高斯小学奥数五年级下册含答案第01讲圆与扇形初步.docx
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高斯小学奥数五年级下册含答案第01讲圆与扇形初步.docx
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高斯小学奥数五年级下册含答案第01讲圆与扇形初步
第一讲圆与扇形初步
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圆是宇宙中最简单的图形:
天上的太阳、月亮、行星和恒星,它们在太空中呈现圆和球形;地上的滚滚车轮,家里的盘子、碗、钟表也都是圆的.
在自然界中,没有像圆那样美的图形了.圆匀称、饱满、光滑、对称,常用来象征吉祥如意,表达人们的良好愿望:
圆满、圆梦、团圆……
古希腊毕达哥拉斯学派认为:
“一切立体图形中最美的是球体,一切平面图形中最美的是圆形”.他们认为,圆是神创造出来的最完美的东西.
在纸上画一点O,并在纸上找到所有与O距离为1的点,如A、B、C、D、E、F、G……等.这些点合到一起,就构成一个圆.点O就称为该圆的圆心;圆心与圆周上任意一点的连线(例如线段OA、OB、OC、OD等)叫半径;通过圆心,并且两端都在圆上的线段叫直径.直径长恰好是半径长的两倍.
圆心确定了圆所在的位置,半径长度确定了圆的大小.一个圆只要确定了“圆心”和“半径”,就能完全确定下来.
圆周长与直径的比值是一个固定不变的数,我们称之为圆周率,用希腊字母π表示.很早的时候,人们就利用滚圆法知道了π大约是3.随着科学的进步,现在我们已经知道圆周率是一个无限不循环小数,无法写成分数的形式.在实际问题的计算中,常常取近似值3.14.
直径长度通常用字母d来表示,半径长度通常用r来表示,圆周长通常用C来表示.于是有圆周长公式:
.
习惯上,圆面积用字母S来表示.它的计算公式为:
.
这一计算公式可以通过圆的周长公式推导出来.大家仔细观察下图,想想看应该如何推导?
练一练
下面的题目中,π都取为3.14.
1.已知一个圆的半径为3厘米,那么这个圆的周长为_______厘米;
2.已知一个圆的周长为50.24厘米,那么这个圆的直径为_______厘米;
3.已知一个圆的半径为3厘米,那么这个圆的面积为_______平方厘米;
4.已知一个圆的面积为78.5平方厘米,那么这个圆的半径为_______厘米.
扇形是指圆上被两条半径和半径之间的弧所包围的部分.其中,圆的半径也称为扇形的半径,而两条半径所成的夹角称为扇形的圆心角.扇形是圆的一部分.
要想知道扇形的弧长与面积,只要知道它是所在圆的几分之几就可以.它是圆的几分之几,它的弧长就是圆周长的几分之几,它的面积也同样就是圆面积的几分之几.
扇形弧长=
;
扇形面积=
.
需要注意的是,扇形的弧长不是它的周长,扇形的周长还必须加上两条半径!
练一练
5.已知一个扇形的半径是2厘米,圆心角是45°,那么这个扇形所在圆的面积是_______平方厘米;扇形的圆心角占圆周角的____分之____,它的面积占圆面积的____分之____,这个扇形的面积是______.
6.已知一个扇形的半径为6厘米,圆心角为120°,那么这个扇形的弧长为________厘米,周长是_______厘米;面积为_______平方厘米.
7.已知一个扇形的半径为4厘米,面积为12.56平方厘米,它的弧长等于_______厘米,周长等于______厘米.
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例题1.
有一个圆形花坛,直径为20米,一只小蜜蜂沿着花坛外周飞了一圈,请问它飞了多少米?
如果小蜜蜂沿着图中的虚线,飞一个“8”字,路线构成过花坛圆心的两个小圆,那么这次它飞了多少米?
(π取3.14)
分析:
小圆的直径是多少?
练习1.
半径分别为1、2、3、4厘米的四个圆的周长之和是多少厘米?
(π取3.14)
例题2.
如图,在一块面积为28.26平方厘米的圆形铝板中,裁出了7个同样大小的圆铝板.问:
余下的边角料的总面积是多少平方厘米?
(π取3.14)
分析:
大圆的半径是多少?
小圆的半径又是多少?
练习2.
如图,在一块面积为12.56平方厘米的纸板中,裁出了2个同样大小的圆纸板.问:
余下的纸板的总面积是多少平方厘米?
(π取3.14)
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一个规则的圆或扇形直接利用公式就可以求解,但一个不规则图形就没那么容易.在求解之前,先得当一回“裁缝”,将图形拆分、重组,然后再利用规则图形的相加或相减来进行求解.
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例题3.
如图,图中的三角形都是等腰直角三角形,求各图中阴影部分的面积.(π取3.14)
分析:
经过适当的分割和移动,图中不规则的阴影部分可以拼成规则的几何图形.
练习3.
图中的4个圆的圆心恰好是正方形的4个顶点,如果每个圆的半径都是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?
(π取3.14)
例题4.
如图是一个直径是3厘米的半圆,AB是直径.如图所示,让A点不动,把整个半圆逆时针转60°,此时B点移动到C点.请问:
图中阴影部分的面积是多少平方厘米?
(π取3.14)
分析:
图
(2)中整个图形的面积是多少,空白部分的面积又是多少?
先列出算式,看看有没有可以抵消的部分.
练习4.
下图
(1)是一个半径为3厘米的半圆,AB是直径.如图
(2)所示,让A点不动,把整个半圆顺时针转30°,此时B点移动到C点.请问:
图中阴影部分的面积是多少平方厘米?
小知识
圆有很多有意思的性质:
Ø圆心到圆上的每个点的距离都相等,这是圆的定义.
Ø每条经过圆心的直线都把圆平分为两半,都是圆的对称轴,因而圆有无数条对称轴.
Ø圆绕着圆心任意旋转,所得的图形与原来的圆重合.
Ø所有的圆之间都可以通过缩放相互转换,因而圆只有唯一一种形状,任意两个圆都是相似的.
Ø所有平面图形在周长相同的情况下,圆的面积是最大的.因而圆也被称为平面上最完美的图形.
例题5.
图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?
分析:
图中的阴影部分虽然很对称,但并不规则,无法用公式直接计算.那能不能通过恰当的割补将其变为一个规则图形进行求解呢?
同学们不妨动手试一试.
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例6.右图是由一个圆与一个直角扇形重叠组成的,其中圆的直径与扇形的半径都是4.图中阴影部分的面积是多少?
(π取3.14)
分析:
阴影部分的两个小弓形可以拼到哪里?
圆的历史
圆形,是一个看来简单,实际上十分奇妙的图形.古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的.在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔,那些孔有的就很圆.到了陶器时代,许多陶器都是圆的.圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的.当人们开始纺线,又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤.古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲.后来他们在搬运重物的时候,就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走,这样当然比扛着走省劲得多.
约在6000年前,美索不达米亚人,做出了世界上第一个轮子——圆形的木盘.大约在4000多年前,人们将圆的木盘固定在木架下,这就成了最初的车子.会作圆,但不一定就懂得圆的性质.古代埃及人就认为:
圆,是神赐给人的神圣图形.一直到两千多年前我国的墨子(约公元前468~前376年)才给圆下了一个定义:
圆,一中同长也.意思是说:
圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得(约公元前330~前275年)给圆下定义要早100年.任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数,我们把它叫做圆周率,用字母π表示.它是一个无限不循环小数,π=3.1415926535…但在实际运用中一般只取它的近似值,即π≈3.14.如果用C表示圆的周长:
C=πd或C=2πr.《周髀算经》上说“周三径一”,把圆周率看成3,但是这只是一个近似值.
美索不达米亚人在作第一个轮子的时候,也只知道圆周率是3.魏晋时期的刘徽于公元263年给《九章算术》作注时,发现“周三径一”只是圆内接正六边形周长和直径的比值.他创立了割圆术,认为圆内接正多边形边数无限增加时,周长就越逼近圆周长.他算到圆内接正3072边形的圆周率,π=3927/1250.刘徽把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中,这在世界数学史上也是一项重大的成就.
祖冲之(公元429~500年)在前人的计算基础上继续推算,求出圆周率在3.1415926与3.1415927之间,是世界上最早的七位小数精确值,他还用两个分数值来表示圆周率:
22/7称为约率,355/113称为密率.
在欧洲,直到1000年后的十六世纪,德国人鄂图(公元1573年)和安托尼兹才得到这个数值.现在有了电子计算机,圆周率已经算到了小数点后12400亿位了.
作业1.面积为78.5平方厘米的圆,周长是多少厘米?
(π取3.14)
作业2.一个半径为3分米的扇形,面积为6.28平方分米,那么它的圆心角是多少度?
(π取3.14)
作业3.如图,三角形ABC为等边三角形,边长为2,D为BC边中点.分别以B、C为圆心、1为半径作两个扇形(即图中阴影部分).那么阴影部分的面积是多少?
(π取近似值3.14,结果保留2位小数)
作业4.如图,ABCD是正方形,且FA=AD=DE=1,阴影部分的面积是多少?
(π取3.14)
作业5.
图中阴影部分的面积是多少平方厘米?
(图中长度单位为厘米,π取3.14)
第一讲圆与扇形初步
例题1.答案:
62.8米
详解:
小圆半径是5米,飞行路线为两个小圆周长,所以是
米.无论小圆有多少个,大小是否相等,只要所有小圆的直径之和等于大圆,那么它们的周长之和也等于大圆.
例题2.答案:
6.28平方厘米
详解:
,大圆半径是3厘米.小圆半径是1厘米,所以边角料面积为
平方厘米.
例题3.答案:
4;4.56;8
详解:
(1)割补法,将右边的弓形补到左边,两块阴影面积之和恰好为等腰直角三角形面积的一半.即
.
(2)割补法,如图,将图中的叶子形从中间分成面积相等的两个小弓形,阴影部分可拼成一个完整弓形,面积为
.
(3)割补法.正好是把第二问的过程反过来,把两个小弓形补到空白部分,阴影部分面积之和正好是等腰直角三角形的面积,即
.
例题4.答案:
4.71
详解:
图中阴影部分面积为整个图形面积减去半圆的面积,而整个图形面积为一个半圆面积与一个圆心角为60°的扇形面积之和.因此阴影面积等于圆心角为60°的扇形面积,即
.
例题5.
答案:
8平方厘米
详解:
如图,阴影部分总面积等于虚边正方形面积,该正方形的对角线长为圆直径的两倍,等于4厘米,所以面积为平方厘米.
例题6.答案:
4.56
详解:
如图,把两个阴影部分的小弓形补到空白部分之后,可以看出阴影部分的面积之和等于大扇形的面积减去圆中正方形的面积.
.
练习1.答案:
62.8
简答:
.
练习2.答案:
6.28
简答:
大圆的面积是12.56,可求出大圆的半径是2,那么小圆的半径是1,面积是3.14.阴影部分的面积是
.
练习3.答案:
10.28
简答:
图中的阴影部分恰好可以拼成一个边长为2的正方形和两个半径为1的圆,
.
练习4.答案:
9.42
简答:
类似例题4的分析,可知阴影部分的面积与30°的扇形面积是相同的,都是
.
作业1.答案:
31.4
简答:
,
.
厘米.
作业2.答案:
80
简答:
扇形所在大圆的面积是
,圆心角是
度.
作业3.答案:
1.05
简答:
阴影部分是两个60°的扇形,面积是
.
作业4.答案:
0.6075
简答:
连接BD,将最左边的弓形补过来.阴影部分的面积就是平行四边形BDEC的面积减去扇形的面积.
.
作业5.答案:
12平方厘米
简答:
阴影部分可以合成三个斜边是4的等腰直角三角形,面积是
平方厘米;
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- 小学 奥数五 年级 下册 答案 01 扇形 初步