重庆大学数学建模微分方程.docx
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重庆大学数学建模微分方程
重庆大学
学生实验报告
实验课程名称数学实验
开课实验室DS1421
学院机械工程2011年级机械电子专业班03
学生姓名姜文雷学号20112962
开课时间2012至2013学年第2学期
总成绩
教师签名
数学与统计学院制
开课学院、实验室:
数学与统记学院DS1421实验时间:
2013年4月10日
课程
名称
数学实验
实验项目
名称
微分方程
实验项目类型
验证
演示
综合
设计
其他
指导
教师
龚劬
成绩
实验目的
[1]归纳和学习求解常微分方程(组)的基本原理和方法;
[2]掌握解析、数值解法,并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析;
[3]熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令;
[4]通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程;
通过该实验的学习,使学生掌握微分方程(组)求解方法(解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等),对常微分方程的数值解法有一个初步了解,同时学会使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令,学会建立微分方程方面的数学模型。
这对于学生深入理解微分、积分的数学概念,掌握数学的分析思维方法,熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。
1、实验内容
a.基础实验
1.求微分方程的解析解,并画出它们的图形,
(1)y’=y+2x,y(0)=1,0 程序如下: y1=dsolve('Dy=y+2*x','y(0)=1','x') 结果: y1=-2*x-2+3*exp(x) 画图的程序: x=0: 0.01: 1; y=-2*x-2+3*exp(x); plot(x,y) 图形为: (2)y’’+ycos(x)=0,y(0)=1,y’(0)=0; 用dsolve求不出解析解; 数值法: 建立M文件: functionf=eqs2(x,y) f=[y (2);,-y (1)*cos(x)] 输入M文件: [x,y]=ode23('eqs2',[0,1],[1,0]) plot(x,y(: 1),x,y(: 2),'r') 运行结果 f=0-1 f=-0.0000-1.0000 f=-0.0001-1.0000 f=-0.0001-1.0000 f=-0.0003-1.0000 f=-0.0004-1.0000 f=-0.0005-1.0000 f=-0.0015-1.0000 f=-0.0020-1.0000 f=-0.0025-1.0000 f=-0.0075-1.0000 f=-0.0100-0.9999 f=-0.0125-0.9998 f=-0.0375-0.9989 f=-0.0499-0.9973 f=-0.0624-0.9961 f=-0.1080-0.9894 f=-0.1304-0.9821 f=-0.1529-0.9765 f=-0.2017-0.9602 f=-0.2249-0.9476 f=-0.2487-0.9370 f=-0.2956-0.9118 f=-0.3171-0.8951 f=-0.3397-0.8803 f=-0.3837-0.8474 f=-0.4033-0.8273 f=-0.4243-0.8091 f=-0.4648-0.7697 f=-0.4820-0.7471 f=-0.5011-0.7262 f=-0.5375-0.6822 f=-0.5523-0.6579 f=-0.5693-0.6352 f=-0.6010-0.5883 f=-0.6134-0.5633 f=-0.6280-0.5397 f=-0.6550-0.4919 f=-0.6649-0.4670 f=-0.6772-0.4434 f=-0.6993-0.3965 f=-0.7069-0.3727 f=-0.7168-0.3501 f=-0.7248-0.3294 f=-0.7281-0.3192 f=-0.7319-0.3091 x=00.0001 0.00050.0025 0.01250.0625 0.15410.2541 0.35410.4541 0.55410.6541 0.75410.8541 0.95411.0000 y=1.00000 1.0000-0.0001 1.0000-0.0005 1.0000-0.0025 0.9999-0.0125 0.9980-0.0624 0.9882-0.1529 0.9680-0.2487 0.9386-0.3397 0.9003-0.4243 0.8540-0.5011 0.8004-0.5693 0.7404-0.6280 0.6751-0.6772 0.6053-0.7168 0.5721-0.7319 图像: 3.Rossler微分方程组: 当固定参数b=2,c=4时,试讨论随参数a由小到大变化(如a∈(0,0.65))而方程解的变化情况,且画出空间曲线图形,观察空间曲线是否形成混沌状? 程序: 1.第一个m文件 functionf=lorenz(t,x) a=0.1;b=2;c=4; f=[-x (2)-x(3);x (1)+a*x (2);b+x(3)*(x (1)-c)]; 2.第二个m文件 x0=[0,0,0.1]; [t,x]=ode45('lorenz',[0,50],x0); plot(t,x(: 1),'-',t,x(: 2),'*',t,x(: 3),'+'); pause plot3(x(: 1),x(: 2),x(: 3)),gridon 参数a=-0.1的情况: a=0.3; a=0.5 a=0.62 4.Apollo卫星的运动轨迹的绘制 程序如下: 函数m文件1 functiondx=weixinghanshu(t,x) u=1/82.45; u1=1-u; r1=sqrt((x (1)+u)^2+x(3)^2); r2=sqrt((x (1)-u1)^2+x(3)^2); dx=[x (2) 2*x(4)+x (1)-u1*(x (1)+u)/r1^3-u*(x (1)-u1)/r2^3 x(4) -2*x (2)+x(3)-u1*x(3)/r1^3-u*x(3)/r2^3]; m文件2 x0=[1.2;0;0;-1.04935751]; options=odeset('reltol',1e-8); tic [t,y]=ode45(@weixinghanshu,[0,20],x0,options);toc plot(y(: 1),y(: 3)) title('Appollo卫星运动轨迹') xlabel('X') ylabel('Y') Elapsedtimeis0.597879seconds 图像: b.应用实验 River-bay系统水污染问题 1条河流和河湾与大湖相连,位于湾上游的小河是造成湾污染的主要因素,另有一座铝厂恰好建在湾旁,也造成污染。 当湾中污染物平均浓度达到1.6mg/l时,铝厂将被迫暂时关闭。 假使该湾的容量为4,000,000公升,流入和流出河湾的水流速度均为40,000公升/天,若当前该河湾水中的污染物浓度为0.8mg/l,河水中污染物的浓度为0.5mg/l。 要求 1)建立湾中水污染状况的模型; 2)计算30天后该河湾水的污染物浓度; 3)该河湾水的污染物浓度是否能达到一个稳定值? 4)如将4,000,000mg污染物瞬间排入河湾中,求铝厂必须关闭多长时间? 5)列出并讨论影响河湾污染的模型中未考虑到的因素至少四种。 1建立湾中水污染状况的模型 设河湾的总容量为V=4000000L,河流中污水的浓度为c1=0.5mg/l,河湾的初始浓度为p(0)=0.8mg/l;流入流出的水速分别v1=v2=40000l/天;t时刻时河湾中污染物的质量为m,则污水浓度为p;则经过dt时间,河湾中的污染物质量增加dm;则有 dm=v1*c1*dt-v2*p*dt 又p=m/v所以dm=v*dp 所以 Matlab求解: 所以浓度为: P(t)=0.5+0.3* 2计算30天后该河湾水的污染物浓度; P(30)=0.5+0.3*exp(-0.3)=0.722mg/L 3该河湾水的污染物浓度是否能达到一个稳定值? 当t 时 P( )=0.5mg/L 因此可以稳定某个值为0.5mg/L; 4如将4,000,000mg污染物瞬间排入河湾中,求铝厂必须关闭多长时间? 此时河湾的污染物初始浓度为p(0)=(4000000+0.8*4000000)/4000000=1.8mg/L; MATLAB求解新的模型为 所以p(t)=1/2+13/10*exp(-1/100*t) 画图;t=0: 200;y=1/2+13/10*exp(-1/100.*t);plot(t,y) 由曲线可知该函数是个单调递减的函数; 求解p(t)=1.6 程序: solve('1/2+13/10*exp(-1/100*t)=1.6') 结果: ans=16.705408466316619199154386360019 因此该工厂最少要关闭17天; 5.列出并讨论影响河湾污染的模型中未考虑到的因素至少四种。 1.河湾生态系统对污染物降解能力 2.自然降水最河湾中污染物的浓度的影响 3.上游的河水中的污染物在沿途被稀释的速率 4.周边居民每天向河湾排放污染物的量 总结与体会 通过该实验的学习我掌握了微分方程(组)求解方法解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等对常微分方程的数值解法有一个初步了解同时学会使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令学会建微分方程方面的数学模型。 同时也明白了用数学MATLAB解微分方程和作出其图样的快捷性,这对于我们理解微分方程的性质是十分重要的. 教师签名 年月日
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