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31用字母表示数
§3.1字母能表示数
一、教学目标
1、用代数式表示探索的规律;
2、能用字母表示以前学过的运算律和计算公式;
二、教学重点和难点
重点:
使学生经历探索并用代数式表示规律的过程。
难点:
使学生经历探索并用代数式表示规律的过程。
三、教学方法
引导探索法
六、教学过程
(一)、创设问题情境,引入课题
1、出示(投影),让学生写出关系式:
(1)从甲地到乙地的路程是15千米,步行要3小时,骑车要1小时,乘汽车要0.25小时,试问步行、骑车、乘汽车的速度分别是多少?
(2)、若用s表示路程,t表示时间,ν表示速度,你能用s与t表示ν吗?
(3)、一个正方形的边长是a厘米,则这个正方形的周长是多少?
面积是多少?
把一个学生的答案投影核对,点评.(说明用字母表示数简单明了)
二、讲授新课
例1儿歌
(1)1只青蛙1张嘴,2只眼睛4条腿,1声扑通跳下水;
2只青蛙2张嘴,4只眼睛8条腿,2声扑通跳下水;
3只青蛙3张嘴,6只眼睛12条腿,3声扑通跳下水;
……
在这首儿歌里,假如有只青蛙,那么请思考一下,应该有多少张嘴,多少只眼睛,多少条腿,以及多少声扑通跳下水?
同学们又快又准地表达出来.
(2)好,下面我们接着玩下一个游戏:
摆火柴
摆一个正方形□4根火柴
摆一个正方形□□4+3根火柴
摆一个正方形□□□4+3+3根火柴
……4+3×(100-1)、1+3X或3X+1根,并说说每个式子表示不同的意义。
(3)小结用字母表示数的一个重要特点,用字母表示数时需注意:
a)在同一个问题中,同一字母只能表示同一数量,不同的数量要用要用不同的字母表示。
b)用字母表示实际问题中某一数量时,字母的取值必须使这个问题有意义,并且符合实际。
三、课堂练习
课本P104的随堂练习
四、课时小结:
本节课我们学会了用字母简明地表示数字规律、数量关系和公式,这样的研究给我们带来了很大的方便。
五、作业。
习题3.1
六、板书设计
§3.1字母能表示数
1、游戏。
2、字母表示数的特点:
简明性;任意性;
3、字母表示数的应用。
a)用字母表示规律;b)用字母表示运算定律;c)用字母表示公式,如面积、体积等。
九、教学后记
§3.2代数式
一、教学目标
1、使学生认识用字母表示数的意义,并能说出一个代数式所表示的数量关系、运算定律、公式还可以探索规律;
2、初步培养学生观察、分析及抽象思维的能力;
3、通过本节课的教学,教育学生为建设有中国特色社会主义而刻苦学习
二、教学重点和难点
重点:
用字母表示数的意义
难点:
正确地说出代数式所表示的数量关系
三、教学方法
讲练相结合
四、教学过程
(一)、引言
数学是一门应用非常广泛的学科,是学习和研究现代科学技术必不可少的基础知识和基本工具。
中学的数学课,是从学习代数开始的除了学习代数以外,同学们还将陆续地学习平面几何、立体几何、解析几何等内容。
在开始学习代数的时候,大家要注意代数与小学数学的联系和区别,自觉地与算术对比:
哪些和小学数学相同或类似,哪些有严格的区别,逐步明确代数的特点。
代数的一个重要特点是用字母表示数,下面我们就从用字母表示数开始初中代数的学习。
(一)、从学生原有的认知结构提出问题
1、在小学我们曾学过几种运算律?
都是什么?
如可用字母表示它们?
(通过启发、归纳最后师生共同得出用字母表示数的五种运算律)
(1)加法交换律a+b=b+a;
(2)乘法交换律a·b=b·a;
(3)加法结合律(a+b)+c=a+(b+c);
(4)乘法结合律(ab)c=a(bc);
(5)乘法分配律a(b+c)=ab+ac
指出:
(1)“×”也可以写成“·”号或者省略不写,但数与数之间相乘,一般仍用“×”;
(2)上面各种运算律中,所用到的字母a,b,c都是表示数的字母,它代表我们过去学过的一切数
2、(投影)从甲地到乙地的路程是15千米,步行要3小时,骑车要1小时,乘汽车要0。
25小时,试问步行、骑车、乘汽车的速度分别是多少?
3、若用s表示路程,t表示时间,ν表示速度,你能用s与t表示ν吗?
4、一个正方形的边长是a厘米,则这个正方形的周长是多少?
面积是多少?
(用I厘米表示周长,则I=4a厘米;用S平方厘米表示面积,则S=a2平方厘米)
此时,教师应指出:
(1)用字母表示数可以把数或数的关系,简明的表示出来;
(2)在公式与中,用字母表示数也会给运算带来方便;(3)像上面出现的a,5,15÷3,4a,a+b,
以及a2等等都叫代数式
那么究竟什么叫代数式呢?
代数式的意义又是什么呢?
这正是本节课我们将要学习的内容
三、讲授新课
1、代数式
象【4+3(X-1)】,ab,a+c,f,4a等这样的式子都叫做代数式。
单独的一个数字或单独的一个字母以及用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子也叫代数式。
学习代数,首先要学习用代数式表示数量关系,明确代数上的意义
2、举例说明
例1填空:
(1)每包书有12册,n包书有__________册;
(2)温度由t℃下降到2℃后是_________℃;
(3)棱长是a厘米的正方体的体积是_____立方厘米;
(4)产量由m千克增长10%,就达到_______千克
(此例题用投影给出,学生口答完成)
解:
(1)12n;
(2)(t-2);(3)a3;(4)(1+10%)m
例2、说出下列代数式的意义:
(1)2a+3
(2)2(a+3);(3)
(4)a-
(5)a2+b2(6)(a+b)2
解:
(1)2a+3的意义是2a与3的和;
(2)2(a+3)的意义是2与(a+3)的积;
(3)
的意义是c除以ab的商;
(4)a-
的意义是a减去
的差;
(5)a2+b2的意义是a,b的平方的和;
(6)(a+b)2的意义是a与b的和的平方
说明:
(1)本题应由教师示范来完成;
(2)对于代数式的意义,具体说法没有统一规定,以简明而不致引起误会为出发点如第
(1)小题也可以说成“a的2倍加上3”或“a的2倍与3的和”等等
例3、用代数式表示:
(1)m与n的和除以10的商;
(2)m与5n的差的平方;
(3)x的2倍与y的和;
(4)ν的立方与t的3倍的积
分析:
用代数式表示用语言叙述的数量关系要注意:
①弄清代数式中括号的使用;②字母与数字做乘积时,习惯上数字要写在字母的前面。
解:
(1)
;
(2)(m-5n)2(3)2x+y;(4)3tν3
(四)、课堂练习
1、填空:
(投影)
(1)n箱苹果重p千克,每箱重_____千克;
(2)甲身高a厘米,乙比甲矮b厘米,那么乙的身高为_____厘米;
(3)底为a,高为h的三角形面积是______;
(4)全校学生人数是x,其中女生占48%,则女生人数是____,男生人数是____
2、说出下列代数式的意义:
(投影)
(1)2a-3c;
(2)
;(3)ab+1;(4)a2-b2
3、用代数式表示:
(投影)
(1)x与y的和;
(2)x的平方与y的立方的差;
(3)a的60%与b的2倍的和;(4)a除以2的商与b除3的商的和
(五)、师生共同小结
首先,提出如下问题:
1、本节课学习了哪些内容?
2用字母表示数的意义是什么?
3、什么叫代数式?
教师在学生回答上述问题的基础上,指出:
①代数式实际上就是算式,字母像数字一样也可以进行运算;②在代数式和运算结果中,如有单位时,要正确地使用括号
七、练习设计
1、一个三角形的三条边的长分别的a,b,c,求这个三角形的周长
2、张强比王华大3岁,当张强a岁时,王华的年龄是多少?
3、飞机的速度是汽车的40倍,自行车的速度是汽车的
,若汽车的速度是ν千米/时,那么,飞机与自行车的速度各是多少?
4、a千克大米的售价是6元,1千克大米售多少元?
5、圆的半径是R厘米,它的面积是多少?
6、用代数式表示:
(1)长为a,宽为b米的长方形的周长;
(2)宽为b米,长是宽的2倍的长方形的周长;
(3)长是a米,宽是长的
的长方形的周长;
(4)宽为b米,长比宽多2米的长方形的周长
八、板书设计
§3.2代数式
一、代数式;
二、列代数式应注意;
1、代数式的乘号可省略不写,但数字与数字之间一定要写;
2、数字与字母相乘,数字应写在字母的前面;
如果是带分数,需化成假分数;
3、遇到除法时,一般按分数的形式表示。
三、例题讲解;例1,例2
四、课时小结。
九、教学后记
§3.3列代数式
一、教学目标
1、使学生能把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来;
2、初步培养学生观察、分析和抽象思维的能力
二、教学重点和难点
重点:
把实际问题中的数量关系列成代数式
难点:
正确理解题意,从中找出数量关系里的运算顺序并能准确地写成代数式
三、教学过程
(一)、从学生原有的认知结构提出问题
1、用代数式表示乙数:
(投影)
(1)乙数比x大5;(x+5)
(2)乙数比x的2倍小3;(2x-3)
(3)乙数比x的倒数小7;(
-7)(4)乙数比x大16%((1+16%)x)
(应用引导的方法启发学生解答本题)
2、在代数里,我们经常需要把用数字或字母叙述的一句话或一些计算关系式,列成代数式,正如上面的练习中的问题一样,这一点同学们已经比较熟悉了,但在代数式里也常常需要把用文字叙述的一句话或计算关系式(即日常生活语言)列成代数式本节课我们就来一起学习这个问题
(二)、讲授新课
例1用代数式表示乙数:
(1)乙数比甲数大5;
(2)乙数比甲数的2倍小3;
(3)乙数比甲数的倒数小7;(4)乙数比甲数大16%
分析:
要确定的乙数,既然要与甲数做比较,那么就只有明确甲数是什么之后,才能确定乙数,因此写代数式以前需要把甲数具体设出来,才能解决欲求的乙数
解:
设甲数为x,则乙数的代数式为
(1)x+5
(2)2x-3;(3)
-7;(4)(1+16%)x(本题应由学生口答,教师板书完成)
最后,教师需指出:
第4小题的答案也可写成x+16%x
例2用代数式表示:
(1)甲乙两数和的2倍;
(2)甲数的
与乙数的
的差;
(3)甲乙两数的平方和;(4)甲乙两数的和与甲乙两数的差的积;
(5)乙甲两数之和与乙甲两数的差的积
分析:
本题应首先把甲乙两数具体设出来,然后依条件写出代数式
解:
设甲数为a,乙数为b,则
(1)2(a+b);
(2)
a-
b;(3)a2+b2;
(4)(a+b)(a-b);(5)(a+b)(b-a)或(b+a)(b-a)
(本题应由学生口答,教师板书完成)
此时,教师指出:
a与b的和,以及b与a的和都是指(a+b),这是因为加法有交换律但a与b的差指的是(a-b),而b与a的差指的是(b-a)两者明显不同,这就是说,用文字语言叙述的句子里应特别注意其运算顺序
例3用代数式表示:
(1)被3整除得n的数;
(2)被5除商m余2的数
分析本题时,可提出以下问题:
(1)被3整除得2的数是几?
被3整除得3的数是几?
被3整除得n的数如何表示?
(2)被5除商1余2的数是几?
如何表示这个数?
商2余2的数呢?
商m余2的数呢?
解:
(1)3n;
(2)5m+2
(这个例子直接为以后让学生用代数式表示任意一个偶数或奇数做准备)
例4设字母a表示一个数,用代数式表示:
(1)这个数与5的和的3倍;
(2)这个数与1的差的
;
(3)这个数的5倍与7的和的一半;(4)这个数的平方与这个数的
的和
分析:
启发学生,做分析练习如第1小题可分解为“a与5的和”与“和的3倍”,先将“a与5的和”例成代数式“a+5”再将“和的3倍”列成代数式“3(a+5)”
解:
(1)3(a+5);
(2)
(a-1);(3)
(5a+7);(4)a2+
a
(通过本例的讲解,应使学生逐步掌握把较复杂的数量关系分解为几个基本的数量关系,培养学生分析问题和解决问题的能力)
例5设教室里座位的行数是m,用代数式表示:
(1)教室里每行的座位数比座位的行数多6,教室里总共有多少个座位?
(2)教室里座位的行数是每行座位数的
,教室里总共有多少个座位?
分析本题时,可提出如下问题:
(1)教室里有6行座位,如果每行都有7个座位,那么这个教室总共有多少个座位呢?
(2)教室里有m行座位,如果每行都有7个座位,那么这个教室总共有多少个座位呢?
(3)通过上述问题的解答结果,你能找出其中的规律吗?
(总座位数=每行的座位数×行数)
解:
(1)m(m+6)个;
(2)(
m)m个
(三)、课堂练习
1设甲数为x,乙数为y,用代数式表示:
(投影)
(1)甲数的2倍,与乙数的
的和;
(2)甲数的
与乙数的3倍的差;
(3)甲乙两数之积与甲乙两数之和的差;(4)甲乙的差除以甲乙两数的积的商
2用代数式表示:
(1)比a与b的和小3的数;
(2)比a与b的差的一半大1的数;
(3)比a除以b的商的3倍大8的数;(4)比a除b的商的3倍大8的数
3用代数式表示:
(1)与a-1的和是25的数;
(2)与2b+1的积是9的数;
(3)与2x2的差是x的数;(4)除以(y+3)的商是y的数
〔
(1)25-(a-1);
(2)
;(3)2x2+2;(4)y(y+3)〕
(四)、师生共同小结:
首先,请学生回答:
1、怎样列代数式?
2、列代数式的关键是什么?
其次,教师在学生回答上述问题的基础上,指出:
对于较复杂的数量关系,应按下述规律列代数式:
(1)列代数式,要以不改变原题叙述的数量关系为准(代数式的形式不唯一);
(2)要善于把较复杂的数量关系,分解成几个基本的数量关系;
(3)把用日常生活语言叙述的数量关系,列成代数式,是为今后学习列方程解应用题做准备要求学生一定要牢固掌握.
四、练习设计
1、用代数式表示:
(1)体校里男生人数占学生总数的60%,女生人数是a,学生总数是多少?
(2)体校里男生人数是x,女生人数是y,教练人数与学生人数之比是1∶10,教练人数是多?
2、已知一个长方形的周长是24厘米,一边是a厘米,
求:
(1)这个长方形另一边的长;
(2)这个长方形的面积
五、教学后记:
§3.4代数式求值
一、教学目标
1.使学生掌握代数式的值的概念,会求代数式的值;
2.培养学生准确地运算能力,并适当地渗透对应的思想.
二、教学重点和难点
重点:
当字母取具体数字时,对应的代数式的值的求法及正确地书写格式.
难点:
正确地求出代数式的值.
三、教学过程
(一)、从学生原有的认识结构提出问题
1.用代数式表示:
(投影)
(1)a与b的和的平方;
(2)a,b两数的平方和;
(3)a与b的和的50%.
2.用语言叙述代数式2n+10的意义.
3.对于第2题中的代数式2n+10,可否编成一道实际问题呢?
(在学生回答的基础上,教师打出投影)
某学校为了开展体育活动,要添置一批排球,每班配2个,学校另外留10个,如果这个学校共有n个班,总共需多少个排球?
若学校有15个班(即n=15),则添置排球总数为多少个?
若有20个班呢?
最后,教师根据学生的回答情况,指出:
需要添置排球总数,是随着班数的确定而确定的;当班数n取不同的数值时,代数式2n+10的计算结果也不同,显然,当n=15时,代数式的值是40;当n=20时,代数式的值是50.我们将上面计算的结果40和50,称为代数式2n+10当n=15和n=20时的值.这就是本节课我们将要学习研究的内容.
(二)、师生共同研究代数式的值的意义
1.用数值代替代数式里的字母,按代数式指明的运算,计算后所得的结果,叫做代数式的值.
2.结合上述例题,提出如下几个问题:
(1)求代数式2n+10的值,必须给出什么条件?
(2)代数式的值是由什么值的确定而确定的?
当教师引导学生说出:
“代数式的值是由代数式
里字母的取值的确定而确定的”之后,可用图示帮助
学生加深印象.
然后,教师指出:
只要代数式里的字母给定一个确定的值,代数式就有唯一确定的值与它对应.
(3)求代数式的值可以分为几步呢?
在“代入”这一步,应注意什么呢?
下面教师结合例题来引导学生归纳,概括出上述问题的答案.(教师板书例题时,应注意格式规范化)
例1 当x=7,y=4,z=0时,求代数式x(2x-y+3z)的值.
解:
当x=7,y=4,z=0时,
x(2x-y+3z)=7×(2×7-4+3×0)
=7×(14-4)
=70.
注意:
如果代数式中省略乘号,代入后需添上乘号.
解:
(1)当a=4,b=12时,
注意
(1)如果字母取值是分数,作乘方运算时要加括号;
(2)注意书写格式,“当……时”的字样不要丢;
(3)代数式里的字母可取不同的值,但是所取的值不应当使代数式或代数式所表示的数量关系失去实际意义,如此例中a不能为零,在代数式2n+10中,n是代数班的个数,n不能取分数.
最后,请学生总结出求代数值的步骤:
①代入数值 ②计算结果
(三)、课堂练习
1.
(1)当x=2时,求代数式x2-1的值;
2.填表:
(投影)
(1)(a+b)2;
(2)(a-b)2.
3.梯形上底m,下底是上底的2倍,高比上底小1,用代数式表示其面积。
4.已知
,求
的值。
5.若
,代数式
的值为0,则a的值。
6.已知
,当
时
,则问
时,y的值。
(四)、师生共同小结
首先,请学生回答下面问题:
1.本节课学习了哪些内容?
2.求代数式的值应分哪几步?
3.在“代入”这一步应注意什么?
其次,结合学生的回答,教师指出:
(1)求代数式的值,就是用数值代替代数式里的字母,按照代数式的运算顺序,直接计算后所得的结果就叫做代数式的值;
(2)代数式的值是由代数式里字母所取值的确定而确定的.
五、板书设计
§3.4代数式求值
一、数值代入代数式求值;
二、议一议;
三、课堂练习;
四、课时小结
九、教学后记
§3.5合并同类项
(一)
一、教学目标
1、理解用字母表示数的意义,发展符号感;
2、项、系数的概念;
二、教学重点和难点
重点:
1、理解用字母表示数的意义;2、对项、系数的概念的理解。
难点:
对项、系数的概念的理解。
三、教学方法
讲练相结合
四、教学过程
(一)、复习旧知识,引入新知识
三、教学过程与分析
本节课由五个教学环节组成,它们是①情境引入②深化训练③明晰概念④趣味活动⑤归纳小结。
其具体内容与分析如下:
第一环节情境引入
活动内容:
讨论教材提供的问题情境。
通过师生交流,获得问题的初步解。
并在求解的过程中关注学生在相关运算方面的技能掌握情况:
从
(
)
化简到
。
(学生能正确化简的不多)(投影出下面的图)
目的:
应用教科书所提供的一个为娱乐场所设计方案的情景,融入这个情境之中,学生更乐于去解答问题。
了解代数式的实际背景,进一步理解字母表示数的意义。
在求休息区的面积时,学生在化简和书写规范上的问题是可以预见的,细致的讲解和规范的统一是非常必要的。
效果:
学生对这个实际问题在思考后作出解答,体会代数式的表示作用。
在求休息区的面积时,学生出现了课前预见的在化简和书写规范上的问题。
在讲解了化简之后,
或
n
或
n
三种书写方式的给出对于学生在后面认清单项式的系数作了一个准备。
第二环节深化训练
内容:
讨论教材中的“做一做”:
1)一辆火车以v千米/小时的速度匀速行驶,1.5时后火车行驶的路程是千米;
2)圆锥的底面半径为r,高为h,这个圆锥的体积是;
3)如下图,一个长方体的箱子紧靠墙角,它的长、宽、高分别是a,b,c。
这个箱子露在外面的表面积是。
(2)(3)
让学生以小组活动形式用这个例子编一道列代数式的题,让周围的同学做一做。
教师在学生活动过程中了解情况,参与学生的讨论,帮助学生改进题目,并选择一些好的作品。
在学生充分交流后,把选出来的题投影到屏幕上全班同学做。
然后请出题的同学订正答案。
目的:
进一步丰富代数式的实际背景,使学生再一次体会代数式的表示作用。
并在具体的教学中,参照教科书创设的实际情景的意图,结合学习生活中的实际,让学生去创设新的自己更为熟悉的情景。
效果:
在丰富的实际背景中,学生能更好地理解符号以及表达式的意义,发展学生的符号感。
让学生去创设新的自己更为熟悉的情景充分体现了学生在学习中的主导地位,学生的积极性被充分调动,思维活跃,课堂效率高。
课堂的训练取自身边的学习素材,学生更乐于去做,更愿意去研究,也更容易理解。
第三环节明晰概念:
观察以上活动中得到的代数式,帮助学生归纳,形成代数式的相关概念。
投影
、-15a
b、xy、
、-a请同学们说出它们的系数。
师生共同讨论结果。
目的:
初步了解项、系数的概念是本课的一个重点,也是学习下一课时的必不可少的知识准备。
相应的两组课堂练习,目的是使新概念在学生的头脑中得到巩固。
对于在认识新的概念过程中出现的问题要充分辨析,并予以总结。
在这个过程中一株省委组,教师加以应道和必要的强调。
考虑到在以后的学习中,学生还将学习整式及其运算,因此在本课时中教师没有补充超过本书习题难度或复杂程度的练习。
效果:
引出概念后通过两组课堂练习,学生能较快掌握项、系数的概念。
对一些常见错误的辨析归纳,即防范了学生今后出现类似的错误,也加深了学生对概念的理解。
第四环节趣味活动:
内容:
教师你们回答得非常好。
为了鼓励大家,老师来给同学们安排一个游戏活动,请同学们准备好纸和笔。
学生大家的注意力又一次迅速集中到老师这儿。
教师请每个同学写出一个单独的项,可以现编一个,也可以在以往的练习中找一个,注意尽量避免雷同的。
然后,大家就凭着你写的项去找一找谁和你是好朋友?
是有共同点的?
把它的名字和项记下来,可以下位找。
学生个个认真去观察别人写的项、对照比较。
课堂气氛顿时空前活跃,达到了高潮。
教师在学生充分交流之后,让学生安静下来,举手发言说说自己找到好友的理由。
学生发言积极,有的说找到了和自己的一样的项;有的说我们2个的系数都一样;有的说我和××字母一样;有的说我和××都有字母a……
教师对学生的各种有道理的回答都予以肯定,给学生一个自由多样的空间
目的:
在课前的准备中就考虑到本课有充分的时间来安排这样一个数学活动。
让学生自己在学过的内容中去寻找实例,通过尝试对项分类,培养观察、比较、分类的数学思想。
同时学生对单项式的系数、字母及指数有了初步认识,也为下一课的学习做好了更充分的准备。
活动中,教师不提出同类项的概念,也没有其它要求,给学生一个自由发展的空间,体现学生在学习中的主导创新地位,对学生的各种有道理的回答也都予以肯定。
效果:
学生喜欢有趣的活动,一个个字母、符号、数字不再单调,而是变成了游戏的钥匙。
根据手中的项去“找朋友”,学生一方面是在找朋友,更多的一面是在仔细的观察、比较手中的项。
通过观察,学生学会了从系数、字母及指数去认识一个单项式;通过比较和尝试分类,学生的思维得到了自由发展。
整个数学活动是一个生动活泼的、主动地和富有个性的过程,学生得到了大量的结论。
学
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