二次函数压轴题面积问题数学.docx
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二次函数压轴题面积问题数学
1.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(m,m),点B的坐标为(n,﹣n),抛物线经过A、O、B三点,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点C.已知实数m、n(m<n)分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根。
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线PC与抛物线交于D、E两点(点D在y轴右侧),连接OD、BD。
①当△OPC为等腰三角形时,求点P的坐标;
②求△BOD面积的最大值,并写出此时点D的坐标。
解
(1)解方程x2﹣2x﹣3=0,得x1=3,x2=﹣1,
∵m<n,
∴m=﹣1,n=3,
∴A(﹣1,﹣1),B(3,﹣3),
∵抛物线过原点,设抛物线的解析式为y=ax2+bx,
∴解得:
,
∴抛物线的解析式为;
(2)①设直线AB的解析式为y=kx+b,
∴解得:
,
∴直线AB的解析式为,
∴C点坐标为(0,),
∵直线OB过点O(0,0),B(3,﹣3),
∴直线OB的解析式为y=﹣x,
∵△OPC为等腰三角形,
∴OC=OP或OP=PC或OC=PC,
设P(x,﹣x),
(i)当OC=OP时,,
解得,(舍去),
∴P1(,),
(ii)当OP=PC时,点P在线段OC的中垂线上,
∴P2(,﹣),
(iii)当OC=PC时,由,解得,x2=0(舍去),
∴P3(,﹣),
∴P点坐标为P1(,)或P2(,﹣)或P3(,﹣),
②过点D作DG⊥x轴,垂足为G,交OB于Q,过B作BH⊥x轴,垂足为H,
设Q(x,﹣x),D(x,),
S△BOD=S△ODQ+S△BDQ
=DQ·OG+DQ·GH,
=DQ(OG+GH),
=,
=,
∵0<x<3,
∴当时,S取得最大值为,此时D(,﹣)。
2.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;
(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?
若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
解:
(1)将A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)
代入抛物线y=ax2+bx+c中,
得:
,解得:
∴抛物线的解析式:
y=﹣x2+2x+3;
(2)连接BC,直线BC与直线l的交点为P;
设直线BC的解析式为y=kx+b,
将B(3,0),C(0,3)代入上式,
得:
,解得:
∴直线BC的函数关系式y=﹣x+3;
当x=1时,y=2,即P的坐标(1,2);
(3)抛物线的解析式为:
x=﹣=1,
设M(1,m),已知A(﹣1,0)、C(0,3),
则:
MA2=m2+4,MC2=m2﹣6m+10,AC2=10;
①若MA=MC,则MA2=MC2,
得:
m2+4=m2﹣6m+10,
得:
m=1;
②若MA=AC,则MA2=AC2,
得:
m2+4=10,得:
m=±;
③若MC=AC,则MC2=AC2,
得:
m2﹣6m+10=10,
得:
m=0,m=6;
当m=6时,M、A、C三点共线,构不成三角形,
不合题意,故舍去;
综上可知,符合条件的M点存在,
且坐标为M(1,)(1,﹣)(1,1)(1,0).
3.如图,对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A、B两点,其中点A的坐标为(-3,0).
(1)求点B的坐标;
(2)已知a=1,C为抛物线与y轴的交点.
①若点P在抛物线上,且S△POC=4S△BOC.求点P的坐标;
②设点Q是线段AC上的动点,作QD⊥x轴交抛物线于点D,求当△ACD的面积达到最大值
(1)∵对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A、B两点,
∴A、B两点关于直线x=-1对称,
∵点A的坐标为(-3,0)
∴点B的坐标为(1,0)
(2)①a=1时,∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=-1,
对称轴x=-b/(2a)=-1
解得b=2.
将B(1,0)代入y=x^2+2x+c,
得1+2+c=0,解得c=-3.
则二次函数的解析式为y=x^2+2x-3,
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为(0,-3),OC=3.
设P点坐标为(x,x^2+2x-3),
∵S△POC=4S△BOC,
1/2*|x|*3=4*1/2*1*3
∴|x|=4,x=±4.
当x=4时,x^2+2x-3=16+8-3=21;
当x=-4时,x^2+2x-3=16-8-3=5.
所以点P的坐标为(4,21)或(-4,5);
②设直线AC的解析式为y=kx+t,将A(-3,0),C(0,-3)代入,
得
−3k+t=0
t=−3
解得
k=−1
t=−3
即直线AC的解析式为y=-x-3.
延长AD交y轴于E
设Q点坐标为(x,-x-3)(-3≤x≤0),则D点坐标为(x,x^2+2x-3),
E(0,3(x-1))
△ACD的面积=△ACE面积-△DCE面积
=1/2*3*(3(1-x)-3)-1/2*(-x)*(3(1-x)-3)
=-3/2x^2-9/2x
对称轴x=-3/2时有最大值,满足-3≤x≤0
∴Q=(-3/2,-3/2)
4.如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标是(1,0),C点坐标是(4,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在
(1)中抛物线的对称轴上是否存在点D,使△BCD的周长最小?
若存在,求出点D的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)若点E是
(1)中抛物线上的一个动点,且位于直线AC的下方,试求△ACE的最大面积及E点的坐标.
解:
(1)∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0),点C(4,3),
∴,解得。
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3。
(2)存在。
∵点A、B关于对称轴对称,∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小。
∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,∴抛物线的对称轴为直线x=2。
设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),
则,解得:
。
∴直线AC的解析式为y=x﹣1。
当x=2时,y=2﹣1=1。
∴抛物线对称轴上存在点D(2,1),使△BCD的周长最小。
(3)如图,设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m,
联立,消掉y得,x2﹣5x+3﹣m=0。
由△=(﹣5)2﹣4×1×(3﹣m)=0得m=。
∴m=时,点E到AC的距离最大,△ACE的面积最大。
此时x=,y=。
∴点E的坐标为(,)。
设过点E的直线与x轴交点为F,则F(,0)。
∴AF=。
∵直线AC的解析式为y=x﹣1,∴∠CAB=45°。
∴点F到AC的距离为。
又∵。
∴△ACE的最大面积,此时E点坐标为(,)。
5.已知:
Rt△ABC的斜边长为5,斜边上的高为2,将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中,使其斜边AB与x轴重合(其中OA<OB),直角顶点在y轴正半轴上(如图
(1))。
(1)求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式;
(2)如图
(2),点D的坐标为(2,0),点P(m,n)是该抛物线上的一个动点(其中m>0,n>0),连接DP交BC于点E。
①当△BDE是等腰三角形时,直接写出此时点E的坐标;
②又连接CD、CP(如图(3)),△CDP是否有最大面积?
若有,求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标;若没有,请说明理由。
解:
(1)∵OC2=OA·OB,
∴OA·OB=4,
又∵OA+OB=5,且OA<OB,
解得,OA=1,OB=4,
∴A(-1,0),B(4,0),C(0,2),
设过A、B、C三点的抛物线的解析式为:
y=a(x+1)(x-4),
把C点坐标代入得,
∴;
(2)①当△BDE为等腰三角形时,点E的坐标分别为,
②存在,过点D作直线DM垂直于x轴交CP于点M,
可求得直线CP的解析式为:
y=;
(i)当点P在直线DM右侧时,如图
(1)所示,
此时2<m<4,
把x=2代人直线CP的解析式,
得
又P(m,n)在抛物线上,
所以
S△CDP=S△PDM+S△CDM
DM·2=·DM=m+n-2,
即
当时,△CDP的面积最大,最大面积为;
(ii)当点P在直线DM左侧时,如图
(2)所示,此时0<m≤2,
S△CDP=S△CDM-S△DPM
,
当m=2时,S△CDP=3,
综上所述,当时△CDP的面积最大,其最大面积为,此时
6.如右图,抛物线y=-x的2次方+5x+n经过点A(1,0),与y轴交于点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)P是y轴正半轴上一点,且三角形PAB是以AB为腰的等腰三角形,试求点P的坐标
解:
(1)将y=—x2+5x+n经过点A(1,0)得
0=—1+5+n
n=—4
∴y=—x2+5x—4
(2)当x=0时,y=—4
∴点(0,-4)
设P(0,y)是满足条件的点,
∴PA=BA
∴点P与点B关于x轴对称。
∴P(0,4)7.已知,如图抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在B点左侧.点B的坐标为(1,0),OC=3OB.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD的面积的最大值;
(3)若点E在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?
若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
1)∴y=x2+x-3
(2)过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N.
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=+·DM·(AN+ON)=+2DM.
∵A(-4,0),C(0,-3),
设直线AC的解析式为y=kx+b,
代入求得:
y=-x-3,
令D,M,
则DM=-x-3-=-(x+2)2+3.
当x=-2时,DM有最大值3,此时四边形ABCD面积有最大值.
(3)如图①所示,讨论:
①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1,过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1,此时四边形ACP1E1为平行四边形,
∵C(0,-3),令x2+x-3=-3得x1=0,x2=-3,
∴CP1=3.∴P1(-3,-3).
②如图②,平移直线AC交x轴于点E,交x轴上方的抛物线于点P,
当AC=PE时,四边形ACEP为平行四边形,
∵C(0,-3),
∴可令P(x,3),由x2+x-3=3得:
x2+3x-8=0,
解得x1=或x2=,
此时存在点P2和P3.
综上所述,存在3个点符合题意,坐标分别是P1(-3,-3),P2,P3
8.如图,在直角坐标系xOy中,二次函数y=x2+(2k-1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使△AOB的面积等于6,求点B的坐标;
(3)对于
(2)中的点B,在此抛物线上是否存在点P,使∠POB=90°?
若存在,求出点P的坐标,并求出△POB的面积;若不存在,请说明理由.
∴点.
9.已知抛物线y=ax2+bx+(a≠0)经过三点a,b,o(o为原点)
求抛物线的解析式
在该抛物线的对称轴上,是否存在点C,使△BOC的周长最小,若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由
如果点p是该抛物线上x轴上方的一个动点,那么△PAB是否有最大面积,若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积,若没有,请说明理由
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