振动学彭为习题1doc.docx
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振动学彭为习题1doc
2.1如图所示系统中,已知m1,m2,k1,k2,a1,a2,a3,a4,水平刚杆的质量忽略不计。
以m2的线位移为运动坐标,求系统的等效刚度ke。
解:
设m2的线位移为x,由能量法
1k
2
1k
2
k1a22
k2a32
1k
U
a2
x
a3
x
1
x2又U
x2
a
2
1a
4
2
2a
2
a
2
e
2e
4
4
故
ke
k1a22
k2a32
a42
2.2图示振动系统的弹性元件的质量忽略不计。
求系统的等效刚度(k1,k2为悬臂弹簧的刚度)。
解:
k1、k2串联keq1
k1k2
k1
k2
keq1、k3并联
keq2
keq1
k3
keq2、k4串联keq
keq2k4
keq2
k4
keq
keqk4
k1k2
k2k3
k3k1k4
keqk4
k1k2
k1
k2
k3k4
2.3图示振动系统中,弹性元件以及滑轮的质量忽略不计。
假定滑轮转动时无摩擦作用,求系统的等效刚度。
解:
设滑轮中心位移分别为x1、x2
由滑轮系运动分析可知x2x1x2
设绳中力为T0,则
2T0k1x1k2x2
x1
k1
x
k2
x
2
k1
k2
x2
2k1
k2
由能量法
1
2
1
2
1
k1k2
2
Ua
2k1x1
2k2x2
24k1k2
x
U
1k
x2
k
k1k2
k
e
2
e
e
4k
2
1
2.4设有一均质等截面简支梁如图。
在中间有一集中质量m。
如把梁本身质量M考虑在,试计算此系统的等效质量。
假定梁在自由振动时的动挠度曲线和简支梁中间有集中静载荷作用下的静挠度曲线一样。
解:
设为中点动挠度,即简支梁中点自由振动的位移。
y
梁在自由振动过程中离端点距离为
的截面在垂直方向的位移为y3l2
43
则速度为y&3l2
43
l3
l3
2l
1
&3l2
4
3
2
1
&2117
117
Ta
2
d
&2
&2
2
y
3
2
my
lmy
Mmy
0
l
235
235
1
&2
17
Te
2mey
me
35Mm
2.5若以平衡位置为坐标原点,且令该位置的势能为零,则如图所示各系统中质量离开静平衡位置的角度为时的总势能为多少?
并写出各自的振动方程。
系统作微振动
1
2
sin;1cos
2
解:
a:
U
1k
asin
2
mgl(1
cos
)
1
ka2
mgl
b:
U
2
asin
1ka2
2
1k
2
2
2
2
c:
U
1k
asin
2
mgl(1
cos
)
1
ka2
mgl
2
2
a:
ml2&&
ka2
mgl
0
b:
ml2&
ka2
0
c:
ml2&&
ka2
mgl
0
2
2
2.6一只用于流体力学试验室的压力表,具有均匀径,截面积为A。
装一长度为L、密度为ρ的水银柱,如图所示。
求液面在其平衡位置附近振动的频率。
忽略水银与管壁间的摩擦。
解:
&
n
2gL
f
1
LAx2Agx0
2gL
2
2.7确定图示系统的固有频率。
圆盘质量为m。
kak
r
Ox
解:
1
2
1
2
3
2
2
Ta
&
J
&
mr
&
2
mx
2
4
Ua21kra
2
kra
2
2
2
d
2
1
4kra
2
&&
4kra
1ra4k
t
Ua
Ta
0
3mr2
0f
3mr2
2r3m
2
2.8两个滑块在光滑的机体槽滑动,机体在水平面绕固定轴o以角速度ω转动。
每个滑块质量为m,各用弹簧常数为k的弹簧支承。
试确定其固有频率。
解:
在离心力作用下系统达到平衡时有:
kx
m
2
l0
x
以新平衡位置作为坐标原点,则有
mx&&
k(x
x)
m
2(l0xx)0
mx&kx
m
2x
0
f
1
k
2
2
m
2.9提升机系统如图所示。
,重物重量W=1.47×105N,钢丝绳的弹簧刚度k=5.78×104N/cm,重物以15m/min的速度均匀下降。
绳的上端突然被卡住时,求:
(1)重物的振动频率,
(2)钢丝绳中的最大力。
解:
1)重物的振动圆频率n
2)钢丝绳中的最大力
gk
/sf
n
3.1Hz
19.6rad
2
W
重物匀速下降时处于静平衡位置,若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位
置,
t
0时,x0
&
v
0,x0
x
&
sin
nt
1.28sin19.6t(cm)
x0
n
Tmax
Ts
kA
W
kA
1.47105
5.781041.282.21105N
2.10一有粘性阻尼的单自由度系统,在振动时测得周期为
1.8s,相邻两振幅之
比为4.2:
1。
求此系统的固有频率
解:
2
ln4.2
1.44
2
1
2
0.05
1
Td1.8
T1
2Td
1.754
f=0.57
2.11图示一弹性杆支承的圆盘,弹性杆扭转刚度为kt,圆盘对杆轴的转动惯量
为J。
如圆盘外缘受到与转动速度成正比的切向阻力,而圆盘衰减扭振的周期为Td。
求圆盘所受阻力偶矩与转动角速度的关系。
解:
J&&
&
kt
0
1
2
2
k
2
4
2
n
T
t
1
T
2
J
4Jk
t
d
d
2
142J
2Jk
42J2
4Jk
kT2
t
T2
t
td
d
M
2
Jkt
4
2J2
&
T
2
d
2.12在图示振动系统中,假定阻尼为临界阻尼。
已知k=175N/m,m=1.75kg,初位移x=1cm,初速度x=-12cm/s。
当t=0时放松质量块。
求:
(1)第一次到达静平衡位置的时间?
(2)过静平衡位置后的最大幅值为多少?
所需时间为多少?
解:
(1)临界阻尼状态下系统自由振动的解为
xe
nt
x0
&
nx0
t
x0
平衡位置x0
k
10rad/s
n
m
代入式中,t=-x
x0
0.5s
nx0
&0
(2)
最大幅值时&
0
x
代入式中,t=-
x
x&0
0.6s
nx0
&0
xmax0.000496cm
2.13图示振动系统中有一小阻尼,因此dn。
质量块
的质量为9kg,其在自然静止状态的弹簧伸长为12mm。
在系统的自由振动20周观察到振幅由10mm衰减到
2.5mm。
求:
(1)系统的阻尼系数?
(2)衰减系数;(3)阻尼
比;(4)临界阻尼。
解:
9
9.8
7350N/m
k
0.012
n
k
28.58rad/s
m
2
2
1
10
1
1
ln
0.069
20
2.5
0.011
n
n
0.314
cc2
km
514.4
c
cc
5.66
2.14图示弹簧质量振动系统,假设均质杆杆长为l,质量为m,且杆端有集中质量m。
试写出运动微分方程并求出临界阻尼系数和
阻尼固有频率。
1
l1m
2
1
4
解:
2
&
2
Ta
&
d
m
&
mx
02l
x
2
x
2
l
3
me
4m
3
1kbx
2
2
2
Ua
1b2kx2
ke
b2k
2
l
2
l
l
1
a
2
1
a2
a2
&
2
Da
c
&
ce
2c
2
l
x
2
l
2kx
l
4
&
a2c
&
b2k
0
3
mx
l
2
x
l
2
x
cc
2
meke
4b
km
l
3
2
ce2
3a4c2
cc2
16b2l2km
n
b
3k
fd
n
1
2
2l
m
2
2.15一个有阻尼弹簧-质量系统,受到简谐激励力的作用。
求发生加速度共振时的频率比。
解:
设激振力为
f
t
F0sin
t
F0
1
F0
2
sin(
t
&&
sin(t
)
x
2
)x
k
2
2
m
2
2
2
(1
)
2
(1
)
2
2
即为求f
(1
2)2
2
2
当为何值时取极大值
1
f
1
1
2
(1)2
42
2
2122
1
12
2
1
时发生加速度共振
122
2.16在图示的弹簧-质量系统中,在两弹簧连接处作用一激励力。
试求质量块m的振幅。
不考虑自由振动。
解:
&&
kx
kx
x1
0
mx
k(x1
x)
kx1
Fsin
t
x1
Fsin
t
kx
Fsin
t
x
2k
2k
2
&3
kx
1
t
mx
2
Fsin
2
3k
n=
2m
1F
1
F
1
F
x
2
2
sin
t
2
sin
t
2
sin
t
3
1
3k
2m
3k
2m
k
1
2
3k
B
F
3k2m2
2.17计算初始条件,以使mx&&kxF0sint的响应只以频率振动。
解:
x0cos
nt
&
sin
nt
B0
sin
nt
B0
2sint
x
x0
1
2
n
1
xcost
&
sin
t
B0
sin
t
0
x0
n
n
0
n
n
1
2
x0
0
&
B0
&
B0n
B0
F0
x0
1
2
x0
1
2
1
2
km
2
n
2.18图示振动系统的物理参数均为已知。
上面
的支座进行简谐振动xsa0sint求:
(1)质量块稳
态振幅与a0。
的比值;
(2)质量块的稳态响应。
解:
&&
&
&
H
c
i
mx
cxkx
cxs
km
2
ci
(1)B
c
2
a0
k
m
2
c
22
(2)arctan
m2k
c
xBsin(t)
2.19求系统在图示简谐运动作用下的响应。
解:
J&&kbbecostmga0
ma2&&kb2mgakbecost
H
1
mgama22
kb2
kbe
cost
kb2mgama22
2.20求系统在图示简谐运动作用下的运动方程。
xesint
解:
a
mxa&&
kbb
esin
t
0
mxa&&kbbxesint
esint
0
a
ma
2&&
kb
2
x
kba
b
esin
t
x
2.2115千克的电动机由四个相等的弹簧支承,每个弹簧的刚度为2.5KN/m。
电动机组件相对于其轴线的回转半径为100mm,转速1800转/分。
分别求垂直和
扭转振动时的隔振率。
解:
2
1800
188.5rad/s
60
①垂直振动:
4k
7.3
n
25.8rad/s
m
n
1
1
100%
98.1%
a
2
0.019
a
1
②扭转振动:
J&4kR2
0
2
4kR2
42.5
103
0.142
36.1rad/s
5.22
n
J
150.12
n
1
1
100%
96.2%
a
2
0.038
a
1
2.22图示振动系统的各物理参数均为己知量。
(1)写出系统的振动微分方程;
(2)写出激励函数
的前面四项;(3)写出系统稳态响应的前三项。
解:
&&
&
2kx
kxs
(1)mx
cx
(2)x
d(1
1
1sinn
t)
2
s
2
n1n
T
x
d
dsin2
t
d
sin4
t
d
sin6
t
L
s
2
T
2
T
3
T
3
H(
)
k
1/2
2k
c
2k
2m
c
i
1
2
2
i
n
m
22km
x
d
d
1H(n
)sin
n
t
n
n
arctan2n
4
n1n
1
n22
x
d
d
2
1
sin
2t
arctan2
2
4
2
1
2
2
2
T
1
d
1
sin
4
t
arctan
4
4
2
L
4
1
4
22
4
2
T
1
2.23用杜哈美积分求无阻尼弹簧质量系统对简谐激励
f(t)=F0sinωt的响应。
设初
始条件为零。
x
F0
t
sin
t
d
F0
1
t
cos
t
cos
ntd
mn
sin
n
mn
20
n
0
F0
1
t
nt
cos
nt
d
mn
cos
n
n
20
F0
n
2sin
t
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