等比数列及前n项和教案.docx
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等比数列及前n项和教案
等比数列及前n项和教案
【篇一:
《等比数列的前n项和》教学案例设计】
《等比数列的前n项和》教学案例设计
一、设计思想
1、设计理念
本课的教学设计基于“人人都能获得必要得数学”即平等性的考虑,坚持面向全
体学生,努力设计“适合学生发展得数学教育”,体现“人人学数学”,“不同
的人学不同的数学”的理念。
教学中强调“培养学生情感、态度与价值观”的重
要性,注重引导学生主动地进行探索,从而帮助学生树立正确的数学观,但又与
教师的设计问题与活动的引导密切结合,强调“活动”的内化,即在头脑中实现
必要的重构或认知结构的重组,从而引起真正的数学思维,提高思维的效益。
通
过联系学生的生活实际使其真正感到数学是有意义的,一方面培养学生的社会意
识,明确肯定“日常数学”的合理性等,另一方面,再调动学生生活经验的同时,
又应努力帮助他们清楚地去熟悉生活经验并上升到“学校数学”的必要性。
2、设计背景
传统的数学作业单调枯燥,脱离生活和学生实际,不利于学生个性和能力的发展。
在新课程标准的理念下,重新认识作业的意义和价值,突破传统,改变现状,树
立正确的作业观,创新作业方式,激发兴趣,发展学生数学素质,既注重基础知
识的巩固,更要注重学生思维和能力的发展,既要创新又要保证其科学有效,使
学生在做作业的过程中体验快乐、形成能力、学会合作、体验自主。
3、教材的地位与作用
本节教材在学生学习过等比数列的概念与性质的基础上,学习等比数列n前项和
公式,能用等比数列的前n项和公式解决相关求和问题。
探索公式的推导、体会
错位相减法以及分类讨论的思想方法。
本节内容基础知识和基本技能非常重要,
涉及的数学思想、方法较为丰富,因此是重点内容之一。
本设计是第一课时的教
学内容。
二、学习目标
⑴知识与技能
掌握等比数列的前n项和公式,能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。
⑵过程与方法
通过等比数列的前n项和公式的推导过程,体会错位相减法以及分类讨论的思想
方法。
⑶情感、态度与价值观
通过对等比数列的学习,发展数学应用意识,逐步认识数学的科学价值、应用价
值,发展数学的理性思维。
教学重点
掌握等比数列的前n项和公式,能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。
教学难点
错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。
三、教学设想:
本节课采用探究式课堂教学模式,即在教学过程中,在教师的启发引导下,以学
生独立自主和合作交流为前提,以“正弦定理的发现”为基本探究内容,以四周
世界和生活实际为参照对象,为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题
的机会,让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动,将自己所学
知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。
让学生在“活动”中学习,在“主动”
中发展,在“合作”中增知,在“探究”中创新。
设计思路如下:
四、教学过程
(一)创设问题情景
课前给出复习:
等比数列的定义及性质
课首给出引例:
“一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意,哪知富人一
口答应了下来,但提出了如下条件:
在30天中,富人第一天借给穷人1万元,第二
天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还
1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.
穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,
所以很为难。
”请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?
[设计一个学生比较感爱好的实际问题,吸引学生注重力,使其马上进入到研究者
的角色中来!
]
(二)启发引导学生数学地观察问题,构建数学模型。
学生直觉认为穷人可以向富人借钱,教师引导学生自主探求,得出:
(1+30)?
30=1+2++30==465(万元)穷人30天借到的钱:
s302
穷人需要还的钱:
s30=1+2+22++229=?
[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!
]
教师紧接着把如何求s30=1+2+22++229=?
的问题让学生探究,
s30=1+2+22++229①若用公比2乘以上面等式的两边,得到
2s30=2+22++229+230②
若②式减去①式,可以消去相同的项,得到:
(分)≈1073(万元)>465(万元)s30=230-1=1073741823
答案:
穷人不能向富人借钱
(三)引导学生用“特例到一般”的研究方法,猜想数学规律。
提出问题:
如何推导等比数列前n项和公式?
(学生很自然地模仿以上方法
推导)
sn=a1+a1q+a1q2++a1qn-2+a1qn-1
(1)
qsn=a1q+a1q2++a1qn-1+a1qn
(2)
(1)-
(2)有(1-q)sn=a1-a1qn
推导等比数列前n项和sn的公式,教师引导讲完课本上的推导方法后,
教师:
还有没有其他推导方法?
(经过几分钟的思考,有学生举手发言)
学生a:
a2=a3==an=q∴a2+a3++an=q即a1a2an-1a1+a2++an-1
sn-a1=q∴sn=a1-anq(q≠1)sn-an1-q。
学生b:
sn=a1+a1q++a1qn-2+a1qn-1
=a1+qa1+a1q++a1qn-2=a1+qsn-1=a1+q(sn-an)=a1+qsn-anq
∴sn-qsn=a1-anq∴sn=a1-anq(q≠1)1-q()
[“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路!
教师让学生进行各种尝试,探寻公式的推导的方法,同时抓住机会或创设问题情
景调动了学生参与问题讨论的积极性,培养学生的探究能力,发挥了组织者、推
进者和指导者的作用,而学生却是实实在在的主体活动者、成为发现者、创造者!
让学生享受成功的喜悦!
]
【基础知识形成性练习:
】
1、求下列等比数列的各项和:
1111
(1)1,3,9,?
,2187
(2)1,-,,-,,-248512
2、根据下列条件求等比数列{an}的前n项和sn
①a1=2,q=2,n=8②a1=8,q=2,an=
(四)数学应用
例1求等比数列1/2,1/4,1/8?
?
的
(1)前8项的和;
(2)第四项到第八项的和
11解:
(1)a1=,q=,n=82212
11(1-n)=255∴s8=2
12561-2
1
(2)a4=a1q3=,n=516
11(1-5)=31∴s=12561-2
例2:
在等比数列{an}中,
(1)已知a1=-4,q=2,求sn
(2)已知a1=1,ak=243,q=2求sk
例3:
在等比数列{an}中,s3=763,s6=求an22
[例1教师板演示范,强调解题的规范。
例2、例3学生分析解法,学生不会时要分析出不会做的症结所在,然后再由学生板演出解题过程。
]
【演练反馈巩固性练习:
】
1)在等比数列{an}中,
①已知a1=-1.5,a7=-96,求q和sn
②已知a3=4,s3=12,求q和a1
2)求数列1+a+a2+a3+an-1+(a≠0)的前n项和。
[允许学生对不会做的题目可以不做,只要分析出不会做的症结所在,就算完成了作业。
然后老师给出评价]
(六)布置作业
1、根据下列条件,求等比数列{an}的前n项和sn
①:
a1=3,q=2,n=6②:
a1=8,q=11,an=22
5,n=4④:
a1+a3=10,a4+a6=,③:
a2=0.12,a5=0.000964
2、在等比数列
①:
已知{an}中,a1=2,s3=26,求q和sn
=30,s3=115,求sn
}中,已知sn=48,s2n=60,求s3n②:
已知s23、在等比数列{an
2n-1s=1+3x+5x++(2n-1)x(x≠0)4、求和:
n
[作业要求:
允许学生对不会做的题目可以不做,只要分析出不会做的症结所在,就算完成了作业。
]
(七)板书设计
等比数列的前n项和
公式推导例题练习
注:
(七)课后反思
本节课授课对象为实验班的学生,学习基础较好。
同时,考虑到这是一节探究课,授课前并没有告诉学生授课内容。
教学设计从学生的角度出发,采用“教师设计问题与活动引导”与“学生积极主动探究”相结合的方法分成五个步骤层次分明
(1)创设问题情景、布疑激趣
(2)启发引导学生数学地观察问题,构建数学模型(3)探寻特例、提出猜想(4)数学应用(5)知识评估。
学生在未经预习不知等比数列求和公式和证明方法的前提下,在教师预设的思路中,一步步发现了公式并推导了公式,感受到了创造的快乐,激发了学习数学的爱好,教学的知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。
(一)、通过创设教学情境,激活了学生思维。
从认知的角度看,情境可视为一种信息载体,一种知识产生的背景。
本节课数学情境的创设突出了以下两点:
1.从有利于学生主动探索设计数学情境。
新课标指出:
学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战性的。
从心理学的角度看,青少年有一种好奇的心态、探究的心理。
因此,本教案紧紧地抓住高一学生的这一特征,利用“小故事”这一探索性的材料,精心设计教学情境,使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中,逐步形成创新意识。
2.以问题为导向设计教学情境。
“问题是数学的心脏”,本节课数学情境的设计处处以问题为导向:
“请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?
”、“如何推导等比数列前n项和公式?
”、“还有没有其他推导方法?
”?
?
促使学生去思考问题,去发现问题。
【篇二:
等比数列前n项和_(公开课教案)】
6.3.3等比数列的前n项和
教学目的:
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
2.会用等比数列的前n教学重点:
等比数列的前n项和公式推导
教学难点:
灵活应用公式解决有关问题
授课类型:
新授课
课时安排:
1课时
教材分析:
本节是对公式的教学,要充分揭示公式之间的内在联系,掌握与理解公式的来龙去脉,掌握公式的导出方法,理解公式的成立条件.也就是让学生对本课要学习的新知识有一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推导和条件,直接记忆公式的结论是降低教学要求,教学过程:
一、复习:
首先回忆一下前两节课所学主要内容:
1.等比数列:
如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比。
公比通常用字母q表示(q≠0),即:
{an}成等比数列?
an+1+=q(n∈n,q≠0)an
“an≠0”是数列{an}成等比数列的必要非充分条件(前提条件)。
2.等比数列的通项公式:
an=a1?
qn-1(a1?
q≠0),an=am?
qm-1(a1?
q≠0)
3.既是等差又是等比数列的数列:
非零常数列.
二、讲解新课:
*创设情境兴趣导入
话说孙悟空西天取经回来,对花果山进行了旅游开发,办起了旅游公司,可好景不长,便因资金周转不开,陷入困境。
而猪八戒从高员外手里接下高老庄集团后,摇身变成了ceo,生意是蒸蒸向上。
于是,悟空找到八戒帮忙,八戒一口答应:
行,看在你在西天取经路上“狠”照顾我的份上,我每天给你投100万元,连续一个月(30天),但是有一个条件,作为回报,从投资的第一天你必须返还给我1元,第二天2元,第三天4元……依次类推,后一天是前一天的2倍,也是一个月,怎么样?
*动脑思考探索新知
如何求数列1,2,4,?
228,229以1为首项,2为公比的等比数列的前64项的和,可表示为:
sn=1+2+4+?
+228+229①
2sn=2+4+?
+229+230②
30由②—①可得:
s30=2-1
这种求和方法称为“错位相减法”“错位相减法”
公式的推导方法一:
一般地,设等比数列a1,a2+a3,an它的前n项和是
sn=a1+a2+a3+an
?
sn=a1+a2+a3+an由?
n-1a=aq1?
n
2n-2n-1?
?
sn=a1+a1q+a1q+a1q+a1q得?
23n-1n?
?
qsn=a1q+a1q+a1q+a1q+a1q
∴(1-q)sn=a1-a1qn
a-anqa1(1-qn)∴当q≠1时,sn=①或sn=1②1-q1-q
当q=1时,sn=na1
公式的推导方法二:
sn=a1+a2+a3+an=a1+q(a1+a2+a3+an-1)
=a1+qsn-1=a1+q(sn-an)
?
(1-q)sn=a1-anq(结论同上)
“方程”在代数课程里占有重要的地位,方程思想是应用十分广泛的一种数学思想,利
现在我们看一看本节趣味数学内容中,国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺?
国王承诺奖赏的麦粒数为
s641(1-264)==264-1≈1.84?
1019,1-2
*巩固知识典型例题
例5写出等比数列
1,-3,9,-27,
的前n项和公式并求出数列的前8项的和.
解因为a1=1,q=-3=-3,所以等比数列的前n项和公式为1
1?
[1-(-3)n]1-(-3)n
=sn=,1-(-3)4
1-(-3)8
=-1640.故s8=4
例6求等比数列1,2,4,?
从第5项到第10项的和.
解由a1=1,a2=2得q=2
1?
(1-24)1?
(1-210)∴s4==15,s10==10231-21-2
从第5项到第10项的和为s10-s4=1008
例7一条信息,若一人得知后用一小时将信息传给两个人,这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人,如此继续下去,一天时间可传遍多少人?
最快几小时全球(67.6亿)人都知道这个消息?
解根据题意可知,获知此信息的人数成首项a1=1,q=2的等比数列则:
一天内获知此信息的人数为:
s241-224==224-1=16777215(人)1-2
∵s321-232==232-1=4294967295(人)1-2
1-233
==233-1=8589934591(人)1-2s33
∴最快33个小时全球人都知道这个消息。
*运用知识强化练习
练习6.3.3
1.求等比数列1248,,,,?
的前10项的和.9999
2.已知等比数列{an}的公比为2,s4=1,求s8.
*归纳小结强化思想
1.等比数列求和公式:
当q=1时,sn=na1
a1-anqa1(1-qn)当q≠1时,sn=或sn=;1-q1-q
2.这节课我们从已有的知识出发,用多种方法(错位相减法、方程法)推导出了等比数列的前n项和公式,并在应用中加深了对公式的认识.
*继续探索活动探究
(1)读书部分:
教材
(2)书面作业:
教材习题6.3a组(必做);教材习题6.3b组(选做)
*教学反思
【篇三:
教案-《等比数列的前n项和公式》】
高二数学组集体备课教案(第七周10月17日)
课题:
2.5等比数列的前n项和(两个课时)
教学目标:
(1)知识目标:
理解等比数列的前n项和公式的推导方法;掌握等比数列
的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题;
(2)能力目标:
提高学生的建模意识,体会公式探求过程中从特殊到一
般的思维方法,渗透方程思想、分类讨论思想;
(3)情感目标:
培养学生将数学学习放眼生活,用生活眼光看数学的思
维品质;
教学重点:
(1)等比数列的前n项和公式;
(2)等比数列的前n项和公式的应用;
教学难点:
等比数列的前n项和公式的推导;
教学方法:
问题探索法及启发式讲授法
教具:
多媒体
教学过程:
一、复习提问
回顾等比数列定义,通项公式
an
=qa
(1)等比数列定义:
n-1(n≥2,q≠0)
(2)等比数列通项公式:
an=a1qn-1(a1,q≠0)
(3)等差数列前n项和公式的推导方法:
倒序相加法。
二、问题引入:
阅读:
课本第55页“国王赏麦的故事”。
2363
+2+问题:
如何计算s64=12+2++2
引出课题:
等比数列的前n项和。
三、问题探讨:
问题:
如何求等比数列{an}的前n项和公式sn=a1+a2+a3++an
=a1+a1q+a1q2++a1qn-2+a1qn-1
回顾:
等差数列的前n项和公式的推导方法。
倒序相加法。
等差数列a1,a2+a3,an它的前n项和是sn=a1+a2+a3+an根据等差数列的定义an+1-an=d
(n-1)d]
(1)sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)++[a1+
sn=an+(an-d)+(an-2d)++[an-(n-1)d]
(2)
(1)+
(2)得:
2sn=n(a1+an)
n(a1+an)2
探究:
等比数列的前n项和公式是否能用倒序相加法推导?
sn=a1+a2+a3++an
sn=
=a1+a1q+a1q2++a1qn-2+a1qn-1
aaanan
sn=an+n+n+++2n-2n-1
qqqq
学生讨论分析,得出等比数列的前n项和公式不能用倒序相加法推导。
回顾:
等差数列前n项和公式的推导方法本质。
构造相同项,化繁为简。
探究:
等比数列前n项和公式是否能用这种思想推导?
根据等比数列的定义:
an+1
=(qn∈n+)an
变形:
anq=an+1
具体:
a1q=a2a2q=a3a3q=a4?
?
学生分组讨论推导等比数列的前n项和公式,学生不难发现:
由于等比数列中的每一项乘以公比q都等于其后一项。
所以将这一特点应用在前n项和上。
由此构造相同项。
数学具有和谐美,错位相减,从而化繁为简。
sn=a1+a1q+a1q2++a1qn-2+a1qn-1
(1)qsn=
a1q+a1q2+a1q3++a1qn-1+a1qn
(2)
2
由此构造相同项。
数学具有和谐美,错位相减,从而化繁为简。
∴
(1)-
(2)得:
(1-q)sn=a1-a1qn
当q=1时,sn=na1
a1(1-qn)当q≠1时,sn=
1-q
学生经过讨论还发现了其他的推导方法,让学生课后整合自己的思路,将各自的推导过程展示在班级学习园地,同学们共享探究。
由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形式:
当q≠1时,sn=
a1-anq
1-q
四.知识整合:
1.等比数列的前n项和公式:
当q=1时,sn=na1
a1(1-qn)a-aq
当q≠1时,sn==1n
1-q1-q
2.公式特征:
⑴等比数列求和时,应考虑q=1与q≠1两种情况。
⑵当q≠1时,等比数列前n项和公式有两种形式,分别都涉及四个量,四个量中“知三求一”。
⑶等比数列通项公式结合前n项和公式涉及五个量,a1,五个量中“知三求二”(方程思想)。
3.等比数列前n项和公式推导方法:
错位相减法。
五、例题精讲:
例1.运用公式解决国王赏麦故事中的难题。
变式练习:
⑴求等比数列1,2,4,8?
的前多少项和是63.
⑵求等比数列1,2,4,8?
第4项到第7项的和.
例2.画一个边长为2cm的正方形,再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形,
依次类推⑴若一共画了7个正方形,求第7个正方形的面积?
3
q,n,
an,sn,
⑵若已知所画正方形的面积和为一个正方形的面积。
31
,求一共画了几个正方形,及所画的最后4
解:
由题意得:
每个正方形的面积构成等比数列,且a1=4
(1)n=7∴a7=a1?
q6=
116
q=
12
n-1
?
?
1?
?
an=4?
?
2?
?
?
an=a1qn=1
?
n=5n?
?
?
?
1?
?
?
?
(2)?
a1(1-qn)?
?
?
14?
1-?
?
a=n?
?
31?
sn=?
2?
?
?
?
41-q?
?
=
1?
41-
?
?
2
1
答:
(1)第七个正方形的面积是cm2。
16
1
(2)一共测了5个正方形,所画的最后一个正方形的面积是cm2。
4
巩固练习:
⑴已知等比数列{an}中,a1=-1,q=-2,求s6。
⑵已知等比数列{an}中,a1=1,q=3,sn=40,求n,an。
六、课堂小结:
1、等比数列的前n项和公式:
当q=1时,sn=na1
a1(1-qn)a-aq
当q≠1时,sn==1n
1-q1-q
2、等比数列的前n项和推导方法:
错位相减法。
3、数学思想:
类比,分类讨论,方程的数学思想。
七、课后作业:
基础题:
课本p61习题2.5a组1,2
提高题:
求和((1+a)+(2+a2)++(2n-1+an)
探究与发现:
查阅网络,思考等比数列前n项和公式还有无其它推导方法?
4
八、板书设计:
5
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- 等比数列 教案