全国青少年信息学计算机奥林匹克分区联赛提高组复赛试题.docx
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全国青少年信息学计算机奥林匹克分区联赛提高组复赛试题
2002年全国青少年信息学〔计算机〕奥林匹克分区联赛复赛试题
注意事项:
认真阅读理解,结合历年的真题,总结经验,查找不足!
重在审题,多思考,多理解!
〔提高组竞赛用时:
3小时〕
题一均分纸牌〔存盘名NOIPG1〕
[问题描述]
有N堆纸牌,编号分别为1,2,…,N。
每堆上有假设干张,但纸牌总数必为N的倍数。
可以在任一堆上取假设于张纸牌,然后移动。
移牌规那么为:
在编号为1堆上取的纸牌,只能移到编号为2的堆上;在编号为N的堆上取的纸牌,只能移到编号为N-1的堆上;其他堆上取的纸牌,可以移到相邻左边或右边的堆上。
现在要求找出一种移动方法,用最少的移动次数使每堆上纸牌数都一样多。
例如N=4,4堆纸牌数分别为:
①9②8③17④6
移动3次可达到目的:
从③取4张牌放到④〔981310〕->从③取3张牌放到②〔9111010〕->从②取1张牌放到①〔10101010〕。
[输入]:
键盘输入文件名。
文件格式:
N〔N堆纸牌,1<=N<=100〕
A1A2…An〔N堆纸牌,每堆纸牌初始数,l<=Ai<=10000〕
[输出]:
输出至屏幕。
格式为:
所有堆均达到相等时的最少移动次数。
‘
[输入输出样例]
a.in:
4
98176
屏慕显示:
3
题二字串变换〔存盘名:
NOIPG2〕
[问题描述]:
有两个字串A$,B$及一组字串变换的规那么〔至多6个规那么〕:
A1$->B1$
A2$->B2$
规那么的含义为:
在A$中的子串A1$可以变换为B1$、A2$可以变换为B2$…。
例如:
A$='abcd'B$='xyz'
变换规那么为:
‘abc’->‘xu’‘ud’->‘y’‘y’->‘yz’
那么此时,A$可以经过一系列的变换变为B$,其变换的过程为:
‘abcd’->‘xud’->‘xy’->‘xyz’
共进行了三次变换,使得A$变换为B$。
[输入]:
键盘输人文件名。
文件格式如下:
A$B$
A1$B1$\
A2$B2$ |->变换规那么
....../
所有字符串长度的上限为20。
[输出]:
输出至屏幕。
格式如下:
假设在10步〔包含10步〕以内能将A$变换为B$,那么输出最少的变换步数;否那么输出“NOANSWER!
”
[输入输出样例]
b.in:
abcdwyz
abcxu
udy
yyz
屏幕显示:
3
题三自由落体〔存盘名:
NOIPG3〕
[问题描述]:
在高为H的天花板上有n个小球,体积不计,位置分别为0,1,2,…、n-1。
在地面上有一个小车〔长为L,高为K,距原点距离为S1〕。
小球下落距离计算公式为d=1/2*g*(t^2),其中g=10,t为下落时间。
地面上的小车以速度V前进。
如下图:
小车与所有小球同时开始运动,当小球距小车的距离<=0.00001时,即认为小球被小车接受〔小球落到地面后不能被接受〕。
请你计算出小车能接受到多少个小球。
[输入]:
键盘输人:
H,S1,V,L,K,n〔l<=H,S1,V,L,K,n<=100000〕
[输出]:
屏幕输出:
小车能接受到的小球个数。
[输入输出样例]
[输入]:
5.09.05.02.51.85
[输出]:
1
题四矩形覆盖〔存盘名NOIPG4〕
[问题描述]:
在平面上有n个点〔n<=50〕,每个点用一对整数坐标表示。
例如:
当n=4时,4个点的坐标分另为:
p1〔1,1〕,p2〔2,2〕,p3〔3,6〕,P4〔0,7〕,见图一。
这些点可以用k个矩形〔1<=k<=4〕全部覆盖,矩形的边平行于坐标轴。
当k=2时,可用如图二的两个矩形sl,s2覆盖,s1,s2面积和为4。
问题是当n个点坐标和k给出后,怎样才能使得覆盖所有点的k个矩形的面积之和为最小呢。
约定:
覆盖一个点的矩形面积为0;覆盖平行于坐标轴直线上点的矩形面积也为0。
各个矩形必须完全分开〔边线与顶点也都不能重合〕。
[输入]:
键盘输人文件名。
文件格式为
nk
xly1
x2y2
......
xnyn〔0<=xi,yi<=500)
[输出]:
输出至屏幕。
格式为:
一个整数,即满足条件的最小的矩形面积之和。
[输入输出样例]
d.in:
42
11
22
36
07
屏幕显示:
4
2002年全国青少年信息学〔计算机〕
奥林匹克分区联赛复赛提高组试题解题报告
题一均分纸牌〔存盘名NOIPG1〕
[问题描述]
有N堆纸牌,编号分别为1,2,…,N。
每堆上有假设干张,但纸牌总数必为N的倍数。
可以在任一堆上取假设干张纸牌,然后移动。
移牌规那么为:
在编号为1堆上取的纸牌,只能移到编号为2的堆上;在编号为N的堆上取的纸牌,只能移到编号为N-1的堆上;其他堆上取的纸牌,可以移到相邻左边或右边的堆上。
现在要求找出一种移动方法,用最少的移动次数使每堆上纸牌数都一样多。
例如N=4,4堆纸牌数分别为:
①9②8③17④6
移动3次可达到目的:
从③取4张牌放到④〔981310〕->从③取3张牌放到②〔9111010〕->从②取1张牌放到①〔10101010〕。
[输入]:
键盘输入文件名。
文件格式:
N〔N堆纸牌,1<=N<=100〕
A1A2…An〔N堆纸牌,每堆纸牌初始数,l<=Ai<=10000〕
[输出]:
输出至屏幕。
格式为:
所有堆均达到相等时的最少移动次数。
‘
[输入输出样例]
a.in:
4
98176
屏慕显示:
3
分析:
如果你想到把每堆牌的张数减去平均张数,题目就变成移动正数,加到负数中,使大家都变成0,那就意味着成功了一半!
拿例题来说,平均张数为10,原张数9,8,17,6,变为-1,-2,7,-4,其中没有为0的数,我们从左边出发:
要使第1堆的牌数-1变为0,只须将-1张牌移到它的右边〔第2堆〕-2中;结果是-1变为0,-2变为-3,各堆牌张数变为0,-3,7,-4;同理:
要使第2堆变为0,只需将-3移到它的右边〔第3堆〕中去,各堆牌张数变为0,0,4,-4;要使第3堆变为0,只需将第3堆中的4移到它的右边〔第4堆〕中去,结果为0,0,0,0,完成任务。
每移动1次牌,步数加1。
也许你要问,负数张牌怎么移,不违反题意吗?
其实从第i堆移动-m张牌到第i+1堆,等价于从第i+1堆移动m张牌到第i堆,步数是一样的。
如果张数中本来就有为0的,怎么办呢?
如0,-1,-5,6,还是从左算起〔从右算起也完全一样〕,第1堆是0,无需移牌,余下与上相同;再比如-1,-2,3,10,-4,-6,从左算起,第1次移动的结果为0,-3,3,10,-4,-6;第2次移动的结果为0,0,0,10,-4,-6,现在第3堆已经变为0了,可节省1步,余下继续。
程序清单
programNOIPG1;
constmaxn=100;
vari,j,n,step:
integer;ave:
longint;
a:
array[1..maxn]ofinteger;
f:
text;filename:
string;
begin
write('Inputfilename:
');readln(filename);
assign(f,filename);reset(f);
readln(f,n);ave:
=0;step:
=0;
fori:
=1tondobegin
read(f,a[i]);inc(ave,a[i]);
end;
ave:
=avedivi;
fori:
=1tondoa[i]:
=a[i]-ave;
i:
=1;j:
=n;
whilea[i]=0doinc(i);{过滤左边的0}
whilea[j]=0dodec(j);{过滤右边的0}
while(i inc(a[i+1],a[i]);{将第i堆牌移到第i+1堆中去} a[i]: =0;{第i堆牌移走后变为0} inc(step);{移牌步数计数} inc(i);{对下一堆牌进行循环操作} whilea[i]=0doinc(i);{过滤移牌过程中产生的0} end; writeln(step); end. 点评: 基此题〔较易〕此题有3点比较关键: 一是善于将每堆牌数减去平均数,简化了问题;二是要过滤掉0〔不是所有的0,如-2,3,0,-1中的0是不能过滤的〕;三是负数张牌也可以移动,这是辩证法〔关键中的关键〕。 题二字串变换〔存盘名: NOIPG2〕 [问题描述]: 有两个字串A$,B$及一组字串变换的规那么〔至多6个规那么〕: A1$->B1$ A2$->B2$ 规那么的含义为: 在A$中的子串A1$可以变换为B1$、A2$可以变换为B2$…。 例如: A$='abcd'B$='xyz' 变换规那么为: ‘abc’->‘xu’‘ud’->‘y’‘y’->‘yz’ 那么此时,A$可以经过一系列的变换变为B$,其变换的过程为: ‘abcd’->‘xud’->‘xy’->‘xyz’ 共进行了三次变换,使得A$变换为B$。 [输入]: 键盘输人文件名。 文件格式如下: A$B$ A1$B1$\ A2$B2$ |->变换规那么 ....../ 所有字符串长度的上限为20。 [输出]: 输出至屏幕。 格式如下: 假设在10步〔包含10步〕以内能将A$变换为B$,那么输出最少的变换步数;否那么输出“NOANSWER! ” [输入输出样例] b.in: abcdxyz abcxu udy yyz 屏幕显示: 3 分析: 此题是典型的广度优先搜索的例子,但如果只采用正向搜索,某些情况下计算量过大,速度过慢,故采取双向搜索且判重并适当剪枝,效果较好。 程序清单 {$A-,B-,D-,E-,F-,G-,I-,L-,N-,O-,P-,Q-,R-,S-,T-,V-,X-,Y-} {$M8192,0,655360} programNOIPG2; constmaxn=2300; type node=record{定义节点数据类型} str: string[115];dep: byte; end;{str表示字串,其长度不会超过115〔长度超过115的字串 不可能通过变换成为目标字串,因为题目限定变换10次之内,且串长 不超过20,即起始串最多可经过5次变换时增长,中间串的最大长度 为20+5*19=115,否那么经过余下的步数不可能变为长度不超过20的 目标串〕,dep表示深度} ctype=array[1..maxn]of^node; bin=0..1; var maxk: byte;c: array[0..1]ofctype; x0: array[0..6,0..1]ofstring[20]; filename: string; open,closed: array[0..1]ofinteger; procedureInit;{读取数据,初始化} varf: text;temp: string;i,j: integer; begin fori: =0to1do forj: =1tomaxndonew(c[i,j]); write('Inputfilename: ');readln(filename); assign(f,filename);reset(f);i: =0; whilenoteof(f)and(i<=6)dobegin readln(f,temp); x0[i,0]: =copy(temp,1,pos('',temp)-1); x0[i,1]: =copy(temp,pos('',temp)+1,length(temp)); inc(i); end; maxk: =i-1;close(f); end; procedurecalc; vari,j,k: integer;st: bin; d: string;f: text; procedurebool(st: bin);{判断是否到达目标状态或双向搜索相遇} vari: integer; begin ifx0[0,1-st]=c[st,closed[st]]^.strthenbegin {如果到达目标状态,那么输出结果,退出} writeln(c[st,closed[st]]^.dep); halt; end; fori: =1toclosed[1-st]do ifc[st,closed[st]]^.str=c[1-st,i]^.strthenbegin {如果双向搜索相遇〔即得到同一节点〕, 那么输出结果〔2个方向搜索的步数之和〕,退出} writeln(c[st,closed[st]]^.dep+c[1-st,i]^.dep); halt; end; end; procedurecheckup(st: bin);{判断节点是否与前面重复} vari: integer; begin fori: =1toclosed[st]-1do ifc[st,i]^.str=c[st,closed[st]]^.strthenbegin dec(closed[st]);exit;{如果节点重复,那么删除本节点} end; bool(st);{如果节点不重复,再判断是否到达目标状态} end; procedureexpand(st: bin);{扩展产生新节点} vari,j,k,lx,ld: integer; begin inc(open[st]);d: =c[st,open[st]]^.str;{队首节点出队} k: =c[st,open[st]]^.dep;ld: =length(d); fori: =1tomaxkdobegin {从队首节点〔父节点〕出发产生新节点〔子节点〕} lx: =length(x0[i,st]); forj: =1tolddobegin if(copy(d,j,lx)=x0[i,st])and(length(copy(d,1,j-1)+x0[i,1-st] +copy(d,j+lx,ld))<=115)thenbegin {如果新节点的串长超过115,那么不扩展! 即剪掉此枝} ifclosed[st]>=maxnthenexit;{如果队列已满,只好退出} inc(closed[st]);{新节点入队} c[st,closed[st]]^.str: =copy(d,1,j-1)+x0[i,1-st]+copy(d,j+lx,ld); c[st,closed[st]]^.dep: =k+1;{子节点深度=父节点深度+1} checkup(st);{检查新节点是否重复} end; end; end; end; Begin forst: =0to1dobegin{正向(st=0)逆向(st=1)搜索节点队列初始化} open[st]: =0;closed[st]: =1; c[st,closed[st]]^.str: =x0[0,st];c[st,closed[st]]^.dep: =0; bool(st); end; repeat {选择节点数较少且队列未空、未满、深度未达到10的方向先扩展} if(open[0]<=open[1])andnot((open[0]>=closed[0])or (closed[0]>=maxn)or(c[0,closed[0]]^.dep>10))thenexpand(0); if(open[1]<=open[0])andnot((open[1]>=closed[1])or (closed[1]>=maxn)or(c[1,closed[1]]^.dep>10))thenexpand (1); {如果一方搜索终止,继续另一方的搜索,直到两个方向都终止} ifnot((open[0]>=closed[0])or(closed[0]>=maxn)or (c[0,closed[0]]^.dep>10))thenexpand(0); ifnot((open[1]>=closed[1])or(closed[1]>=maxn)or (c[1,closed[1]]^.dep>10))thenexpand (1); until(open[0]>=closed[0])or(c[0,closed[0]]^.dep>10)or(closed[0]>=maxn) and(closed[1]>=maxn)or(open[1]>=closed[1])or(c[1,closed[1]]^.dep>10); {终止条件: 任一方队空〔无解〕或搜索深度超过10〔10步内无解〕 或双方均溢出〔可能有解也可能无解,应尽量避免,要尽量把节 点数组开大一点,采用双向搜索,采取剪枝措施等〕} End; BEGIN init;calc;writeln('NOANSWER! ') END. 点评: 基此题〔较难〕考察队列、〔双向〕广度优先搜索算法及字符串的运算,基本上可以考察出参赛者的数据结构和算法水平。 题三自由落体〔存盘名: NOIPG3〕 [问题描述]: 在高为H的天花板上有n个小球,体积不计,位置分别为0,1,2,…、n-1。 在地面上有一个小车〔长为L,高为K,距原点距离为S1〕。 小球下落距离计算公式为d=1/2*g*(t^2),其中g=10,t为下落时间。 地面上的小车以速度V前进。 如下图: 小车与所有小球同时开始运动,当小球距小车的距离<=0.00001时,即认为小球被小车接受〔小球落到地面后不能被接受〕。 请你计算出小车能接受到多少个小球。 [输入]: 键盘输人: H,S1,V,L,K,n〔l<=H,S1,V,L,K,n<=100000〕 [输出]: 屏幕输出: 小车能接受到的小球个数。 [输入输出样例] [输入]: 5.09.05.02.51.85 [输出]: 1 分析: 显然,小车太慢〔即V<=Vmin〕或太快〔V>Vmax〕时,一个球也接不到。 即在V<=Vmin或V>Vmax时输出为0。 下面分别求Vmin和Vmax。 当第n-1个小球落地的瞬间,小车在小球的右端离小球尚有e=0.00001的距离,小车的这个极小速度就是Vmin。 小车从天花板落到地面的时间t1= 这段时间内小车走了S1-〔n-1〕-e,所以Vmin= 。 当第1个小球落到距小车的上表面为e的瞬间,小车在小球的左端离小球距离为e,小车的这个极大速度就是Vmax。 小球从天花板落到离小车上表面为e的距离的时间为t2= 小车移动的距离为S1+L+e,所以Vmax= 。 那么,当Vmin 显然,时间段[t2,t1]是小车接球的时间,在t2时刻,小车的位置为: 左表面离原点距离为S1-V*t2,右表面离原点距离为S1-V*t2+L;在t1时刻,小车的位置为: 左表面离原点距离为S1-V*t1,右表面离原点距离为S1-V*t1+L;故小车的接球范围(在小车运动范围外扩展e)为[S1-V*t1-e,S1-V*t2+L+e],球的个数就等于接球范围内所包含的0~n-1之间的整数的个数. 程序清单 programNOIPG3; constg=10{重力加速度};e=1E-5;{小车接受小球的极限距离} varH,s1,v,l,k,t1,t2,Vmin,Vmax: real; n2,n1,num,n: integer; begin readln(h,s1,v,l,k,n);num: =-1; t1: =sqrt(2*h/g);{小球落地时间} ifh<=k+ethent2: =0elset2: =sqrt(2*(h-k-e)/g);{小球落到小车上的最短时间} ifs1-v*t2+L+e<0 thennum: =0 elsen2: =trunc(s1-v*t2+L+e);{小车接受的球的最大编号为n2} ifn2>n-1thenn2: =n-1;{n2取trunc(s1-v*t2+L+e)与n-1的较小值} ifs1-v*t1-e<=0 thenn1: =0 elseifs1-v*t1-e>n-1 thennum: =0 elseif(s1-v*t1-e)=trunc(s1-v*t1-e) thenn1: =trunc(s1-v*t1-e){小车接受的球的最小编号为n1} elsen1: =trunc(s1-v*t1-e)+1; ifnum=-1thennum: =n2-n1+1;{小车接受的球的个数为num} writeln(num); end. 点评: 送分题此题“物理味”有余而“信息味”不足,连循环语句都用不上! 难见的“送分题”,可物理较差的人也得不到多少分哦! 题四矩形覆盖〔存盘名NOIPG4〕 [问题描述]: 在平面上有n个点〔n<=50〕,每个点用一对整数坐标表示。 例如: 当n=4时,4个点的坐标分另为: p1〔1,1〕,p2〔2,2〕,p3〔3,6〕,P4〔0,7〕,见图一。 这些点可以用k个矩形〔1<=k<=4〕全部覆盖,矩形的边平行于坐标轴。 当k=2时,可用如图二的两个矩形sl,s2覆盖,s1,s2面积和为4。 问题是当n个点坐标和k给出后,怎样才能使得覆盖所有点的k个矩形的面积之和为最小呢。 约定: 覆盖一个点的矩形面积为0;覆盖平行于坐标轴直线上点的矩形面积也为0。 各个矩形必须完全分开〔边线与顶点也都不能重合〕。 [输入]: 键盘输人文件名。 文件格式为 nk xly1 x2y2 ...... xnyn〔0<=xi,yi<=500) [输出]: 输出至屏幕。 格式为: 一个整数,即满足条件的最小的矩形面积之和。 [输入输出样例] d.in: 42 11 22 36 07 屏幕显示: 4 分析 1、此题的难度较大。 如果你这样认为: 即在假定已用i个矩形〔面积和满足最小〕覆盖所有点的基础上,穷举所有2个矩形合并成1个矩形〔条件是: 在所有合并方案中使合并后面积最小〕,从而使矩形个数减少为i-1——那就错了,可是却可以通过前4组测试数据! 正确的做法是对不同的K值分别进行计算,好在K值较小,否那么... 讨论: k=1,只要求出n个点坐标的最大、最小值,就可求得矩形的位置与面积; k=2,有2个矩形,它们只有2种分布形式: 左右式〔flag=0〕,上下式〔flag=1〕 对于左右式,显然要先将所有点按横坐标升序排列,可将点1~点i-1放入矩形1中,将点i~点n放入矩形2中,求两矩形的面积之和;如果面积和比上一个值小,记下;让i从2循环到n,就可完成左右式的全部搜索; 对于上下式,先将所有点按纵坐标升序排列,依此类推。 k=3,有3个矩形,它们有6种分布形式: 要用两重循环进行搜索: 设i,j为循环变量,将点1~i-1放入矩形1中,点i~j-1放入矩形2中,点j~n放入矩形3中;点必须在放入前排好序〔均为升序〕: 对于flag=0,所有点按横坐标排序;对于flag=1,所有点按纵坐标排序;对于flag=2,所有点先按横坐标排序,然后点i~n按纵坐标排序;对于flag=3,所有点先按横坐标排序,然后点1~j-1按纵坐标排序;对于flag=4,所有点先按纵坐标排序,然后点1~j-1按横坐标排序;对于flag=5,所有点先按纵坐标排序,然后点i~n按横坐标排序; 至于k=4,4个矩形有22种分布形式,实在太复杂! 幸好测试数据中没有K=4的情形(似乎有意放了一马? )。 据说此题全国没有一人全对! 〔只要求K=1,2,3〕 程序清单 {$A+,B-,D+,E+,F-,G-,I+,L+,N-,O-,P-,Q-,R-,S-,T-,V+,X+,Y+} {$M65520,0,6
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