数学建模案例之单变量最优化.docx
- 文档编号:10261246
- 上传时间:2023-02-09
- 格式:DOCX
- 页数:10
- 大小:111.89KB
数学建模案例之单变量最优化.docx
《数学建模案例之单变量最优化.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学建模案例之单变量最优化.docx(10页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
数学建模案例之单变量最优化
数学建模案例之单变量最优化
生猪的最佳销售时间
问题1:
一头猪重200磅(1磅=0.454公斤),每天增重5磅,饲养每天需花费45美分。
猪的市场价格为每磅65美分,但每天下降0.01美元,求出售猪的最佳时间。
1.问题分析与假设、符号说明
涉及的变量:
猪的重量w(磅),饲养时间t≥0(天),t天内饲养猪的化费Q(美元),猪的市场价格p(美元/磅),售出生猪所获得的总收益R(美元),我们最终获得的净收益C(美元)。
涉及的常量:
猪的初始重量200(磅),饲养每天的花费0.45(美元),生猪每天的增加重量s(磅),当前的市场价格0.65(美元),生猪价格每天的下降比例系数r。
变量之间的联系:
假设1:
猪的重量从初始的200(磅)按每天s=5(磅)增加,于是有关系:
w(磅)=200(磅)+s(磅/天)×t(天)
假设2:
当前的市场价格0.65(美元/磅),生猪价格每天的下降比例系数r=0.01,那么出售时生猪的价格为:
p(美元/磅)=0.65(美元/磅)-r(美元/磅.天)×t(天)
因此,我们有如下关系式:
饲养生猪的总的费用为:
Q(美元)=0.45(美元/天)×t(天)
售出生猪时获得的总收益为:
R(美元)=p(美元/磅)×w(磅)
最终获得的净收益为:
C(美元)=R(美元)-Q(美元)
小技巧:
分析中列出变量的单位有助于检查所列等式是否有意义。
当生猪卖出时获得最大净收益的时间即为最佳出售时间,因此原问题转换成数学表述就是求P达到最大时的时间t≥0,其中P的表达式为:
2.建立数学模型
根据前面的分析,原问题的数学模型如下:
(1.1)
其中,r,s为模型参数,此处取值为s=5,r=0.01。
3.模型求解
当s=5,r=0.01时,这是一个单变量t的函数的最优化问题,而且
是一个连续可微的函数。
可以利用微积分知识求解,其求解过程如下:
(1)求驻点
驻点为:
(2.1)
代入常量参数得到:
(天),C(8)=133.20(美元)。
(2)判断是否为极值点
函数C(t)在区间(0,8)是单调上升的,而在区间(8,∞)是单调下降的,因此,C(t)在点
达到全局最大值:
133.20,图1为C(t)的图形。
图1净收益C(t)关于时间t的曲线
至此,我们可以回答原来的问题答案,在8天后出售,可以获得最大净收益133.20美元。
4.灵敏性分析
在实际问题中,我们不会有绝对准确的信息,即使能够建立一个完美的精确的模型,我们也可能采用较简单和易于处理的近似方法,因此我们必须考察数学模型的稳健性:
即即使数学模型不完全正确,由其导出的结果仍然正确。
在建模过程中我们提出了两种类型的假设:
(1)数据假设;
(2)其它假设。
由于我们很少能保证这些假设都是完全正确的,因此我们需要考虑所得结果对每一条架设的敏感程度,它是数学建模过程中的一个重要方面,具体问题与所建立的模型以及求解方法相关。
数据是由测量、观察甚至猜测得到,因此需要考虑数据的不准确的可能性。
有些数据的具有相当大的确定性,如生猪当前的重量,生猪现在的价格,每天饲养花费;有些数据的确定性更低,如猪的生长速率s,价格的下降速率r。
在前面,我们假设s=5(磅/天),r=0.01(美元/天)。
(1)考虑s不变,r发生变化时,最佳出售时机关于价格变化率的灵敏性
先对r取几个不同的值做实际计算,观察其变化规律,计算结果见表1。
表1最佳出售时间t关于r的灵敏性
r(美元/天)
t*(天)
r(美元/天)
t*(天)
0.008
15.0
0.011
5.5
0.009
11.1
0.012
3.3
0.01
8.0
观察表1可以得到,随着r的增加,t*减小。
更详细的分析是考察(2.1)式,我们将s=5(磅/天)代入(2.1)中,可得
(3.1)
只要t*≥0,即0 图2最佳销售时间t*关于价格下降速率r的关系曲线 (2)考虑r不变,s发生变化时,最佳出售时机关于生长速率的灵敏性 先对s取几个不同的值做实际计算,观察其变化规律,计算结果见表2。 表2最佳出售时间t*关于s的灵敏性 s(磅/天) t*(天) s(磅/天) t*(天) 3 -8.33 5.5 10.23 4 1.88 6 12.08 4.5 5.28 7 15.0 5 8.0 观察表2可以得到,随着s的增加,t*减小增加。 更详细的分析是考察(2.1)式,我们将r=0.01代入(2.1)中,可得 (3.2) 这样只要s≥3.77,就可以继续饲养,否则必须出售。 最佳售出时间由(3.2)确定,t*关于生猪生长速率s的曲线见图3。 图3最佳销售时间t*关于生长速率s的曲线 (3)在 (1)和 (2)中,我们将灵敏性数据表示成了绝对改变量的形式,但实际中相对改变量或者百分比改变的形式更加实用。 例如,r的10%的下降导致了t的39%的增加,而s的10%的下降导致t的34%的下降。 如果t的改变量为 ,则t的相对改变量为 ,百分比改变量为 ; 如果r改变了 ,导致t有 的改变量,则相对改变量的比值为 令 ,按照导数的定义,我们有 (3.3) 称这个极限值为t对r的灵敏性,记为S(t,r),即有 (3.4) 将r=0.01,t=8代入(3.4)式右端,得 S(t,r)=-7/2(3.5) 即若r增加2%,则t下降7%。 类似地, (3.6) 将s=5,t=8代入(3.5)式右端,得 S(t,s)=3.0625(3.7) 即生猪的生长率增加1%,会导致多等待3%的时间再将生猪售出。 通常只需选择那些有较大不确定性的参数进行灵敏性分析,对灵敏性系数的解释还依赖于参数的不确定程度,这会影响我们对答案的自信度。 5.稳定性与稳健性 前面我们已经利用灵敏性分析评估了模型对不确定性数据的稳定性;现在我们来其它类型的假设,它们可能来自处于数学处理的方便和简化的目的,在回答问题之后,应该考察这些假设是否过于特殊,以致使结果无效。 在前面的假设中,极为重要的假设就是: 猪的重量和每磅的价格都是时间的线性函数,这样做显然过于简单化,不可能严格满足。 (模型失效)例如,根据这些假设,从现在起的一年后,猪的重量将是w=2025磅,而卖出所得的收益为p=-3.00美元/磅。 因此,一个更实际的模型应该既考虑这些函数的非线性性,由考虑到随着时间推进的不确定性的增加。 如果假设是错的,模型又怎能给出正确的答案呢? 虽然数学模型力求完美,但这是不可能达到的,一个更确切的说法数学模型力求接近完美。 一个好的数学模型有稳健性,是指虽然它给出的答案并不是完全精确的,但足够近似从而可以在实际问题中应用。 现在让我们来考虑售猪问题中的线性假设,其基本方程为: 如果模型的初始数据和假设没有与实际相差太远,则售猪的最佳时间应该由 确定。 经过简单计算可得 (4.1) 其中 代表猪价的增长率。 模型告诉我们,只要猪价比饲养的费用增长快,就应暂不卖出,继续饲养。 此外,猪的价格改变包含两个方面: (1) 代表因价格下降而损失的价值; (2) 代表由于猪增重而增加的价值。 更一般的模型(4.1)在应用中会遇到许多实际问题,我们无法知道p(t)和w(t)的具体形式,它们是否有意义,生猪是否可以在明天凌晨3点出售? 猪价是否可以为无理数等等。 看看一个具体的情况: 一个农民有一头重量大约为200磅的猪,在上一周猪每天增重约5磅。 5天前猪价为70美分/磅,但现在猪价下降为65美分/磅,他应该怎么办? 显然应该以这些数据( )为依据确定何时出售,我们建立的模型正是这样做的。 我们知道 和 在未来几周内不会保持常数,因此,p和w也不会是时间的线性函数。 但是,只要 和 在这段时间内的变化不太大,由于假设它们是线性的而导致的误差就不会太大。 下面我们给灵敏性分析的结果一个更一般化的解释。 由于S(t,s)=3,假设在下几周内猪的实际增长率在每天4.5到5.5磅之间,即为预期值的10%内,则最佳售猪时间会在8天的30%之内变化,即5到11天。 我们来考察仍在第8天卖出所导致的收益损失。 收益: 最佳出售时间: ,计算结果见表3。 表3S(t,s)灵敏性分析结果的计算实例 生猪的增长率 s(磅/天) 最佳收益 (美元) 第8天出售所得收益 (美元) 损失 (美元) 4.5 131.25 130.92 0.33 5.5 135.75 135.48 0.27 由表3可得,最坏的两种情况损失均不超过1美元,这说明在短期内假设它们是线性的而导致的误差就不会太大。 再考虑价格。 设我们认为今后几周内价格的改变为 ,即每天下降1美分时最糟糕的情况。 价格很有可能在今后会下降很慢,甚至达到稳定( )。 现在我们能说的只是至少要等8天再出售。 对较小的 (接近0),模型暗示我们等较长的时间再出售。 但我们的模型对较长的时间不再有效。 因此,解决这个问题的最好的方法是将猪再饲养一周的时间,然后重新估计 ,再用模型重新计算。 7.参考文献 [1]MarkM.Meerschaert.数学建模方法与分析,北京: 机械工业出版社,2005 [2]姜启源.数学模型,北京: 高等教育出版社,2004 8.附录 程序 (略) 思考练习 问题: 一处石油泄漏污染了200英里的太平洋海岸线,所属石油公司被责令在14天内将其清除,逾期则要被处以10000美元/天的罚款。 当地的清洁队每周可以清洁5英里的海岸线,耗资500美元/天。 额外雇佣清洁队则要付每支清洁队18000美元的费用和500美元/天的清洁费用。 (1)为使公司的总支出费用最低,应该额外雇佣多少支清洁队? 并求出清洁费用。 (2)讨论清洁队每周清洁海岸线长度的灵敏性。 分别考虑最优的额外雇用清洁队的数目和公司的总支出。 (3)讨论罚金数额的灵敏性。 分别考虑公司用来清理漏油的总天数和公司的总支出。 (4)石油公司认为罚金过高而提起上诉。 假设处以罚金的唯一目的是为了促使石油公司及时清理泄漏的石油,那么罚金的数额是否过高?
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学 建模 案例 变量 优化