高中数学平面解析几何初步经典例题.docx
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高中数学平面解析几何初步经典例题
高中数学平面解析几何初步经典例题
直线和圆的方程
一、知识导学
1.两点间的距离公式:
不论A(x1,y1),B(x2,y2)在坐标平面上什么位置,都有22d=|AB|=(x1x2)(y1y2),特别地,与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x2-x1|或
|AB|=|y2-y1|.
2.定比分点公式:
定比分点公式是解决共线三点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y)之间数量关系的一个公式,其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的,一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以
xA为起点,B为终点,P为分点,则定比分点公式是y
x1x2x2λ=1,此时中点坐标公式是.yy2y12x1x21.当P点为AB的中点时,y1y21
3.直线的倾斜角和斜率的关系
(1)每一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率.
(2)斜率存在的直线,其斜率k与倾斜角α之间的关系是k=tanα.
4.确定直线方程需要有两个互相独立的条件。
直线方程的形式很多,但必须注意各种
k2≠-1时,5.两条直线的夹角。
当两直线的斜率k1,k2都存在且k1·tanθ=k2k1,1k1k2
当直线的斜率不存在时,可结合图形判断.另外还应注意到:
“到角”公式与“夹角”公式的
1
区别.
6.怎么判断两直线是否平行或垂直?
判断两直线是否平行或垂直时,若两直线的斜率都存在,可以用斜率的关系来判断;若直线的斜率不存在,则必须用一般式的平行垂直条件来判断.
(1)斜率存在且不重合的两条直线l1∶yk1xb1,l2∶yk2xb2,有以下结论:
①l1∥l2k1=k2,且b1=b2
②l1⊥l2k1·k2=-1
(2)对于直线l1∶A1xB1yC10,l2∶A2xB2yC20,当A1,A2,B1,B2都不为零时,有以下结论:
①l1∥l2A1B1C=≠1A2B2C2
②l1⊥l2A1A2+B1B2=0
③l1与l2相交A1B≠1A2B2
A1B1C1==A2B2C2④l1与l2重合
7.点到直线的距离公式.
(1)已知一点P(x0,y0)及一条直线l:
AxByC0,则点P到直线l的距离
d=|Ax0By0C|
AB22;
(2)两平行直线l1:
AxByC10,l2:
AxByC20之间的距离d=|C1C2|
AB22.
8.确定圆方程需要有三个互相独立的条件。
圆的方程有两种形式,要知道两种形式之间的相互转化及相互联系
(1)圆的标准方程:
(xa)2(yb)2r2,其中(a,b)是圆心坐标,r是圆的半径;
22
(2)圆的一般方程:
x2y2DxEyF0(DE4F>0),圆心坐标
DED2E24F为(-,-),半径为r=.222
2
二、疑难知识导析
1.直线与圆的位置关系的判定方法.
(1)方法一直线:
AxByC0;圆:
x2y2DxEyF0.
AxByC0判别式消元一元二次方程222△b4acxyDxEyF0△0相交△0相切
△0相离
(2)方法二直线:
AxByC0;圆:
(xa)2(yb)2r2,圆心(a,b)到直线的距离为d=|AaBbC|
A2B2dr相离dr相切
dr相交
2.两圆的位置关系的判定方法.
设两圆圆心分别为O1、O2,半径分别为r1,r2,|O1O2|为圆心距,则两圆位置关系如下:
|O1O2|>r1+r2两圆外离;
|O1O2|=r1+r2两圆外切;
|r1-r2|<|O1O2| |O1O2|=|r1-r2|两圆内切; 0<|O1O2|<|r1-r2|两圆内含. 三、经典例题导讲 [例1]直线l经过P(2,3),且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程. 错解: 设直线方程为: xy231,又过P(2,3),∴1,求得a=5abab xy1的条件是: a≠0且b≠0,本题忽略了ab0这一情ab 303,202∴直线方程为x+y-5=0.错因: 直线方程的截距式: 形.正解: 在原解的基础上,再补充这样的过程: 当直线过(0,0)时,此时斜率为: k ∴直线方程为y=3x2 3x.2综上可得: 所求直线方程为x+y-5=0或y= [例2]已知动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P的轨迹方程. 错解: 设动点P坐标为(x,y).由已知3x(x1)(y3), 化简3x=x-2x+1+y-6y+9.2222 当x≥0时得x-5x+y-6y+10=0.①22 3 当x<0时得x+x+y-6y+10=0.② 错因: 上述过程清楚点到y轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得522112322 (x-)+(y-3)①和(x++(y-3)=-②2424两个平方数之和不可能为负数,故方程②的情况不会出现. 52211222 正解: 接前面的过程,∵方程①化为(x-+(y-3)=方程②化为(x+)+(y-3)=- 242352212 由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P的轨迹方程为: (x-)+(y-3)=424(x≥0) 2222 [例3]m是什么数时,关于x,y的方程(2m+m-1)x+(m-m+2)y+m+2=0的图象表示一个 圆? 22 错解: 欲使方程Ax+Cy+F=0表示一个圆,只要A=C≠0, 222 得2m+m-1=m-m+2,即m+2m-3=0,解得m1=1,m2=-3, 22 ∴当m=1或m=-3时,x和y项的系数相等,这时,原方程的图象表示一个圆 22 错因: A=C,是Ax+Cy+F=0表示圆的必要条件,而非充要条件,其充要条件是: F A=C≠0<0. A 正解: 欲使方程Ax+Cy+F=0表示一个圆,只要A=C≠0, 222 得2m+m-1=m-m+2,即m+2m-3=0,解得m1=1,m2=-3, 22 (1)当m=1时,方程为2x+2y=-3不合题意,舍去. 22221 (2)当m=-3时,方程为14x+14y=1,即x+y=原方程的图形表示圆. 14 2 2 22 [例4]自点A(-3,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆22 x+y-4x-4y+7=0相切,求光线L所在的直线方程. 错解: 设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称,L过点A(-3,3),点A关于x轴的对称点A′(-3,-3),于是L′过A(-3,-3). 设L′的斜率为k,则L′的方程为y-(-3)=k[x-(-3)],即kx-y+3k-3=0, 22 已知圆方程即(x-2)+(y-2)=1,圆心O的坐标为(2,2),半径r=1因L′和已知圆相切,则O到L′的距离等于半径r=1 2k23k3 2 5k5 2 1 k1k1即 2 整理得12k-25k+12=0 解得k= 44 L′的方程为y+3=(x+3)33 即4x-3y+3=0因L和L′关于x轴对称 故L的方程为4x+3y+3=0.错因: 漏解 正解: 设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称,L过点A(-3,3),点A关于x轴的对称点A′(-3,-3),于是L′过A(-3,-3). 设L′的斜率为k,则L′的方程为y-(-3)=k[x-(-3)],即kx-y+3k-3=0, 22 已知圆方程即(x-2)+(y-2)=1,圆心O的坐标为(2,2),半径r=1因L′和已知圆相切,则O到L′的距离等于半径r=1 2k23k3 2 5k5 2 1 k1k1即 2 整理得12k-25k+12=0 解得k= 43或k=34 43 L′的方程为y+3=(x+3);或y+3=(x+3)。 34 即4x-3y+3=0或3x-4y-3=0 因L和L′关于x轴对称 故L的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0. [例5]求过直线x2y40和圆x2y22x4y10的交点,且满足下列条件之一的圆的方程: (1)过原点; (2)有最小面积. 解: 设所求圆的方程是: xy2x4y1x2y40 2 2 即: xy2x22y140 2 2 (1)因为圆过原点,所以140,即 故所求圆的方程为: xy 2 2 1 4 77 xy0.42 2 (2)将圆系方程化为标准式,有: 25242 xy2 2455 当其半径最小时,圆的面积最小,此时 2 2 2 为所求.5 2 484 故满足条件的圆的方程是xy. 555 点评: (1)直线和圆相交问题,这里应用了曲线系方程,这种解法比较方便;当然也可以待 定系数法。 (2)面积最小时即圆半径最小。 也可用几何意义,即直线与相交弦为直径时圆面积最小. [例6](06年辽宁理科)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2≠0)是抛物线y2px(p0)上的两个动点,O是坐标原点,向量OA,OB满足||=||.设圆C的方程为xy(x1x2)x(y1y2)y0 (1)证明线段AB是圆C的直径; (2)当圆C的圆心到直线x2y0的距离的最小值为 2 2 2 2时,求p的值.5 解: (1)证明∵|OAOB|=|OAOB|,∴(OAOB)=(OAOB),整理得: OAOB=0∴x1x2+y1y2=0 设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则MAMB=0即(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0整理得: x2y2(x1x2)x(y1y2)y0故线段AB是圆C的直径. (2)设圆C的圆心为C(x,y),则 22 x1x2x2 yy1y22 ∵y12px1,y22px2(p0) 2 2 yy2∴x1x212 4p 又∵x1x2+y1y2=0,x1x2=-y1y2 22 yy2 ∴-y1y212 4p ∵x1x2≠0,∴y1y2≠0∴y1y2=-4p 2 22 x x1x21112222 (y1y2)(y1y22y1y2)y1y224p4p4p = 1 (y22p2)p 2 2 所以圆心的轨迹方程为ypx2p设圆心C到直线x2y0的距离为d,则 = |x2y| 5 | 12 (y2p2)2y|p |(yp)2p2| 5p 当y=p时,d有最小值∴p=2. 四、典型习题导练 p,由题设得 p= 25 5 1.直线xy20截圆xy4得的劣弧所对的圆心角为() A. ππππ 6432 2 2 222.已知直线x=a(a>0)和圆(x-1)+y=4相切,那么a的值是 () A.5B.4C.3D.23.如果实数x、y满足等式(x-2)+y=3,则 2 2 y 的最大值x 为: . 22 4.设正方形ABCD(A、B、C、D顺时针排列)的外接圆方程为x+y-6x+a=0(a<9),C、D点所在直线l的斜率为 1 .3 (1)求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率; (2)如果在x轴上方的A、B两点在一条以原点为顶点,以x轴为对称轴的抛物线上,求此抛物线的方程及直线l的方程; (3)如果ABCD的外接圆半径为25,在x轴上方的A、B两点在一条以x轴为对称轴的抛物线上,求此抛物线的方程及直线l的方程. 5.如图,已知圆C: (x+4)+y=4。 圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切。 圆D与y轴交于A、B两点,点P为(-3,0). (1)若点D坐标为(0,3),求∠APB的正切值; (2)当点D在y轴上运动时,求∠APB的正切值的最大值; (3)在x轴上是否存在定点Q,当圆D在y轴上运动时,∠AQB是定值? 如果存在,求22 坐标;如果不存在,说明理由 . 出点Q
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