初一有理数及其运算完整版.docx
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初一有理数及其运算完整版
个性化备课笔记
教学主题:
有理数及其运算
教学重难点:
重点·1.有理数的概念理解及分类;2.有理数与数轴对应关系;3.绝对值相关问题;4.有理数运算法则;5.有理数乘方
难点·1.数的分类;2.对数轴的理解;3.绝对值意义理解以及相关计算;4.有理数的四则运算规律
授课内容
一、有理数及其运算:
知识框架:
知识点一:
有理数概念及分类
1.有理数分类:
①
②
2.有理数判断:
所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式,属于有理数;而无限不循环小数,不能化成分数形式,因而不属于有理数.
3.有理数易错点:
(1)0既不是正数也不是负数;
(2)当a表示正数时,-a表示负数;当a表示负数时,-a表示正数;
(3)引入负数后,奇数和偶数的范围扩大了;
(4)π不是有理数
经典例题一:
1、把下列各数填在相应的大括号里:
5,
,-3,
,0,2010,-35,6.2,-l,π,3.14,7.5826748,7,11,-97,-55
正有理数集合:
{…};负有理数集合:
{…};
自然数集合:
{…};整数集合:
{…};
分数集合:
{…};负分数集合:
{…}.
奇数集合:
{…};
2、下列说法中正确的是………………………()
A.非负有理数就是正有理数B.零表示没有,不是自然数
C.正整数和负整数统称为整数D.整数和分数统称为有理数
3、下列说法中不正确的是………………………………()
A.-3.14既是负数,分数,也是有理数
B.0既不是正数,也不是负数,但是整数
C.-2000既是负数,也是整数,但不是有理数
D.0是非正数
知识点二:
有理数与数轴
1.数轴的三要素:
原点,单位长度,正方向
2.理解数轴:
(1)数轴是一条直线;
(2)数轴三要素缺一不可;
(3)同一数轴上单位长度标准统一
3.数轴与有理数的关系:
(1)所有有理数都可以在数轴上表示,正有理数在原点右侧,负有理数在原点左侧;
(2)所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。
(如,数轴上的点π不是有理数)
经典例题二:
1、在数轴上,把表示3的点沿着数轴向负方向移动5个单位,则与此位置相对应的数是_______________
2、与原点距离为2.5个单位长度的点有____个,它们表示的有理数是____.
知识点三:
绝对值与相反数
1.绝对值的几何定义:
一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记作|a|。
2.绝对值的代数定义
⑴.一个正数的绝对值是它本身;
⑵.一个负数的绝对值是它的相反数;
⑶.0的绝对值是0.
3.绝对值可表示为:
或
;绝对值的问题经常分类讨论;
4.绝对值的性质:
(1)非负性;
(2)若|a|=a,则a>=0;若|a|=-a,则a<=0;(3)任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数;(4)若|a|=|b|,则a=b,或者a=-b;(5)|ab|=|a|*|b|;(6)|a|²=|a²|=a²
5.相反数:
(1)只有符号不同的两个数互为相反数,即:
数a的相反数是-a。
如:
_______互为相反数;
(2)0的相反数是_______;
(3)互为相反数的两个数的和为___________
经典例题三:
1、绝对值大于2.1小于4.2的整数有多少个?
2、若ab<|ab|,则下列结论正确的是()
A.a<0,b<0B.a>0,b<0C.a<0,b>0D.ab<0
3、下列各组判断中,正确的是()
A.若|a|=b,则一定有a=bB.若|a|>|b|,则一定有a>b
C.若|a|>b,则一定有|a|>|b|D.若|a|=b,则一定有a2=(-b)
4、设a,b是有理数,则|a+b|+9有最小值还是最大值?
其值是多少?
:
5、若|x-2|+|y-3|=0,则x=______,y=________。
6、已知4-m与-1互为相反数,求m的值.
知识点四:
有理数的加法减法
1.有理数加法满足整数加法法则:
(1)加法的交换律:
a+b=b+a;
(2)加法的结合律:
(a+b)+c=a+(b+c).
2.有理数减法满足:
减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b)
3.有理数加法一般规律:
(5大功法)
(1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”;
(2)符号相同的两个数先相加——“同号结合法”;
(3)分母相同的数先相加——“同分母结合法”;
(4)几个数相加得到整数,先相加——“凑整法”;
(5)整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
经典例题四:
1+3.41)-(-0.59)⑵
⑶-
-
+
-
+
⑷(+0.125)-(-3
)+(-3
)-(-10
)-(+1.25)
知识点五:
有理数乘法除法
1.有理数的乘法运算律:
⑴乘法交换律:
一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。
即ab=ba
⑵乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。
即(ab)c=a(bc).
⑶乘法分配律:
一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,在把积相加。
即a(b+c)=ab+ac
2.倒数:
乘积是1的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为a·
=1(a≠0),就是说a和
互为倒数,即a是
的倒数,
是a的倒数。
3.有理数的除法法则:
(1)除以一个不等0的数,等于乘以这个数的倒数。
(2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数,都得0
典型例题五:
(1)
(2)
(3)
知识点六:
有理数的乘方
1.概念:
(1)求相同因式积的运算,叫做乘方;
(2)乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫做幂;
2.有理数乘方的法则:
(1)正数的任何次幂都是正数;
(2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;
经典例题六:
1、计算:
1、
=___________。
2、
=_________。
3、计算:
的值是()
A.-l2B.0C.-18D.18
知识点七:
有理数的混合运算
1.概念:
做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序:
(1).先乘方,再乘除,最后加减;
(2).同级运算,从左到右进行;
(3).如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行。
经典例题七:
(1)、
(2)、
(3)、
附:
易错常考题目
1、在下列各组中,哪个选项表示互为相反意义的量( )
A.足球比赛胜5场与负5场B.向东走3千米,再向南走3千米
C.增产10吨粮食与减产﹣10吨粮食D.下降的反义词是上升
2、下列说法错误的是( )
A.负整数和负分数统称负有理数B.正整数,0,负整数统称为整数
C.正有理数与负有理数组成全体有理数D.3.14是小数,也是分数
3、把下面的有理数填在相应的大括号里:
(★友情提示:
将各数用逗号分开)15,
,0,﹣30,0.15,﹣128,
,+20,﹣2.6
(1)正数集合﹛ …﹜
(2)负数集合﹛ …﹜
(3)整数集合﹛ …﹜
(4)分数集合﹛ …﹜
4、将一刻度尺如图所示放在数轴上(数轴的单位长度是1cm),刻度尺上的“0cm”和“15cm”分别对应数轴上的﹣3.6和x,则( )
A.9<x<10B.10<x<11C.11<x<12D.12<x<13
5、在数轴上,与表示数﹣1的点的距离是2的点表示的数是( )
A.1B.3C.±2D.1或﹣3
6、如图,数轴上的点A,B分别表示数﹣2和1,点C是线段AB的中点,则点C表示的数是( )
A.﹣0.5B.﹣1.5C.0D.0.5
7、如图,数轴上的点A、O、B、C、D分别表示﹣3,0,2.5,5,﹣6,
回答下列问题.
(1)O、B两点间的距离是 .
(2)A、D两点间的距离是 .
(3)C、B两点间的距离是 .
(4)请观察思考,若点A表示数m,且m<0,点B表示数n,且n>0,
那么用含m,n的代数式表示A、B两点间的距离是 .
8、若x的相反数是3,|y|=5,则x+y的值为( )
A.﹣8B.2C.8或﹣2D.﹣8或2
9、若
=﹣1,则a为( )
A.a>0B.a<0C.0<a<1D.﹣1<a<0
10、若ab>0,则
+
+
的值为( )
A.3B.﹣1C.±1或±3D.3或﹣1
11、已知a是最小的正整数,b是最大的负整数,c是绝对值最小的有理数,那么a+b+|c|等于( )
A.﹣1B.0C.1D.2
12、已知|a|=3,|b|=5,且ab<0,那么a+b的值等于( )
A.8B.﹣2C.8或﹣8D.2或﹣2
13、已知a,b,c的位置如图,化简:
|a﹣b|+|b+c|+|c﹣a|= .
14、用科学记数法表示9349000(保留2个有效数字)为 .
15、据国家统计局发布的《2008年国民经济和社会发展统计公报》显示,2008年我国国内生产总值约为256700亿元,这个国内生产总值用科学记数法可表示为()
A.2.567×105亿元B.0.2567×106亿元
C.25.67×104亿元D.2567×102亿元
16、在有理数-3,0,20,-1.25,
,
,-(-5)中,正数有()
A.1个B.2个C.3个D.4
17、计算
(1)
(2)
(3)
(4)
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