14种策略7大模型绝杀排列组合可编辑修改word版.docx
- 文档编号:10326232
- 上传时间:2023-02-10
- 格式:DOCX
- 页数:30
- 大小:47.33KB
14种策略7大模型绝杀排列组合可编辑修改word版.docx
《14种策略7大模型绝杀排列组合可编辑修改word版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《14种策略7大模型绝杀排列组合可编辑修改word版.docx(30页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
14种策略7大模型绝杀排列组合可编辑修改word版
14种策略7大模型“绝杀”排列组合
排列组合问题是高考的必考题,它联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,不易掌握,实践证明,掌握模型和解题方法,识别并化归到模式,熟练运用,是解决排列组合应用题的有效途径。
第一部分——组合的常见技巧
策略一:
合理分类与准确分步策略
分类相加:
每类方法都能独立地完成这件事;分步相乘:
只有各个步骤都完成了,才能完成这件事。
【例1】有11名外语翻译人员,其中5名是英语译员,4名是法语译员,另外两名是英、法语均精通,从中找出8人,使他们可以组成翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译法语,这两个小组能同时
工作,问这样的8人名单可以开出几张?
56525524
【解析】:
按只会英语的有4名、3名、2名分类C4C4+C3C1C4+C2C2C4
【例2】见后面【例19】
【特别提醒】在解排列组合问题时,一定要以两个原理为核心。
按元素的性质分类,按事情发生的过程分步。
综合题通常是整体分类再局部分步。
【类题演练】
1、360的正约数(包括1和360)共有个。
(答案24)
2、工厂实验生产中需依次投入2种化工原料,现有5种原料可用,但甲、乙两种原料不能同时使用,且依次投料时,若使用甲原料,则甲必须先投放.那么不同的实验方案共有种(答案15);
3、公司招聘进8名员工,平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门;另三名电脑编程人员也不能同给一个部门,则不同的分配方案有种(答案36);4、f是集合M={4,5,6}到集合N={-1,0,1}的映射。
(答案①7;②9)
①若f(4)+f(5)=f(6),则映射共有个;②若xf(x)+3为奇数,则映射共有个。
5、(2010湖南卷理科7)在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字也许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()(答案B)
(A)10(B)11(C)12(D)15
6、(2010浙江卷17)有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复。
若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上下午都各测试一人,则不同的安排方式共有种(用数
字作答)。
(答案264)
策略二:
不同元素可重复的分配求幂法
不同元素重复的分配问题要区分两类元素:
一类可以重复,另一类不能重复,从不可重复的一类进行分配,“人选一个房间,房间不是住一个人”。
【例3】8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有()
(A)83
(B)
38
(C)
A3
(D)
C3
【解析】:
冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,因此共有83种不同的结果。
所以选A
【类题演练】
1、有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方法?
(答案34)
2、有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果?
(答案43)
3、将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法?
(答案43)
策略三:
相邻问题捆绑法
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.
【例4】五人并排站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法种数有
4
【解析】:
把A,B视为一人,且B固定在A的右边,则本题相当于4人的全排列,A4=24种
【类题演练】
1、把4名男生和4名女生排成一排,女生要排在一起,不同的排法种数为
45
(答案A4A5);
222
2、由1,2,3,4,5组成不重复的5位数,1、3之间恰有两个偶数,则有个。
(答案A2A2A2)
9
3、停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起,不同的停车方法有多少种?
(答案A9)
策略四:
相离问题(不相邻问题)插空法
元素相离问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
【例5】七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是
【解析】:
除甲乙外,其余5个排列数为A5种,再用甲乙去插6个空位有A2种,不同的排法种数是
56
56
A5A2=3600种
【例6】3个人坐在一排8个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种数有多少种?
【解析】:
先拿出5个椅子排成一排(注意空椅子不排序),在5个椅子中间出现4个空,*○*○*○*
○
4
*(*表示椅子,○表示空)再让3个人每人带一把椅子去插空,于是有A3=24种.
【例7】马路上有编号为1,2,3…,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?
5
【解析】:
把此问题当作一个排序模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C3种方
法,所以满足条件的关灯方案有10种.(注意亮的灯、不亮的灯均不排序)
【特别提醒】从这三个例子看得出来,先排的元素和后插的元素都有可能有序,也可能无序,所以做题时一定要分析清楚。
【类题演练】
56
1、高三
(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是(答案A5A2=3600C)
5
2、
(1)连续发射8发子弹4发命中,恰有3发连中,有种命中方式。
(答案
(1)A2;)
5
(2)连续发射8发子弹4发命中,恰有两次2发连中,有种命中方式。
(答案
(2)C2)
策略五:
元素优先法(位置优先法)【分析法】
某个或几个元素要或不要排在指定位置,可先处理这个或几个元素,再排其它的元素(元素优先法);也可针对特殊元素,先把指定位置安排好元素,再排其它的元素(位置优先法)。
【例8】2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有()
A.36种B.12种C.18种D.48种
33
【解析】:
方法一:
从后两项工作出发,采取位置分析法。
A2A3=36
方法二:
元素分析法。
分两类:
若小张或小赵入选,则有选法C1C1A3=24;若小张、小赵都入选,
则有选法A2A2=12,共有选法36种,选A.
223
23
【特别提醒】当元素多,但是位置少的时候,“元素分析法”一定要注意特殊元素可能被选
中,也可能不被选中,这时要注意分类。
因此这种情况一般选用“位置分析法”。
【类题演练】
1、某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙,现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择,其中1号石材有微量的放射性,不可用于办公室内,则不同的装饰效果有种(答案300);
2、某银行储蓄卡的密码是一个4位数码,某人采用千位、百位上的数字之积作为十位个位上的数字(如
2816)的方法设计密码,当积为一位数时,十位上数字选0.千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共有种(答案100);
3、用0,1,2,3,4,5这六个数字,可以组成无重复数字的四位偶数个(答案156);
4、某班上午要上语、数、外和体育4门课,如体育不排在第一、四节;语文不排在第一、二节,则不同排课方案种数为(答案6);
5、四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的四个盒中。
若恰有两个空盒的放法有种;若甲球只能放入第2或3号盒,而乙球不能放入第4号盒的不同放法有种(答案84;96);
策略六:
多排问题单排法
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。
【例9】把15人分成前后三排,每排5人,不同的排法种数为()
(A)A5A5
(B)
A5A5A5A3
(C)A15(D)A5A5A5÷A3
1510
151053
15151053
15
【解析】本题可看成左、中、右各5人,因此本题可看成15个不同的元素排成一排,共A15种
【例10】8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?
4
【解析】看成一排,某2个元素在左边四个位置中选排2个,有A2种,某1个元素排在右边的四个位
置中选一个有A1种,其余5个元素任排5个位置上有A5种,故共有A1A2A5=5760种排法.
45445
【类题演练】
1、若2n个学生排成一排的排法数为x,这2n个学生排成前后两排,每排各n个学生的排法数为y,
则x,y的大小关系为
(答案:
相等);
策略七:
环排问题线排法
排成环与排成一排的不同点在于:
排成环形没有首尾之分,所以固定一个元素并从此位置把圆形展成直线。
【例11】5人围桌而坐,共有多少种坐法?
【解析】A——B——C——D——E——A,固定A,其余元素有(5-1)!
=4!
种排法。
策略八:
定序问题缩倍法、插空法,空位法
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.
【例12】五人排站成一排,如果B必须站在A的右边(A,B可以不相邻)那么不同的排法种数是
()
【解析】:
法1(缩倍法):
B在A的右边与B在A的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个
元素全排列数的一半,即1A5=60种;
25
5
法2(插空法):
先排好A、B,再把C、D、E逐一插空,即3×4×5=60种法3(空位法):
5个位置C、D、E先排好,空两个位置AB来放:
A3=60
【类题演练】
1、书架上有3本不同的书,使这些书的顺序不变,再放上2本不同的书,有种放法(答案20);
2、百米决赛有6名运动员,每个运动员速度都不同,则A比F先到终点共有种情况(答案360);
3、学号为1,2,3,4的四名学生的成绩xi∈{89,90,91,92,93}(i=1,2,3,4)且满足x1 则这四位同学考试成绩的所有可能情况有种(答案15); 4、设集合A={1,2,3,4,5,6,7,8},对任意x∈A,有f (1)< 是 f (2)< f(3),则映射f: A→A的个数 8 (答案C385); 5、如果一个三位正整数形如“a1a2a3”满足a1 等),那么所有凸数个数为 (答案240); p 6、离心率等于logq(其中1≤p≤9,1≤q≤9且p,q∈N*)的不同形状的的双曲线的个数为 (答案26)。 策略九: 标号排位问题(不配对问题)分步法 把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成. 【例13】同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡, 则4张贺年卡不同的分配方式共有() (A)6种(B)9种(C)11种(D)23种 【解析】: 设四个人分别为甲、乙、丙、丁,各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。 第一步,甲取其中一张,有3种等同的方式;第二步,假设甲取b,则乙无论取a、c、d 丙、丁的取法都是唯一的。 根据乘法原理,一共有3×3×1×1=9种分配方式。 故选(B) 【类题演练】 1、五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有() (A)60种(B)44种(C)36种(D)24种(答案B)2、编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位,其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是()(答案B) (A)10种(B)20种(C)30种(D)60种 3、设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯盖,将五个杯盖盖在五个茶杯上,至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有种(答案31) 策略十: 不同元素的分配问题先分组再排组法(详见模型五) 将不同元素放到某些位置或分给某些人,往往先分成组,再将组排序。 但因为各组元素的个数相等与否,一般分为: 平均,不平均,部分平均分配,在用组合数选取元素时,个数平均的组与组之间已经有序,个数不平均的组与组之间无序,须加序。 此外还有定向分配和特殊元素参与的分配。 【例14】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有种 C2⋅C1⋅C1 A 【解析】: 第一步将4名大学生按,2,1,1分成三组,其分法有421; 2 2 3 C2⋅C1⋅C13 第二步将分好的三组分配到3个乡镇,分法有A3所以满足条件得分配的方案有421⋅A3=36 2 【例15】四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种? 4 【解析】: 先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有C2种,再排: 在四个盒中每次排3个 有A3种,故共有C2A3=144种. 444 【类题演练】(详见模型五) 1、有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是()(答案C) (A)1260种(B)2025种(C)2520种(D)5040种 2、某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有()种(答案D) (A)16种(B)36种(C)42种(D)60种 策略十一: 相同元素的分配问题隔板法 对于n个相同元素分配到m个位置的问题,可看作是由(m-1)个隔板(或排序,或插空)把n 个相同元素隔成m段。 【例16】10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案? 【解析】: 把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可在小球的9个空位中插入6 9 块板,如: ○|○○|○|○○|○○|○|。 每种插法对应一种分配方案,故共有不同的分配方案为C6=84种. 【例17】4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同的盒子中的3个中,使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种? 4 【解析】: 1、先从4个盒子中选三个放置小球有C3种方法。 3 2、注意到小球都是相同的,我们可以采用隔板法。 为了保证三个盒子中球的颜色齐全,可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。 各有C2、 C2、C2种方法。 3、由分步计数原理可得C3C2C2C2=720种 454345 【类题演练】 10 1、7个相同的小球,任意放入四个不同的盒子,问盒子可以空放法有种(答案C3) 5 2、马路上有9盏路灯,为节约用电,把其中的三盏关掉,但不能同时关掉相邻的两盏,也不能关掉两端的路灯,满足条件的关灯办法有种。 (答案C3) 3、把一同排6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人,每人至少分1张,至多 分2张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是 (答案144) 16 4、把20个相同的球全放入编号分别为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的球数不少于其编号数,则有多少种不同的放法? (答案C2=120种) 策略十二: “至多”“至少”问题间接法(淘汰法)……正难则反思想 对有限制条件的问题,尤其是“至多”“至少”问题,直接法较难则从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。 【例18】从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,至少要甲、乙各一台,则不同的取法有多少种? 【解析】不分条件有C3种,全是甲C3种,全是乙C3种,共有C3-C3-C3=70种 945945 【类题演练】 1、在平面直角坐标系中,由六个点(0,0),(1,2),(2,4),(6,3),(-1,-2),(-2,-1)可以确定三角 形的个数为 (答案15)。 策略十三: 综合问题先选后排法 有很多排列问题,都是排序前要选元素,按步骤现选后排,比如【例8】、【例14】、【例15】等 【例19】从0-9中选出奇数、偶数各两个,组成不重复的四位数,这样的四位偶数有多少个? 【解析】法1: 第一步: 任选两个奇数两个偶数C2C2;第二步: 排成四位偶数C2C2A4; 55554 55445 第三步: 除去0在首位的偶数C2C2A4-C1A2 (间接法) 453425 法2: 第一类: 选0,依然选数再排,注意元素优先C1C2A3+C1C1A2 第二类: 不选0 选数C2C2,再排数C2C2C1A3,故C1C2A3+C1C1A2+C2C2C1A3 ,45 4523 4534254523 【类题演练】 1、某种产品有4只次品和6只正品,每只产品均不相同且可区分,今每次取出一只测试,直到4只次 品全测出为止,则最后一只次品恰好在第五次测试时,被发现的不同情况种数是 (答案576)。 策略十四: 转化与化归法 转化与化归思想是高中四大数学思想之一。 很多排列组合问题只按题目表面意思求解,很困难,如果用化归的思想,换个角度来思考,(一般转化为基本模型问题),往往能收到“山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村”的效果。 【例20】(2005浙江)设平面坐标内有一个质点从原点出发,沿x轴跳动,每次向正方向或负方向跳 一个单位,经过5次跳动质点落在点(3,0)(允许重复过此点)处,则质点不同的远动方法共有 种(用数字作答). 【解析】不要局限于坐标轴上位置的概念,而应从运动方向上来分析。 经过五步后向右运动了3个单位 长度,必定是向右4步向左1步,将4右1左排顺序,如: “右右右左右”。 即5种方法. 【例21】小明家住二层,他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。 已知相邻楼层之间有16 级台阶,那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法? 【解析】: 共16级台阶为偶数,故走3级台阶的次数也该为偶数。 第一类: 有0次走3级台阶(即全走2级),那么有1种走法; 第二类: 有两次走3级台阶,则有5次走2级台阶: 7 法1: 看做5个2和2个3排序,如“2232232”,有C2=21。 7 法2: 看做7个相同小球的分配问题,先各放2个小球共14,剩下2个球各选个盒子放,有C2=21。 6 第三类: 有4次走3级台阶,则有2次走两级台阶,方法同上,有C2=15。 故总共有: 37种。 【特别提醒】后面“第二部分-排列组合的常见模型”的练习均可看作是转化与化归策略。 【类题演练】 1、25人排成5×5方队,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,选法有多少种? (答案600) 2、城市街区由12个的矩形组成,其中实线表示马路,则从A走到BB 的最短路径有多少种? (答案35)A 3、欲登上第10级楼梯,如果规定每步只能跨上一级或两级,则不同 的走法共有( ) (答案C) (A)34种 (B)55种 (C)89种 (D)144种 第二部分——排列组合的常见模型 模型一: 排序问题 【例1】 (1)7个不同小球排成一排,有多少种排法? (不同元素排序) (2)4个相同小球和另外3个不同小球排成一排,有多少排法? (部分相同部分不同元素排序) (3)4个相同黑球和3个相同白球排成一排,有多少种排法? (多组相同元素排序) 【解析】 (1)A7,但不同元素排序往往有限制(参看模型二、模型三、); (2)法一: 先排不同元素A3, 77 A7 法二: 缩倍法7 A7 ;(3)先排一组相同元素C3,法二: 缩倍法7 4743 443 【类题演练】 1、3人坐在一排8个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有种(答案: 24); 8 2、连续发射8发子弹4发命中,有种命中方式。 (答案: C4) 模型二: 站队问题 【例2】5个男生4个女生站成一排照相,问满足下列要求的排队种数: (1)任意站成一排; (2)平均站成三排;(3)站成一排,甲站中间;(4)站成一排,甲不站中间 (5)甲和乙不站两端;(6)甲不站头乙不站尾;(7)甲和乙站一起;(8)甲和乙中间有两人(9)男生站一起,女生站一起;(10)甲和乙不站一起;(11)甲乙相邻,乙丙不相邻; (12)男女相间;(13)男生按高矮顺序从左到右站 【解析】 (1)全排A9; (2)多排看成单排A9;(3)优先法A8;(4)元素优先法C1A8;间接法A9- 998889 A 8 8 (5)元素(位置)优先法A2A7;(6)元素优先法A8(甲站尾)+C1C1A7(甲不站头尾);(7)相邻问 778777 题捆绑法A2A8;(8)小团体也捆绑法A2A2A6;(9)捆绑A4A5A2;(10)不相邻问题插空法A7A2; 2827
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 14 策略 模型 绝杀 排列组合 编辑 修改 word