由:
过点P作l1的平行线,
∵l1∥l2,
∴l1∥l2∥PQ,
∴∠1=∠4,∠2=∠5,
∵∠4+∠5=∠3,
∴∠1+∠2=∠3;
(2)同理:
∠1+∠2=∠3;
(3)同理:
∠1-∠2=∠3或∠2-∠1=∠3.
理由:
当点P在下侧时,过点P作l1的平行线PQ,
∵l1∥l2,
∴l1∥l2∥PQ,
∴∠2=∠4,∠1=∠3+∠4,
∴∠1-∠2=∠3;
当点P在上侧时,同理可得∠2-∠1=∠3.
21.
(1)2,-1;4,3;
(2)-1,7;1,11;-2,10;
(3)解:
=
=3×4-
×3×1-
×2×4-
×3×1
=5.
22.
解:
(1)①判断:
∠1+∠2=90°.
理由如下:
∵ AB∥CD
∴∠1=∠POC.
又∵CD∥EF
∴∠COQ=∠2,
∵∠POQ=∠POC+∠COQ=90°,
∴∠1+∠2=90°;
②判断∠3+∠4=270°.
理由如下:
∵ AB∥CD,
∴∠3+∠POC=180°,
又∵CD∥EF,
∴∠4+∠COQ=180°,
∵∠POQ=∠POC+∠COQ=90°,
∴∠3+∠4=270°;
(2)∠3+∠4=360°-α.
23.
解:
(1)∠1+∠2=∠3;
理由:
过点P作l 1的平行线,
∵l 1∥l 2,
∴l 1∥l 2∥PQ,
∴∠1=∠4,∠2=∠5,
∵∠4+∠5=∠3,
∴∠1+∠2=∠3;
(2)同理:
∠1+∠2=∠3;
(3)同理:
∠1-∠2=∠3或∠2-∠1=∠3.
理由:
当点P在下侧时,过点P作l1的平行线PQ,
∵l 1∥l 2,
∴l 1∥l 2∥PQ,
∴∠2=∠4,∠1=∠3+∠4,
∴∠1-∠2=∠3;
当点P在上侧时,同理可得∠2-∠1=∠3.
24.
解:
如图:
可得:
(1)①∠B+∠D=∠BED;
②∠B+∠D+∠BED=360°;
③∠BED=∠D-∠B;
④∠BED=∠B-∠D;
(2)选图③.
过点E作EF∥AB,
∵AB∥CD,
∴EF∥CD,
∴∠D=∠DEF,∠B=∠BEF,
又∵∠BED=∠DEF-∠BEF,
∴∠BED=∠D-∠B.
25.
解:
(1)①∠AED=70°;
②∠AED=80°;
③猜想:
∠AED=∠EAB+∠EDC,
证明:
延长AE交DC于点F,
∵AB∥DC,
∴∠EAB=∠EFD,
∵∠AED为△EDF的外角,
∴∠AED=∠EDF+∠EFD=∠EAB+∠EDC;
(2)根据题意得:
点P在区域①时,∠EPF=360°-(∠PEB+∠PFC);
点P在区域②时,∠EPF=∠PEB+∠PFC;
点P在区域③时,∠EPF=∠PEB-∠PFC;
点P在区域④时,∠EPF=∠PFC-∠PEB.
26.
解:
(1)过点C做直线CD∥PQ,
∵PQ∥MN,
∴CD∥MN,
∴∠1=∠ACD ∠2=∠BCD,
∵∠3=∠ACD+∠BCD,
∴∠3=∠1+∠2=32°+26°=58°;
(2),不满足.∠1+∠2+∠3=360°.
过点C做直线CE∥PQ,
∵PQ∥MN,
∴CE∥MN,
∴∠1+∠ACE=180° ∠2+∠BCE=180°,
∴∠1+∠ACE+∠2+∠BCE=360°,
∵∠3=∠ACE+∠BCE,
∴∠1+∠2+∠3=360°;
(3)不满足,理由:
设AC与MN交点为O,
∴∠1=∠AON,
又有∠AON+∠CON=180°,∠2+∠3+∠CON=180°,
∴∠AON=∠2+∠3,
∴∠1=∠2+∠3.
27. 对顶角相等;同位角相等,两直线平行;两直线平行,同位角相等;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等
28.
解:
∠C与∠AED相等.
理由如下:
证明:
∵∠1+∠2=180°(已知),∠1+∠DFE=180°(邻补角定义),
∴∠2=∠DFE(同角的补角相等),
∴AB∥EF(内错角相等,两直线平行),
∴∠3=∠ADE(两直线平行,内错角相等),
又∠B=∠3(已知),
∴∠B=∠ADE(等量代换),
∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行),
∴∠C=∠AED(两直线平行,同位角相等).
29.
(1)解:
如图所示;
(2)EF∥DC.
证明:
∵AB∥CD,EF∥AB,
∴EF∥DC;
(3)解:
经测量BF=CF.
结论:
三条平行线截两条直线,所得对应线段成比例;
(4)解:
经测量EF=
(AB+DC).
结论:
梯形的中位线平行于两底,梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半.
30.
解:
设这个角为x°,则这个角的补角为(180°-x°).
根据题意得:
x°=
(180°-x°)-10°
解得;x=28°.
答:
这个角是28°.
【解析】
1.
(1)过点D作DE∥AM,过点O作OF∥AM,如图2,则可判断AM∥DE∥BN,根据平行线的性质得∠MAD=∠EDA,∠NBD=∠EDB,同理可得∠AOB=∠MAO+∠NBO,再利用角平分线定义得∠MAD=
∠MAO,∠NBD=
∠NBO,于是可得∠ADB=
(∠MAO+∠NBO)=
∠AOB;
(2)过点D作DE∥AM,过点O作OF∥AM,如图3,与
(1)一样可得∠ADB=∠NBD-∠MAD,∠AOB=∠NBO-∠MAO,而∠MAD=
∠MAO,∠NBD=
∠NBO,所以∠ADB=
(∠NBO-∠MAO)=
∠AOB.
本题考查了平行线性质:
两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.
2.
解:
(1)∵CM∥DN.
∴∠CAB+∠ABD=180°;
故答案是:
180.
(2)如图2,过点P1作平行于CM和DN的平行线,
∴∠AP1E+∠CAP1=180°,∠EP1B+∠P1BD=180°,
∴∠CAP1+∠AP1B+∠P1BD=∠AP1E+∠CAB+∠EP1B+∠P1BD=180°+180°=360°;
(3)如图3,过点P1、P2作平行于CM和DN的平行线,
∴∠AP1E+∠CAP1=180°,∠EP1P2+∠P1P2F=180°,∠FP2B+∠P2BD=180°,
∴∠CAP1+∠AP1P2+∠P1P2B+∠P2BD=∠AP1E+∠CAP1+∠EP1P2+∠P1P2F+∠FP2B+∠P2BD=3×180°=540°;
故答案是:
540.
(1)直接利用平行线的性质得到两个同旁内角的和即可;
(2)过点P1作平行于CM和DN的平行线,利用同旁内角的和为180°即可得到答案;
(3)过点P1、P2作平行于CM和DN的平行线,利用同旁内角的和为180°即可得到答案.
本题考查了平行线的性质,解题的关键是正确的作出辅助线,利用平行线的性质进行证明.
3.
(1)根据两直线平行,内错角相等,两直线平行解答;
(2)选择③,过点E作EF∥AB,根据两直线平行,内错角相等可得∠D=∠DEF,∠B=∠BEF,再根据∠BED=∠DEF-∠BEF整理即可得证.
本题考查了平行线的性质,此类题目解题关键在于过拐点作平行线.
4.
第2个图形中4个扇形的面积相加为以半径为
的圆;将第3个图形中的半圆的面积相加为以半径为
的圆;故第1,2,3个图形阴影的面积为正方形的面积减去以
为半径的圆的面积.
此题主要考查了平移变换,解决本题的关键是表示出每个图形的空白面积.
5.
解:
(1)S小鱼=
×4×5+
×4×2+
×2×2
=10+4+2
=16.
故答案为:
16;
(2)如图所示.
(1)把小鱼化为三个三角形,根据三角形的面积公式求解;
(2)根据图形平移的性质画出平移后的图形.
本题考查的是利用平移设计图案,熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键.
6.
解:
(1)AB∥CD,且AB=CD,∠B与∠D相等;
(2)∵AB∥CD,
∴∠DCE=∠B,
由三角形的外角性质得,∠CDF=∠DFE-∠DCE,
∴∠CDG=∠CDF+∠FDG=∠DFE-∠DCE+∠FDG,
在△DEF中,∠DEF=180°-2∠DFE,
在△DFG中,∠DGF=180°-∠FDG-∠DFE,
∴∠EDG=∠DGF-∠DEF=180°-∠FDG-∠DFE-(180°-2∠DFE)=2∠DFE-∠FDG-∠DFE,
∵DG平分∠CDE,
∴∠CDG=∠EDG,
∴∠DFE-∠DCE+∠FDG=2∠DFE-∠FDG-∠DFE,
∴∠FDG=
∠DCE,
即∠FDG=
∠B,
∵∠B=60°,
∴∠FDG=
×60°=30°;
(3)思路同
(2),
∵∠B=α,
∴∠FDG=
.
故答案为:
(1)AB∥CD,且AB=CD,相等;(3)
.
(1)根据平移的性质解答;
(2)根据两直线平行,同位角相等可得∠DCE=∠B,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠CDG、∠EDG,然后根据DG平分∠CDE列出方程求解即可得到∠FDG=
∠B,再代入数据计算即可得解;
(3)根据
(2)的思路解答.
本题考查了平移的性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,三角形的内角和定理,角平分线的定义,难点在于
(2)表示出∠CDG和∠EDG并根据角平分线的定义列出方程求出∠FDG=
∠B.
7.
AB与CD平行,理由为:
过点F作FH∥AB,如图所示,利用两直线平行同旁内角互补得到∠AEF与∠EFH互补,由∠AEF的度数求出∠EFH的度数,再由EF与FG垂直,得到∠EFG为直角,由∠EFG-∠EFH求出∠HFG的度数,与∠DGF的度数相等,利用内错角相等两直线平行得到FH与CD平行,利用平行于同一条直线的两直线平行即可得证.
此题考查了平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键.
8.
A.解:
(1)有2对对顶角;
(2)有6对对顶角;
(3)有12对对顶角;
(4)有n条直线时,有n(n-1)对对顶角;
(5)n=2013时,可形成2013×2012=4050156对顶角.
故答案为:
2,6,12,n(n-1),4050156.
B解:
(1)如图
(1),可得三条直线两两相交,最多有3个交点;有6对对顶角.
(2)如图
(2),可得四条直线两两相交,最多有6个交点;又12对对顶角.
(3)由
(1)得,
=3,
由
(2)得,
=6;
∴可得,n条直线两两相交,最多有
个交点(n为正整数,且n≥2).有n(n-1)对对顶角.
(4)当n=2013时,有2025078个交点,有4050156对对顶角.
故答案为3,6;6,12;
,n(n-1);2025078,4050156,4050156,.
A.
(1)
(2)(3)分别根据对顶角的定义计算即可得解;
(4)根据对顶角的对数和直线的条数的规律写出即可;
(5)把n=2013代入(4)的公式计算即可得解.
B.
(1)、
(2)可通过画图得出交点个数,
(3)通过以上两题找出规律解答;
本题考查了对顶角的定义,是基础题,熟记概念并准确识图,按照一定的顺序计算对顶角的对数是解题的关键.本题还考查了图形的变化,是一道关于数字猜想的问题,关键是通过归纳与总结,得到其中的规律.
9.
(1)过P作PQ平行于AB,由AB与CD平行,得到PQ与CD平行,利用两直线平行内错角相等得到两对角相等,再由∠EPF=∠1+∠2,等量代换就可得证;
(2)先根据三角形外角的性质得出∠P=∠BGP-∠BEP,再由∠P=∠PGB-∠BEP可知,∠PFD=∠PGB,由此可得出结论;
(3)由
(1)中的结论∠EPF=∠BEP+∠PFD,设设∠PFD=x,则∠BEP=90°-x,根据∠PEG=∠BEP=90°-x,利用平角定义表示出∠AEG,即可求出所求比值.
本题考查的是平行线的判定与性质,熟知平行线的判定定理与性质、三角形外角的性质是解答此题的关键.
10.
解:
(1)如图1,过点P作PE∥a,则∠1=∠CPE.
∵a∥b,PE∥a,
∴PE∥b,
∴∠2=∠DPE,
∴∠3=∠1+∠2;
(2)如图2,过点P作PE∥b,则∠2=∠EPD,
∵直线a∥b,
∴a∥PE,
∴∠1=∠3+∠EPD,即∠1=∠2+∠3.
故答案为:
∠1=∠2+∠3;
(3)如图3,设直线AC与DP交于点F,
∵∠PFA是△PCF的外角,
∴∠PFA=∠1+∠3,
∵a∥b,
∴∠2=∠PFA,即∠2=∠1+∠3.
故答案为:
∠2=∠1+∠3.
(1)过点P作a的平行线,根据平行线的性质进行解题;
(2)过点P作b的平行线PE,由平行线的性质可得出a∥b∥PE,由此即可得出结论;
(3)设直线AC与DP交于点F,由三角形外角的性质可得出∠1+∠3=∠PFA,再由平行线的性质即可得出结论.
本题考查的是平行线的性质,根据题意作出平行线,利用平行线的性质解答是解答此题的关键.
11.
本题主要考查平行线的性质,反向延长AB交CE于F,根据两直线平行,同位角相等可得∠1=∠C,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解.
12.
首先根据∠1=∠2证明l1∥l2,再根据平行线的性质可得∠6+∠7=180°,再利用等量代换可证明出∠3+∠4=180°.
此题主要考查了平行线的判定与性质,关键是掌握同位角相等,两直线平行;两直线平行,同旁内角互补.
13.
这类题目要先设出这个角的度数.设这个角为x°,分别写出它的余角和补角,根据题意写出等量关系,解之即可得到这个角的度数.
本题考查了余角和补角,是基础题,列出方程是解题的关键.
14.
【分析】
本题主要考查平行线的性质.用到的知识点是:
两直线平行,内错角相等.
(1)由AB∥CD,BE∥DF,根据两直线平行,内错角相等,可得∠B=∠1,∠1=∠D,即可得∠B=∠D;
(2)由AB∥CD,BE∥DF,根据两直线平行,内错角相等,同旁内角互补,可得∠B=∠1,∠1+∠D=180°,即可得∠B+∠D=180°;
(3)由
(1)
(2)可得结论:
若两个角的两边两两互相平行,则这两个角相等或互补;
(4)由两个角的两边两两互相平行,可得这两个角的相等或互补,即可求得答案.
【解答】
解:
(1)∠B=∠D.
理由:
∵AB∥CD,BE∥DF,
∴∠B=∠1,∠1=∠D,
∴∠B=∠D.
故答案为∠B=∠D;
(2)∠B+∠D=180°,
理由:
∵AB∥CD,BE∥DF,
∴∠B=∠1,∠1+∠D=180°,
∴∠B+∠D=180°.
故答案为∠B+∠D=180°.
(3)见答案;
(4)见答案.
15.
本题考查了平行线的性质,三角形的面积,梯形的面积.
(1)连接OP、BP,作PG⊥OB于G,根据A、B的坐标求得OB=15,PG=10,然后根据三角形的面积公式即可求得;
(2)过D作DE∥x轴,根据两直线平行内错角相等,∠EDB=∠DBO,∠PDE=∠APD,得出∠EDB+∠PDE=∠DBO+∠APD,得出∠PDB=∠DBO+∠APD,进而求得∠APD=40°;
(3)根据S△OAP=
S四边形OBPA,列出关于时间t的方程,解这个方程即可.
16.
本题考查了对顶角,余角的定义和性质,在计算时要理清图形中的各角之间的关系,因为AB⊥CD,得出∠AOD=∠BOD=90°,再由∠EOD=128°19′,得出∠AOE,求得∠BOF,进一步求出∠DOF,得出∠AOF的度数.
17.
此题要注意由EF∥AD,可得∠2=∠3,由等量代换可得∠1=∠3,可得DG∥BA,根据平行线的性质可得∠BAC+∠
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- 相交 平行线 解答 答案