三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方.docx
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三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方
三角形中位线定理的几种证明
方法及教学中需要说明的地方
三角形中位线定理的证明及其教学说明
以下内容作者为:
青岛第四中学杨瀚书老师
三角形中位线定理的几种证明方法
法1:
如图所示,延长中位线DE至F,使,连结CF,则丄亠二,有ADFC,所以FCBD,则四边形BCFD是平行四边
丄-'下1
形,DFXBC。
因为1,所以DE—1BC.
2
法2:
如團所小,过C作m匚交DE的延长线于F,则二二丄
有FC■■AD,那么FC■■BD,则四边形BCFD为平行四边形,DF■■BC。
上-1疋.
因为1,所以DE丄BC.
2
法3:
如图所示,延长DE至F,使一丄—,连接CF、DC、AF,则四边形
ADCF为平行四边形,有AD—CF,所以FC—BD,那么四边形BCFD为平zDE丄DF八
行四边形,DF—BC。
因为一,所以DE—-BC.
2
法4:
如图所示,过点E作MN//AB,过点A作AM//BC,则四边形ABNM
为平行四边形,易证•AEM三CEN,从而点E是MN的中点,易证四边形ADEM
和BDEN都为平行四边形,所以DE=AM=NC=BN,DE//BC,即DE—1BC<
2
法5:
如图所示,过三个顶点分别向中位线作垂线.
、教学说明
1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程:
“二维”转化为“一维”
在引导学生探索三角形中位线定理时,由于学生画出中位线后,就不难直
观地发现平行关系,难的是发现数量关系,我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题,挖掘它与原有知识的内在联系,从而作如下探索引导。
⑴如图,A为线段BC或线段BC的延长线)上的任意一点,DE分别是ABAC的中点,线段DE与BC有什么关系?
A
O«0•a
BDEC
图⑴:
⑵如果点A不在直线BC上,图形如何变化?
上述结论仍然成立吗?
图⑵:
说明:
学生观察(几何画板制作的)课件演示:
当△ABC的顶点A运动到直线BC上时,中位线DE也运动到BC上,这样由“二维”转化为“一维”,学生就不难猜想性质的两方面,特别是数量关系,而想到去度量、验证和猜想,水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度,是强扭的瓜不甜•2、教学重点:
本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。
第一,要知道中位线定理的作用:
可以证明两条直线平行及线段的倍分关系,计算边长或中位线的长。
•••DE是厶ABC的中位线
第二,要知道中位线定理的使用形式,如:
1
•••DE//BCDE=^BC
2
第三,让学生通过部分题目进行训练,进而掌握和运用三角形中位线定理。
题1如图4.11-7,Rt△ABC/BAG90°,DE分别为ABBC的中点,
点F在CA延长线上,/FDA=ZB.
(1)求证:
AF=DE
(2)若AO6,BO10,求四边形AEDF勺周长.
分析本题是考查知识点较多的综合题,它不但考查应用三角形中位线定理的能力,而且还考查应用直角三角形和平行四边形有关性质的能力。
(1)要证AF=DE,因为它们刚好是四边形的一组对边,这就启发我们设法证明AEDF是平行四边形.因为DE是三角形的中位线,所以DE//AC又题给条件/FDA=ZB,而在Rt△ABC中,因AE是斜边上的中线,故AE=EB.从而/EAB=/B.于是/EAB=ZFDA故得到AE//DF.所以四边形AEDF为平行四边形.
(2)要求四边形AEDF勺周长,关键在于求AE和DEAE=2BC=5,DE=2AC=3.
证明:
(1)tDE分别为ABBC的中点,
•••DE//AC即DE//AF
tRt△ABC中,/BAG90°,BE=EC
•••E心E吐2BQZEAB=ZB
又t/FDA=ZB,
•••ZEAB=ZFDA
•••EA//DF,AEDF为平行四边形
•AF=DE
(2)tAO6,BO10,
丄1
•DE=2AO3,AE=2BC=5
•四边形AEDF勺周长=2(AE+DE)=2(3+5)=16
题2如图,在四边形ABCD中,AB=CDE、F分别是BCAD的中点,延长BA和CD分别与EF的延长线交于K、H。
求证:
ZBKE^ZCHE.
E
分析本题考查三角形中位线的构造方法及应用、平行线的性质•由中点想
到中位线,又要把结论联系起来,既要使中位线的另一端点处一理想的位置,又使需证明的角转移过来,可考虑,连BD找BD中点G则EGFG分别为△BCD△DBA勺中位线,于是得到了解题方法.考虑到结论辅助线不要乱作,取中点比作平行线好•
证明:
连BD并取BD的中点G连FGGE
在厶DAB^BCD中
TF是AD的中点,E是BC的中点
11
•••FG//AB且FG=2ABEG//DC且EG=2DC
•••/BKE=ZGFE/CH^ZGEF
•••A吐CD二FG=EG
•••ZGFE^ZGEF/-ZBKE=ZCHE
题3如图,
ABCD为等腰梯形,
AB//CDO为ACBD的交点,P、R、Q分
别为AO
DOBC的中点,ZAO圧60
求证:
△PQR为等边三角形.
分析本题考查三角形中位线定理、等边三角形判定方法、直角三角形斜边中线定理。
利用条件可知PR=2AD能否把PQRQ与AD(BC联系起来成为解题的关键,由于/A0圧60°,OBOC则厶ODC为等边三角形,再由R为OD中点,则/BR&90°,QR就为斜边BC的中线.
证明:
连RC•••四边形ABCD为等腰梯形且AB//DC
•••AD=BC/ADC=ZBCD
又vDC为公共边•••△ADC^ABCD
•••/ACD^ZBDC•••△ODC为等腰三角形
vZDOC^ZAO圧60°•••△ODC为等边三角形
vR为OD的中点
•••ZOR&90°=ZDRC等腰三角形底边上的中线也是底边上的高)
11
VQ为BC的中点•RQ=2BO2AD
11
同理PQ=2BO2AD
在厶OAD中vP、R分别为AOOD的中点
1
•PR=2AD•PR=PQ=RQ
故厶PRQ为等边三角形
3、教学难点:
本课难点是三角形中位线定理的证明,证明方法的关键在于如何添加辅助线.
教师可以在证明思路上进行引导、启发,避免生硬地将辅助线直接作出来
让学生接受。
例如,教师可以启发学生:
要证明一条线段的长等于另一条线段
的长的一半,可将较短的线段延长一倍,或者截取较长的线段的一半。
上面的这种辅助线的作法可以概括为“短延长、长截短”,这种辅助线的作法还可以用于证明线段和、差、倍、分等方面。
证明线段的和、差、倍、分常用的证明策略:
1,长截短:
要证明一条线段等于另外两条线段的和与差,可在长线上截取
一部分等于另两条线段中的一条,然后再证明另一部分等于剩下的一条线段的长。
(角也亦然)
2,短延长:
要证明一条线段等于另外两条线段的和与差,可先延长较短的
一条线段,得到两条线段的和,然后再证明其与长的线段相等。
(角也这样)
3,加倍法:
要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2,可加倍延长线段,延长后使之为其2倍,再证明与另一条线段相等。
(角也这样)
4,折半法:
要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2,也可取长线段的中点,再证明其中之一与另一条线段相等。
(角也可用)
5,代数运算推理法:
这种方法是利用代数运算证明线段或角的和、差、倍、
分。
6,相似三角形及比例线段法:
利用相似三角形的性质进行推理论证。
题1(短延长):
如图所示,在正方形ABCD中,P、Q分别为BCCD上的点。
(1)若NPAQ=45,求证:
PB+DQ=RQ
(2)若厶PCC的周长等于正方形周长的一半,求证:
•PAQ=45
证明:
(1)延长CB至E,使BE=DQ连接AE
•••四边形ABCD1正方形
•••ABE=ABC=D=90,AB=AD
在厶ABEft^ADQ^
•••AB=AD乂ABEND,BE=DQ
ABE三ADQ
.AE=AQ,BAE—QAD
PAQ=45°
BAPQAD=45°
BAPBAE=45°,
即EAP=/PAQ=45°
在AEP和AQP中
AE二AQ,EAP=PAQ,AP二AP
AEP二AQP
EP=PQ
EP=EBBP=DQBP=PQ
即PBDQ=PQ
(2)延长CB至E,使BE=DQ连接AE
由(1可知ABE=ADQ
.AE=AQ,•BAE=/QAD
DAQ.BAQ—BAE.BAQ=90°
.PCQ的周长等于正方形周长的一半
PCQCQP=BCCD
.PQ=(BC-PC)(CD-QC)二BPDQ=BPEB=EP在:
AEP和AQP中
AE=AQ,EP=PQ,AP=AP
AEP二AQP
EAP二PAQ二45°
题2(长截短):
如图,在△ABC中,ZB=2/C,ZA的平分线AD交BC于
D。
求证:
AC=AB+BD
证明:
在AC上截取OA=AB,连接0D,
vZ3=Z4,AD=AD
•••△ABD◎△AOD,二BD=DO
•••ZB=Z1=Z2+ZC=2ZC
•••Z2=ZC
OD=OC=BD
•AC=OA+OC=AB+BD
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