已知函数f.docx
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已知函数f
1已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程.
(2)直线l是曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.
【思路点拨】
(1)k=f′
(2).
(2)设切点(x0,y0)求f′(x0),利用切线过原点求x0,从而得切线方程.
【规范解答】
(1)∵f(x)=x3+x-16,
∴f′(x)=3x2+1,
∴在点(2,-6)处的切线的斜率为f′
(2)=13,切线方程为y+6=13(x-2),
即y=13x-32.
(2)设切点为(x0,y0),
∴直线l的斜率为f′(x0)=3x
+1,
直线l的方程为y-y0=(3x
+1)(x-x0),
即y=(3x
+1)(x-x0)+x
+x0-16.
又∵直线l过点(0,0),
∴(3x
+1)(-x0)+x
+x0-16=0,
解得x0=-2,
∴y0=-26,3x
+1=13,
∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
(1)判断点P(x0,y0)是否在曲线y=f(x)上.
(2)若点P(x0,y0)为切点,则曲线y=f(x)在点P处的切线的斜率为f′(x0),切线的方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).
若点P(x0,y0)不是切点,则设切点为Q(x1,y1),则切线方程为y-y1=f′(x1)(x-x1),再由切线过点P(x0,y0)得y0-y1=f′(x1)(x0-x1)①,
又y1=f(x1)②,
由①②求出x1,y1的值.即求出了过点P(x0,y0)的切线方程.
2.已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程.
(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.
(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-
x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.
【解】
(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.
因为f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1.
所以曲线在点(2,-6)处的切线的斜率为f′
(2)=13.
所以切线的方程为y-(-6)=13(x-2),
即13x-y-32=0.
(2)设切点为(x0,y0),
则直线l的斜率为f′(x0)=3x
+1,
所以直线l的方程为y=(3x
+1)(x-x0)+x
+x0-16.
又因为直线l过点(0,0),
所以0=(3x
+1)(-x0)+x
+x0-16,
整理得x
=-8,所以x0=-2,
所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,
k=3×(-2)2+1=13,所以直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
(3)因为切线与直线y=-
x+3垂直,
所以切线的斜率为4.
设切点的坐标为(x1,y1),
则f′(x1)=3x
+1=4,
所以x1′=±1,所以
或
即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),
所以切线方程为y-(-14)=4(x-1)或y-(-18)=4(x+1).
即4x-y-18=0或4x-y-14=0.
利用导数研究函数的单调性
3. 已知f(x)=ex-ax-1.
(1)求f(x)的单调减区间.
(2)若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围.
【思路点拨】
(1)求f′(x),讨论a的取值确定f′(x)的符号.
(2)由f′(x)≥0在R上恒成立确定a.
【规范解答】
(1)∵f(x)=ex-ax-1,
∴f′(x)=ex-a.
令f′(x)≤0得ex≤a,
当a≤0时,有f′(x)≤0无解;
当a>0时,有x≤lna.
综上,当a≤0时,f(x)无单调减区间;
当a>0时,f(x)的单调减区间为(-∞,lna].
(2)∵f(x)在R上单调递增,
∴f′(x)=ex-a≥0恒成立,
即a≤ex,x∈R恒成立.
∵x∈R时,ex∈(0,+∞),∴a≤0.
1.导数的符号与函数单调性关系
(1)在某个区间(a,b)内,若f′(x)>0,则f(x)为增函数;若f′(x)<0,则f(x)为减函数;若f′(x)=0恒成立,则f(x)为常数函数;若f′(x)的符号不确定,则f(x)不是单调函数.
(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上是增加的,则f′(x)≥0;若函数y=f(x)在区间(a,b)上是减少的,则f′(x)≤0.
2.求含参数的函数的单调区间讨论时要注意的三个方面
(1)f′(x)=0有无根.
(2)f′(x)=0根的大小.
(3)f′(x)=0的根是否在定义域内.另外当f′(x)=0的最高次项系数含有字母时,则要讨论系数是否为0.
3.已知函数的单调性求参数的取值范围有两种思路
(1)转化为不等式在某区间上恒成立问题,即f′(x)≥0(或≤0)恒成立,用分离参数求最值或函数性质求解,注意验证使f′(x)=0的参数是否符合题意.
(2)构造关于参数的不等式求解,即令f′(x)>0(或<0)求得用参数表示的单调区间,结合所给区间,利用区间端点列不等式求参数的取值范围.
4.(2014·日照高二检测)设函数f(x)=x3-
x2+6x-a.
(1)求函数f(x)的单调区间.
(2)对于任意实数x,f′(x)≥m恒成立,求m的最大值.
【解】
(1)f′(x)=3(x-1)(x-2),令f′(x)>0,所以x∈(-∞,1)∪(2,+∞),故函数f(x)的单调增区间为(-∞,1)和(2,+∞);令f′(x)<0,得x∈(1,2),故函数f(x)的单调减区间为(1,2).
(2)由题意可知m≤f′(x)min,又因为f′(x)=3
2-
≥-
,所以m≤-
,故m的最大值为-
.
利用导数研究函数的极值和最值
5 (2014·安徽高考)设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;
(2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.
【思路点拨】
(1)利用导数运算公式求出函数f(x)的导数,求出导数为0时对应方程的根及由导数值的符号判断函数的单调性.
(2)利用函数的单调性及分类讨论思想求最值.
【规范解答】
(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),
f′(x)=1+a-2x-3x2.
令f′(x)=0,得x1=
,x2=
,
x1 所以f′(x)=-3(x-x1)(x-x2). 当x 故f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)内单调递减,在(x1,x2)内单调递增. (2)因为a>0,所以x1<0,x2>0. ①当a≥4时,x2≥1,由 (1)知,f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值. ②当0 (1)知,f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减,所以f(x)在x=x2= 处取得最大值. 又f(0)=1,f (1)=a,所以 当0 当a=1时,f(x)在x=0处和x=1处同时取得最小值;
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