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青岛农业大学
本科生课程论文
论文题目基于Markov链的最优化模型在水质测试中的应用
学生专业班级信计09.2
学生姓名(学号)马方圆(20094011)
指导教师邢海龙
完成时间2012年6月30日
2012年7月1日
课程论文任务书
学生姓名马方圆指导教师邢海龙
论文题目基于Markov链的最优化模型在水质测试中的应用
论文内容(需明确列出研究的问题):
本文先介绍了马尔科夫链预测方法的基本原理,其次建立一步状态转移概率矩阵的最优化模型,最后以中国的长江的水质为例,根据1995-2004年长江枯水期全流域各类水质所占的比例,建立长江水质污染的马尔科夫链趋势预测的一步转移概率矩阵估计的最优化模型,得出长江水质污染的情况。
资料、数据、技术水平等方面的要求资料、数据、技术水平等方面的要求:
论文要符合一般学术论文的写作规范,具备学术性、科学性和一定的创造性。
文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密,有独立的观点和见解。
涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处,结论要写的概括简短
发出任务书日期2012.06.10完成论文日期2012.06.30
教研室意见(签字)
院长意见(签字)
基于Markov链的最优化模型在水质测试中的应用
信计专业马方圆
指导教师邢海龙
摘要:
马尔科夫预测方法在预测领域有着广泛的应用。
该方法应用的一个重要的问题就是如何估计一步状态转移概率矩阵。
在历史资料没有给出系统处于n个状态次数的情况下,给出一步状态转移概率矩阵的最优化方法。
最后讨论了基于基于Markov链的最优化模型在水质测试中的应用。
关键词:
马尔科夫链;一步状态转移概率矩阵;最优化模型;预测
Markovchainbasedontheoptimalmodelofwaterqualitytestintheapplication
InformationandComputingScienceMaFangyuan
TutorXingHailong
Abstract:
Markovforecastingmethodhaswideapplicationsinforecastingfields.AveryimportantproblemofapplyingthismethodishowtoestimateonestepstatetransitionprobabilityMatrix.Whentheamountofnstatesofthesystembyhistoricdataisunknown,theoptimalmodelisgiventoestimateitinthispaper.IntheendtheoptimalforecastingmodelisappliedtoforecastthewaterresourcebasedonMarkovchain.Theresultshowsthatthemodeliseffective.
Keywords:
Markovchain;onestepstatetransitionprobablyMatrix;optimalmodel;forecasting
引言:
马尔科夫预测方法是Markov链在预测、决策领域的一直应用方法,最初该方法在水文,气象地震等方面有着广泛的应用,之后经济学家将其应用于研究市场占有率、预测经营利润等方面。
在马尔科夫预测方法中,一个非常重要的问题就是对于一步状态转移概率矩阵的估算。
传统的估算方法是已知被研究的对象(或者系统)在n种状态观察次数及系统从当前时刻转移的状态次数情况下,用频率估计概率的方法估算出一步状态转移概率矩阵。
而实际情况是不知道系统处于n种状态的总观察次数N,只知道系统在不同时刻处于n中状态下的概率。
1马尔科夫链预测方法的基本原理
马尔科夫链是指系统的未来状态,仅于现在的状态有关,而与以前的状态无关的随机过程,具有先后效性特点。
马尔科夫链的预测就是根据某些变量的现在状态及其变化趋势,预测未来某一特定期间内可能出现的状态,从而为决策提供依据。
设有一个系统有n个状态,在时刻t的n个状态设为st
(1),st
(2),…,st(n)在时刻t位于状态st(i),而在时刻t+1转移到状态st+1(j)的概率为ptj,则有
St+1(j)=
t(i)pij,i,j=1.2,…n。
即t+1时刻,过程所处于各种状态的概率只于t时刻所处于状态的概率st(i)和转移概率pij有关,与t-1及以前状态无关,此即为无后效性。
称矩阵P=(pij)n*n为一步转移概率矩阵。
根据概率转移矩阵的定义,其中的元素满足:
Pij>=0.
ij=1即矩阵P=(pij)n*n中每一行的元素和等于1.
设在初始时刻t=0时,系统的n种状态s0
(1)s0
(2)…s0(n)的概率向量a(0)=(p0
(1)p0
(2)…p0(n)),则系统在时刻t=1的概率向量a
(1)=(p1
(1)p1
(2)…p1(n))=(p0
(1)p0
(2)…p0(n))
即a
(1)=a(0)p,按上式递推,可以得到系统在时刻t=m时的n种状态概率向量为a(m)=a(0)Pm,此试即为转移m步后状态概率向量测试模型。
2一步状态转移概率矩阵的最优化模型
传统的估算方法是已知系统存在n种状态S={s1s2...sn}{s1,s2,...sn},假设在N此观察中,系统处于第i状态共有ni次,显然N=
ni,设系统当前时刻处以第i状态si在下一个时刻转移到j状态sj的次数为nij次显然N=
nij用频率估计概率的方法可以估算一步状态转移概率矩阵P=(pij)n*n其中pij=P{X=si|X=sj}=nij/ni,j=1.2....,n
然而历史统计资料有时并没有给出系统处于n种状态的总的观察次数N,只给出系统处于n种状态下的概率,此时无法按上述方法来估计一步状态转移概率矩阵。
因此必须从另外的途径获取一步状态转移概率矩阵的估算方法.
为了获取较为精确的一步状态转移概率矩阵,利用最优化的思想,即在m个时刻中要是实际状态的概率向量于理论状态的概率向量的误差平方和达到最小准则,为此可建立最优化模型.
设a(t)=(pt
(1),pt
(2),...pt(n))是时刻t系统在n个状态下的概率向量,t=0.1.2...m,又设一步状态转移概率矩阵为P=(pij)n*n,实际上由于客观环境的变化,相邻时刻的一步态转移概率矩阵并不完全相同,因此a(t+1)于a(t)P之间总存在误差,t=0.1.2...m-1,由误差平方和达到最小准则,建立如下最优化模型,记为模型
(1)
minf(P)=
2=
T
其中约束条件是由一步转移概率矩阵的定义的来的,模型
(1)是一个二次规划问题,可以有现成的算法求解,也可以用Matlab软件求解。
3实例分析
已知1995-2004年枯水期长江全流域一类、二类、三类、四类、五类、六类这六类水质所占的比例,如下表
年份
时间
一类
二类
三类
四类
五类
六类
1995
0
14.6
59.5
18.9
2.7
1.7
2.5
1996
1
12.2
16.2
54.4
9.5
3.8
3.9
1997
2
10.5
13.6
43.2
26.0
3.2
3.5
1998
3
13.9
25.6
46.2
8.2
2.7
3.4
1999
4
5.0
41.7
30.3
12.4
4.9
5.7
2000
5
7.9
35.2
30.0
14.9
5.9
6.0
2001
6
0.9
34.3
36.1
15.0
6.3
7.4
2002
7
0.8
35.7
31.1
16.1
2.9
13.4
2003
8
1.3
29.5
41.7
9.6
3.4
14.5
2004
9
0.96
26.7
40.2
15.1
5.2
11.9
现在对长江未来十年的水质污染的发展趋势作出预测,为此可建立长江水质污染的马尔科夫链趋势预测的一步转移概率估计的最优化模型。
设枯水期长江全流域水质在第t年属于第一类、二类、三类、四类、五类、六类状态的比例向量分别为a(t)=(pt
(1),pt
(2),...pt(6)),t=0,1,2,...9.
设P=(pij)6*6为六类状态的一步转移概率矩阵,根据误差平方和达到最小准则,把上表中数据带入模型一,可建立如下最优化模型:
minf(P)=
2=
T
由:
a(9+k)=a(9)Pk,k=1,2,...10即可对长江未来十年的水质污染属于一类、二类、三类、四,类、五类、六类状态的比例向量作出预测
如下表
年份
时间
一类
二类
三类
四类
五类
六类
2005
10
3.7669
30.3383
36.2681
14.6186
3.8250
11.1857
2006
11
5.1357
28.6551
38.0050
13.5713
3.8278
10.8108
2007
12
5.5396
28.2351
37.9222
14.0293
3.8220
10.4604
2008
13
5.7849
28.2191
38.0493
13.9768
3.7921
10.1891
2006
14
5.8889
28.1700
38.1442
14.0169
3.7981
9.9960
2010
15
5.9416
28.1813
38.1951
14.0046
3.8004
9.8576
2011
16
5.9707
28.1943
38.2298
14.0600
3.8037
9.7608
2012
17
5.9872
28.2607
38.2551
14.0737
3.8066
9.6934
2013
18
5.9937
28.2173
38.2292
14.0827
3.8087
9.6467
2014
19
6.0038
28.2252
38.2855
14.0809
3.8103
9.6144
五结论
从预测计算结果可看出,枯水期长江全流域水质属于一类、二类、三类、四,类、五类、六类状态的比例并没有发生根本性的变化,水质污染程度依然十分严重。
长江是我国的最大河,还是是我国的黄金水道,所以我们要保护好我们的长江。
为了防治长江水污染,保障人体健康,保护生态环境,促进经济社会可持续发展,全中国人名当树立科学发展观,确立生态环境保护优先原则,贯彻预防为主、防治结合、综合整治、促进发展的方针,坚持先规划、后开发,先环评、后立项,在保护中开发、在开发中保护。
各省人民政府环境保护主管部门和沿江地区县级以上人民政府环境保护主管部门对本行政区域内水污染防治工作实施统一监督管理。
此外将长江水污染防治工作纳入国民经济和社会发展规划,增加水污染防治资金投入,确保水污染防治的需要;依靠科技进步提高水污染防治水平,保护和改善水环境质量。
同时还要加大宣传,使人民能够认识到水资源的危机和树立环保意识,只有这样才能从根本上改变长江水质状况。
参考文献:
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清华大学出版社,2004:
64-66.
[2]武漫漫,马弢马尔科夫链在天气预报中的应用[J],黑龙江信息科技,2009,30,18-23
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[4]姜启源,数学模型[]北京:
高等教育出版社,1990:
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[5]陈华友,多属性决策中基于离差最大化的组合赋权方法[J]系统工程与电子技术,2004,26
(2):
194-197
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高等教育出版社,1990:
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清华大学出版社,2002:
159-194
[8]罗建军,MATLAB教程[M]北京:
电子工业出版社,2005:
1-160
课程论文成绩评定表
学生姓名
马方圆
专业班级
信计09.2
论文题目
基于Markov链的最优化模型在水质测试中的应用
指导教师评语及意见:
指导教师评阅成绩:
指导教师签字
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评阅人评语及意见:
评阅人评阅成绩:
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年月日
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