学年度北师大版八年级下册第四章因式分解培优专题.docx
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学年度北师大版八年级下册第四章因式分解培优专题
2019-2020北师大八下因式分解培优专题
一、单选题
1.把
分解因式,结果正确的是
A.
B.
C.
D.
2.将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )
A.a2-1B.a2+aC.a2+a-2D.(a+2)2-2(a+2)+1
3.下列各式分解因式正确的是( )
A.x2+6xy+9y2=(x+3y)2B.2x2﹣4xy+9y2=(2x﹣3y)2
C.2x2﹣8y2=2(x+4y)(x﹣4y)D.x(x﹣y)+y(y﹣x)=(x﹣y)(x+y)
4.若
,则
的值为()
A.3B.6C.9D.12
5.已知多项式2x2+bx+c分解因式为2(x-3)(x+1),则b,c的值为( ).
A.b=3,c=-1B.b=-6,c=2
C.b=-6,c=-4D.b=-4,c=-6
6.已知
().
A.3B.-3C.5D.-5
7.已知a=2018x+2018,b=2018x+2019,c=2018x+2020,则a2+b2+c2-ab-ac-bc的值是( )
A.0B.1C.2D.3
8.如果多项式
能用公式法分解因式,那么k的值是()
A.3B.6C.
D.
二、填空题
9.若a,b互为相反数,则a2﹣b2=_____.
10.分解因式:
2x3﹣6x2+4x=__________.
11.已知
,
,则代数式
的值为__________.
12.已知△ABC的三边长为整数a,b,c,且满足a2+b2-6a-4b+13=0,则c为______
13.通过计算几何图形的面积,可表示一些代数恒等式,如图所示,我们可以得到恒等式:
______.
14.分解因式:
a2﹣1+b2﹣2ab=_____.
三、解答题
15.如图,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长都为m的大正方形,两块是边长都为n的小正方形,五块是长为m,宽为n的全等小长方形,且m>n.(以上长度单位:
cm)
(1)观察图形,可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为________;
(2)若每块小长方形的面积为10cm2,四个正方形的面积和为58cm2,试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和.
16.先阅读下列材料:
我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法,其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等.
(1)分组分解法:
将一个多项式适当分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法.
如:
ax+by+bx+ay=(ax+bx)+(ay+by)
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
2xy+y2﹣1+x2
=x2+2xy+y2﹣1
=(x+y)2﹣1
=(x+y+1)(x+y﹣1)
(2)拆项法:
将一个多项式的某一项拆成两项后,可提公因式或运用公式继续分解的方法.如:
x2+2x﹣3
=x2+2x+1﹣4
=(x+1)2﹣22
=(x+1+2)(x+1﹣2)
=(x+3)(x﹣1)
请你仿照以上方法,探索并解决下列问题:
(1)分解因式:
a2﹣b2+a﹣b;
(2)分解因式:
x2﹣6x﹣7;
(3)分解因式:
a2+4ab﹣5b2.
17.已知:
x2﹣y2=12,x+y=3,求2x2﹣2xy的值.
18.已知
是
的三边的长,且满足
,试判断此三角形的形状.
19.阅读下列题目的解题过程:
已知a、b、c为△ABC的三边,且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4,试判断△ABC的形状.
解:
∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4(A)
∴c2(a2﹣b2)=(a2+b2)(a2﹣b2)(B)
∴c2=a2+b2(C)
∴△ABC是直角三角形
问:
(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误?
请写出该步的代号:
;
(2)错误的原因为:
;
(3)本题正确的结论为:
.
20.已知△ABC的三边长a,b,c满足a2﹣2ab+b2=ac﹣bc,试判断△ABC的形状,并说明理由.
21.发现与探索。
(1)根据小明的解答将下列各式因式分解
①a2-12a+20;②(a-1)2-8(a-1)+7;③a2-6ab+5b2
(2)根据小丽的思考解决下列问题:
①说明:
代数式a2-12a+20的最小值为-16.
②请仿照小丽的思考解释代数式-(a+1)2+8的最大值为8,并求代数式-a2+12a-8的最大值.
22.阅读材料:
若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0,求m、n的值.
解:
∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0,∴(m2﹣2mn+n2)+(n2﹣8n+16)=0
∴(m﹣n)2+(n﹣4)2=0,∴(m﹣n)2=0,(n﹣4)2=0,∴n=4,m=4.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0,求xy的值;
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数,且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0,求△ABC的最大边c的值;
(3)已知a﹣b=8,ab+c2﹣16c+80=0,求a+b+c的值.
23.当x、y为何值时,代数式x2+y2+4x-6y+15有最小值?
并求出最小值.
24.已知a,b,c是三角形的三边,且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0.试判断三角形的形状.
25.阅读下列因式分解的过程,解答下列问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3.
(1)上述分解因式的方法是____________,共应用了________次;
(2)若分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2019,则需要应用上述方法________次,结果是________;
(3)分解因式:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数).
参考答案
1.D2.C3.A4.C5.D6.A7.D8.D
9.010.2x(x﹣1)(x﹣2).11.0.3612.2或3或413.
.
14.(a﹣b+1)(a﹣b﹣1).
15.解:
(1)2m2+5mn+2n2可以因式分解为(m+2n)(2m+n);
故答案为(m+2n)(2m+n);
(2)依题意得:
2m2+2n2=58,mn=10,∴m2+n2=29.
∴(m+n)2=m2+n2+2mn=49,
∴m+n=7,
∴图中所有裁剪线(虚线部分)长度之和为6m+6n=6(m+n)=6×7=42cm.
16.解:
(1)
=
=
;
(2)原式=
=
=
=
;
(3)原式=
=
=
=
.
17.解:
∵x2﹣y2=12,
∴(x+y)(x﹣y)=12,
∵x+y=3①,
∴x﹣y=4②,
①+②得,2x=7,
∴2x2﹣2xy=2x(x﹣y)=7×4=28.
18.解:
将
变形,可得
由完全平方公式可得
由非负数的性质,得
即
所以
19.解:
(1)由题目中的解答步骤可得,
错误步骤的代号为:
C,
故答案为:
C;
(2)错误的原因为:
没有考虑a=b的情况,
故答案为:
没有考虑a=b的情况;
(3)本题正确的结论为:
△ABC是等腰三角形或直角三角形,
故答案为:
△ABC是等腰三角形或直角三角形.
20.解:
△ABC为等腰三角形.
∵a2﹣2ab+b2=ac﹣bc,
∴(a﹣b)2=c(a﹣b),
∴(a﹣b)2﹣c(a﹣b)=0,
∴(a﹣b)(a﹣b﹣c)=0,
∵a、b、c是△ABC的三边长,
∴a﹣b﹣c≠0,
∴a﹣b=0,
∴a=b,
∴△ABC为等腰三角形.
21.解:
(1)①a2-12a+20
原式=a2-12a+36-36+20
=(a-6)2-42
=(a-10)(a-2)
②(a-1)2-8(a-1)+12
原式=(a-1)2-8(a-1)+16-16+12
=(a-5)2-22
=(a-7)(a-3)
③a2-6ab+5b2
原式=a2-6ab+9b2-9b2+5b2
=(a-3b)2-4b2
=(a-5b)(a-b)
(2)根据小明的发现结合小丽的思考解决下列问题.
①说明:
代数式a2-12a+20的最小值为﹣16.
a2-12a+20
原式=a2-12a+36-36+20
=(a-6)2-16
无论a取何值(a-6)2都大于等于0,再加上﹣16,
则代数式(a-6)2-16大于等于-16,
则a2-12a+20的最小值为-16
②无论a取何值-(a+1)2都小于等于0,再加上8,
则代数式-(a+1)2+8小于等于8,
则-(a+1)2+8的最大值为8
﹣a2+12a-8.
原式=﹣(a2-12a+8)
=﹣(a2-12a+36-36+8)
=﹣(a-6)2+36-8
=﹣(a-6)2+28
无论a取何值﹣(a-6)2都小于等于0,再加上28,
则代数式﹣(a-6)2+28小于等于28,
则﹣a2+12a-8的最大值为28.
22.解:
(1)∵x2﹣2xy+2y2+6y+9=0,
∴(x2﹣2xy+y2)+(y2+6y+9)=0,
∴(x﹣y)2+(y+3)2=0,
∴x﹣y=0,y+3=0,
∴x=﹣3,y=﹣3,
∴xy=(﹣3)×(﹣3)=9,
即xy的值是9.
(2)∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0,
∴(a2﹣10a+25)+(b2﹣12b+36)=0,
∴(a﹣5)2+(b﹣6)2=0,
∴a﹣5=0,b﹣6=0,
∴a=5,b=6,
∵6﹣5<c<6+5,c≥6,
∴6≤c<11,
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10.
(3)∵a﹣b=8,ab+c2﹣16c+80=0,
∴a(a﹣8)+16+(c﹣8)2=0,
∴(a﹣4)2+(c﹣8)2=0,
∴a﹣4=0,c﹣8=0,
∴a=4,c=8,b=a﹣8=4﹣8=﹣4,
∴a+b+c=4﹣4+8=8,
即a+b+c的值是8.
23.解:
对代数式变形,得:
(x2+4x+4)+(y2−6y+9)+2
由完全平方公式,得:
(x+2)2+(y−3)2+2
观察上式发现:
(x+2)2≥0,(y−3)2≥0
所以当x=-2,y=3时,待求式有最小值,最小值是2.
24.解:
∵a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0,
即a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0,
∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,
又∵(a-b)2≥0,(b-c)2≥0,(a-c)2≥0,
∴a-b=0,b-c=0,a-c=0,
即a=b=c,∴△ABC为等边三角形.
25.
(1)提取公因式法,2(因式分解的方法是提公因式法,共应用了2次)
(2)2019,(1+x)2020(分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2019,则需应用上述方法2019次,结果是(1+x)2020)
(3)原式=(1+x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n-1]
=(1+x)2[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n-2]
=(1+x)3[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n-3]
=(1+x)n(1+x)
=(1+x)n+1.
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- 学年度 北师大 年级 下册 第四 因式分解 专题