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数学家Erdos的故事7
数学家Erdos的故事(7)
--16--我知道Einstein绝不信奉人格化的上帝,因为我问过他。
——Erdos如同那个时代曾待在Princeton的其他人一样,Erdos曾有幸与Einstein交往。
有一次在Einstein家吃午饭时,Erdos把自己最钟爱的素数理论讲给Einstein听。
Einstein对这一理论的评价很高,但他对细节并不感兴趣。
他们两人主要讨论的话题还是政治。
Erdos一向很关心政治,经常就世界政治和人类的普遍问题发表一些悲观言论。
原子弹的问世使Einstein再次成为世界关注的焦点,——尽管没有Einstein也能造出原子弹。
Erdos曾问Einstein:
'40年前你想到过你的质能方程会在你的有生之年得到应用吗?
'Einstein说:
'我没料到。
我曾想也许最终会得到应用,但没料到会那么快。
'其实像Einstein或者Erdos这样的科学家并不很关心自己的理论能否得到应用。
一个极端的例子是Erdos曾经拜访过的Hardy,他就宣称最好的理论是毫无用处的,比如数论和相对论,——不幸的是他举的这两个例子都错了。
--17--他在Princeton的大街上走来走去,挥舞着双手,旁若无人地比划着。
——LouiseStraus对Erdos的回忆同Einstein相比,他的数学助手ErnstStraus与Erdos之间有着更多的共同语言。
每当他在自己的宿舍里住腻的时候,他就跑到Straus的家里呆上若干天。
那时Straus夫妇经常在半夜里听到一声巨响,那是Erdos在开窗户,——他从没想到应该轻轻地把窗户放下。
他不会使用淋浴器,不会把水龙头关上。
他到公用电话亭里彻夜不停地往里面塞硬币,给世界各地的数学家打电话,宣称自己在Straus家里,然后和他们讨论问题。
他还邀请附近的一些朋友到这里来,不管主人是否同意。
许多年以后,Straus说:
'Einstein曾对我说过……对于一个科学家而言,首要任务是解决核心问题,而不为其他问题所动——无论那些问题多难,多么具有诱惑力。
Erdos完全违背了Einstein的这一番话,但他却取得了成功。
他几乎痴迷于他所遇到的每一个难题,并成功解决了其中的大部分。
'--18--你应该找一份实际的正经工作。
——Halmos对Erdos的劝告P.R.Halmos曾记载过Erdos在Princeton时的另一个故事。
Hurewicz曾经提出过这样一个问题:
Hilbert空间中有理点集合的维数是多少?
Erdos听到这个问题后,便问'Hilbert空间'和'维数'各是什么意思。
有人把定义告诉他,很快Erdos便得出了答案。
这是Erdos对一个他几乎一无所知的领域作出的贡献!
注:
PaulRichardHalmos,匈牙利裔美籍数学家,Springer-Verlag出版社主编。
著有《测度论》等。
WitoldHurewicz,波兰裔美籍数学家,维数理论和同伦论的开创者。
DavidHilbert,德国人,历史上最有影响的数学家之一。
他使哥廷根成为当时世界上数学家朝拜的圣地。
--19--Erdos在任何时刻都集中精神思考。
——S.M.Ulam那时候Erdos手头很拮据,只能靠大学发给他的访问津贴度日。
被高等研究所解聘后,他一度失去了生活来源,幸好Ulam向他伸出了援助之手。
Ulam是Erdos在剑桥结识的朋友,当他得知Erdos的窘境后,便邀请Erdos到他工作的Wisconsin-Madison大学来访问。
许多年以后,Ulam在他的自传中回忆道:
'Erdos身材中等偏下,极度的神经质,他几乎总是'上窜下跳',或者挥舞着他的双臂。
他的眼神表明他总是在思考着数学问题,只有在他就一些还模糊不清的世界时事政治和人类的普遍问题发表相当悲观的言论时才会被打断。
如果他突然产生了一个有意思的想法,就会一下子跳起来,挥舞双臂,然后再坐下来。
'注:
StanislawMarcinUlam,波兰裔美籍数学家。
早年研究拓扑,后因参与曼哈顿工程,兴趣遂转向应用数学。
他是MonteCarlo方法的创始人之一。
--20--他(Erdos)具有神秘的技能,可以运用最深奥、抽象的数学工具来预测原子弹的反应。
——Ulam1943年,Ulam到LosAlamos参与原子弹的研制。
他极力劝说Erdos也加入他们的行列,Erdos本人也很愿意为消灭法西斯而出力。
于是Erdos给他的同胞E.Teller写信,申请加入曼哈顿工程。
但Erdos在信中特别强调他战后要回匈牙利,所以理所当然地被取消了资格。
Erdos就是总喜欢和权威对着干,而且根本不遵守各种保密规则。
他还给在LosAlamos的P.Lax寄了一张明信片:
'亲爱的Peter,我的间谍告诉我Sam正在造原子弹,告诉我,这是真的吗?
'还有一次,Erdos和包括Lax在内的几个匈牙利人一起吃晚饭。
席间他们一直用匈牙利语交谈,Erdos却突然用英语大声问:
'原子弹的研制进展如何?
'注:
PeterLax,匈牙利裔美籍犹太数学家,主要研究泛函分析、偏微分方程和应用数学。
曾任美国数学会主席、美国原子能委员会计算和应用数学中心主任、纽约大学Courant数学研究所所长、纽约大学Courant数学和计算实验室主任。
1987年获Wolf奖。
他还是北京大学荣誉研究博士。
--21--数学家能在没有粉笔、纸或笔的情况下工作,他可能在走路、吃饭甚至谈天时继续思考。
——Ulam其实Erdos无论如何都不可能被接纳到曼哈顿工程中的,因为他在FBI早已有了案底。
1941年,他还在Princeton的时候,有一次与两名Princeton的学生,加久谷静雄和A.H.Stone,一起去Chicago参加一个会议,途经长岛,便下来看看海景。
他们在一个无线电发射塔——可能是一个秘密的军用雷达——附近拍照,被警卫发现。
警卫报警称'3个日本人在这里鬼鬼祟祟地拍照',于是警察四处搜捕,终于在路上截获了他们。
FBI的调查人员问他们为什么没有看到'NOTRESPASSING'的标牌,Erdos说:
'我正在思考问题。
''思考些什么?
''数学。
'当晚,他们的身份被确认,于是得到释放。
但此事已经被FBI记录在案,并对Erdos产生了不利的影响,这是后话。
--22--他的到来极大地丰富了我们的业余生活。
——一位Purdue大学老师对Erdos的回忆类似的一件事情发生在1943年。
那年Erdos在Purdue大学找了一份非全日性工作,总算摆脱了四处举债的日子。
在Purdue时,他不分昼夜地散步。
有一次,他半夜三更在外面溜达,被警察叫住了。
他没带任何证件,警察便问:
'你在干吗?
''我在思考问题。
''思考什么?
''数学。
'于是他们满腹狐疑地放他走了。
Purdue位于一个与世隔绝的小镇,人们的娱乐活动很少。
Purdue的老师们每周都要聚会一次,进行一些非正式的演讲和讨论。
有一次演讲人没有到,又没有准备别的节目,Erdos便自告奋勇,上台演讲。
他不借助任何稿子,做了一个引人入胜的关于蜜蜂的色视觉方面的近期研究进展状况的报告。
台下的人都大感惊讶,因为从没想到只痴迷于数学的Erdos还会关注这类东西。
--23--纳粹杀害了我母亲的4个兄妹。
——Erdos战争期间Erdos一直得不到家人的讯息,很挂念他们。
1945年8月,他终于收到了消息。
他母亲仍然健在,但他父亲已死于心脏病。
苏军占领匈牙利后,红色代替了白色恐怖。
红军士兵在街上随意抓人,大批匈牙利人被送往古拉格群岛,其中绝大多数再也没有回来。
Turán就曾经有过一段危险的经历。
当时他在布达佩斯被一个苏联巡逻兵拦住去路,被要求出示证件。
可Turán刚逃过纳粹的搜捕,身上没有任何证件。
情急之下,他拿出一本1935年出版的《托木斯克数学力学研究所通报》,上面有他和Erdos合著的一篇论文。
这本战前的苏联杂志显然赢得了士兵的好感,于是他被放行了。
后来Turán遇见Erdos时,感慨地说:
'没想到数论还有这样的妙用!
'注:
PaulTurán,匈牙利数学家,主要研究数论和图论。
(chocolate语:
Turan定理)--24--他(Ulam)真的很幸运,并没有遭受年迈体衰和老年痴呆这两大恶魔的折磨,他在依然还能求证、还能猜想的时候猝死于心脏病,死时没有痛苦,没有恐惧。
——Erdos如果你是一位才华横溢的数学家,如果你不幸得了脑炎,如果在你做完脑部手术、恢复清醒之后,医生问你这样一个问题:
'8与13的和是多少?
'你的感觉会是怎样的?
这就是Ulam在1945年冬天的遭遇。
也许他会从此丧失对自己数学能力的信心,——如果他在走出医院的时候没有遇见Erdos。
那天,当Ulam在妻子的搀扶下离开医院时,突然看见Erdos神气活现地出现在他们的面前。
'Stan!
我还以为你已经死了,正准备替你写讣告,还打算独自完成咱们合写的论文。
'Erdos手提一个小箱子,里面装着他的全部财产,显然是无处可去,于是Ulam便邀请他去自己的家。
在乘车回家的路上,Erdos缠着Ulam讨论数学问题,根本不让Ulam休息。
一到家,Erdos就要Ulam同他下棋。
Ulam起初对于下棋感到很紧张,惟恐自己已经把规则忘记了。
当他赢了第一盘之后,又怀疑是Erdos故意让他的。
Erdos要求下第二盘,结果Ulam又赢了。
这时Erdos说:
'到此为止吧,我累了。
'Ulam才发现原来Erdos是认真的。
Erdos在Ulam家里住了两周,不停地与Ulam讨论数学问题。
在Ulam做手术后,Erdos是第一个把他当作数学家而不是白痴或者准白痴看待的人。
--25--死亡从40岁开始。
——Erdos1948年冬,Erdos回到布达佩斯,看望了他的母亲和一些老朋友。
但很快斯大林就开展了一次笔迹审查活动,大肆封锁边界、围捕公民,Erdos不得不再次逃离匈牙利。
随后几年内,他往返于美国和英国之间,居无定所。
那时Erdos已经开始在信件里不停地抱怨自己已经老了,他还经常对人说,上帝已有一只手搭在了他的肩膀上。
有人问他:
'Paul,如果你才40岁时就感觉如此之糟,当你50岁时又会如何?
'他立即悲哀地说:
'更糟。
'科学家的创造年华通常是很短暂的,所以学术机构中都设有终身职位,以保证科学家的生活。
Erdos的朋友们劝他尽快找一份终生职位,他们说:
'Paul,你那走江湖数学家的生涯还要维持多久?
'他竟回答:
'起码40年。
'他甚至拒绝了一些大学的终身职位的邀请。
--26--数学是科学的女王,数论是数学的女王。
——C.F.Gauss大约在1792年,15岁的Gauss经过深入的分析和例证,猜想素数在自然数中的的分布密度应该是1/log(x),因而,他提出这样的公式:
π(x)~Li(x),当x→+∞,其中π(x)表示不超过x的素数的个数,Li(x)=∫1/log(t)dt。
Gauss曾经写信给当时世界上一些著名的数学家,向他们请教这个问题,但没人能给出证明。
差不多在同一时候,Legendre通过数值计算,于1808年提出了这样一个经验公式:
π(x)~x/(log(x)-1.08366),当x→+∞。
容易看到,Gauss和Legendre提出的渐进公式是等阶的,实际上都等同于猜想π(x)~x/(log(x)),当x→+∞。
(不过Gauss的猜想更加深刻和精确。
)这就是19世纪最著名的数学难题:
素数定理。
这个猜想是非常令人惊异的,因为素数在自然数中的分布可以说相当'杂乱无章',但它竟然还能用这样简单的公式来描述!
在Gauss的一生中,肯定曾花费了不少时间和精力来思考这个从少年时便开始困惑他的难题,但我们没有Gauss关于这个问题的研究记录,所以也无法知道他在这个问题上究竟走了多远,不过十有八九是他并没有解决这个猜想。
注:
CarlFriedrichGauss,主要生活在19世纪的德国数学家。
他通常被认为是历史上最伟大的三位数学家之一,另外两个是Archimedes和Newton。
Adrien-MarieLegendre,活跃于大革命前后的法国数学家,在数学的许多方面都作出了重要贡献。
--27--高等算术(即数论)中一些最美丽的定理具有这样的特性:
它们极易从经验事实中归纳出来,但其证明却隐藏得极深,只有高人一等的研究者才能把它们挖掘出来。
正是出于此种原因,赋予高等算术以神奇魅力,使之成为第一流数学家们最喜爱的科学。
至于它远远凌驾于数学其他各分支之上的无限丰富性,那就更不必提了。
——C.F.Gauss首先对素数定理的研究作出了重要贡献的是Chebyshev。
他证明了两个不等式(不等式略),从这两个不等式可以得出,如果π(x)log(x)/x的极限存在,则必定是1,这些无疑都是很重要的进展,但不幸的是,用Chebyshev的方法无法证明最后的结果。
1859年,Riemann发表了题为'论不超过一个给定值的素数个数'的论文,这是他唯一一篇关于数论的论文。
在这篇仅8页的论文里面,Riemann首次深刻而系统地研究了ζ函数(表达式略)的性质。
并且指出,素数的分布与ζ函数,特别是ζ函数的零点的性质有着密切的联系。
在这篇文章里,他还提出六个关于ζ函数的猜想,其中一个就是著名的Riemann假设:
ζ(s)的所有非平凡零点都位于直线Re(s)=1/2上。
Riemann的这篇论文为素数分布理论的研究指明了方向,以后这方面所有的进展都是从他的思想中得来的。
1896年,两位年轻的数学家Hadamard和delaValléePoussin按照Riemann的思路,各自独立地利用高深的整函数理论证明了素数定理,从而解决了这个有一个世纪历史的难题。
后来Landau,Hardy-Littlewood等人利用函数论的知识给出了素数定理的新证明。
以上各人的证明都需要利用ζ函数以及一些较深的分析工具。
后来Wiener用实分析的方法证明了素数定理等价于'ζ函数的零点不在直线Re(s)=1上'。
这就更让人相信,素数定理的证明必然要用到ζ函数以及高深的分析工具。
1921年,G.H.Hardy就曾经说过这样一段话:
'断言一个数学定理不能用某种方法证明,这可能显得过于轻率;但有一件事(素数定理没有初等证明)却是清楚的。
如果有谁能给出素数定理的初等证明,那么他就将表明,我们过去关于数学中何谓'深刻'、何谓'肤浅'的看法都是错误的。
那时我们就不得不把书本都抛在一边,重写整个理论。
'Hardy逝世于1947年,他万万没有想到,就在他去世的两年后,两位年轻的数学家就推翻了他以及整个数学界的断言,用完全'初等'的方法给出了素数定理的证明,进而导致了整个素数理论的重写。
注:
JacquesSalomonHadamard,法国数学家,在数学的许多方面均有贡献,被誉为Poincaré之后少有的多面手。
CharlesJeanGustaveNicolasBarondelaValléePoussin,比利时数学家,他是国际数学联盟(IMU)首任主席。
NorbertWiener,美国数学家、哲学家,控制论的创立者,在调和分析、数学物理、概率论、泛函分析、非线性数学、生理学等许多方面都有巨大贡献。
1964年获美国国家科学奖章。
--28--我很同情非数学家,我觉得他们失去了一种最激动人心的、丰富的智力活动的回报。
——Selberg1949年,两位年轻的数学家,31岁的Selberg和35岁的Erdos分别独立地证明了素数定理。
与以往的证明不同的是,他们的证明没有用到ζ函数,而且除了极限、e^x和log(x)的简单性质外,没有用到任何高等数学的知识,甚至连微分和积分都没有用到!
可以说,他们给出的是一个完全'初等'的证明,这一结果轰动了整个数学界。
(后来有人用1+x/1!
+x^2/2!
+…+x^N/N!
代替e^x,用Σ1/n代替log(x),n≤x给出了一个连超越函数都不需要用的初等证明。
)在Erdos的一生中,尽管发表了1475篇论文,但像素数定理的初等证明这样具有划时代意义的成果却很少。
但Erdos对这件事却避而不谈,因为在这件事上颇有争议。
当时Selberg发现了一个恒等式,他把这个恒等式告诉了Erdos。
然后他们两人分别独立地用这个恒等式给出了素数定理的初等证明。
他们本来商量好在同一本杂志上一起发表文章,讲述各自的工作。
Erdos便到处给数学家发信,宣称他和Selberg已经给出了素数定理的初等证明。
但有一次,Selberg碰上一位陌生的数学家,对方开口就说:
'你知道吗?
Erdos和——和谁来着?
——用初等方法证明了素数定理。
'Selberg伤透了心,便抢先发表了论文,并因此享有该成果的大部分权益。
Selberg也从此与Erdos反目。
在数学家中,优先权的争论并不少见,最著名的就是Newton和Leibniz关于微积分发明权的争论。
但Erdos却具有罕见的坦荡胸怀,他愿意与别人分享他的数学思想,他的目的并不是要第一个去证明某个问题,而只是使这个问题得到解决——不管是不是他解决的。
所以Erdos才能有创纪录的485名合作者。
但我们不能指责Selberg心胸狭窄,因为即使Newton或者Gauss这样的最伟大的数学家也会陷入优先权的争论之中。
这只能说是一场悲剧。
注:
AtleSelberg,挪威裔美籍数学家,在数论、调和分析、离散子群、自守函数等方面均有贡献。
1950年获Fields奖,1986年获Wolf奖。
1998年5月30日至6月15日应北京大学的邀请到中国进行学术访问。
--29--对于Erdos来说,被剥夺了旅行的权利就像是被剥夺了呼吸的权利一样。
——M.Henriksen1954年,Erdos被邀请参加一个在阿姆斯特丹举行的学术会议,他于是便向美国移民局申请再入境许可证。
那时正是麦卡锡时代,美国处于一片红色恐惧之中。
(以至于当Erdos想往匈牙利——一个共产主义国家——打电话时,都没人敢把电话借给他。
)移民局的官员不想给Erdos发再入境许可证,便向他问了各种各样愚蠢的问题。
'你母亲是否对匈牙利政府有很大的影响?
你读过马克思、恩格斯或者斯大林的著作吗?
''没有。
'Erdos回答。
'你对马克思如何评价?
''我没有资格评价他,但毫无疑问他是个伟人。
''离开匈牙利容易吗?
'——这是一句废话,因为谁都知道答案是否定的。
'不容易。
我现在还不想访问匈牙利,因为我不知道他们是否会让我返回来,我只是计划去英国和荷兰。
''如果你能肯定匈牙利政府会让你离开,你会访问匈牙利吗?
''那当然了,我母亲在那儿,还有好多朋友也在那儿。
'在麦卡锡时代,你是不可以承认你想去一个共产主义国家的。
--30--我现在在澳大利亚,明天去匈牙利。
设k为最大的整数以满足……——一封典型的Erdos的信件的开头移民局没有给Erdos再入境许可证。
Erdos请了一名律师提出上诉,结果被驳回。
法院没有给出任何理由。
他的律师被允许查阅部分Erdos的档案,发现其中附有一封Erdos写给居住在红色中国的华罗庚的信:
'亲爱的华,设p是一个奇素数……'Erdos一年要写1500封左右的信,基本上都在讨论数学问题。
但移民局的官员显然害怕信中的那些他们看不懂的数学符号是某种密码。
另外根据FBI的记录,Erdos还曾经涉嫌在一个雷达站附近从事间谍活动。
所以他被麦卡锡踢出美国是再正常不过的事了。
Erdos说:
'我没有取得再入境许可证便离开了美国。
我想我这样做完全是按着美国最优良的传统行事:
你不能让自己任凭政府摆布。
'
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