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幂的知识点
幂的运算(基础)
【要点梳理】
要点一、同底数幂的乘法性质
amanamn(其中m,n都是正整数).即同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
要点诠释:
(1)同底数幂是指底数相同的幂,底数可以是任意的实数,也可以是单项式、多项式.
(2)三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质,
即amanapamnp(m,n,p都是正整数).
(3)逆用公式:
把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积,其中它们的底数与原来的底数相同,它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即amnaman(m,n都是正整数).
要点二、幂的乘方法则
(am)namn(其中m,n都是正整数).即幂的乘方,底数不变,指数相乘.
要点诠释:
(1)公式的推广:
((am)n)pamnp(a0,m,n,p均为正整数)
(2)逆用公式:
amnamnan“,根据题目的需要常常逆用幕的乘方运
算能将某些幂变形,从而解决问题.
要点三、积的乘方法则
(ab)nanbn(其中n是正整数).即积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幕相乘.
要点诠释:
(1)公式的推广:
(abc)nanbncn(n为正整数).
(2)逆用公式:
anbnabn逆用公式适当的变形可简化运算过程,尤其是
ioio
遇到底数互为倒数时,计算更简便.如:
1210121.
22
要点四、注意事项
(1)底数可以是任意实数,也可以是单项式、多项式.
(2)同底数幕的乘法时,只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1,计算时不要遗漏.
(3)幕的乘方运算时,指数相乘,而同底数幕的乘法中是指数相加
(4)积的乘方运算时须注意,积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
(5)灵活地双向应用运算性质,使运算更加方便、简洁.
(6)带有负号的幕的运算,要养成先化简符号的习惯.
【典型例题】
类型一、同底数幕的乘法性质
(1)424344;
(2)2a3a4a5a22a6a;
(3)(xy)n(xy)n1(xy)m1(xy)2n1(xy)m1.
【答案与解析】
解:
(1)原式423449.
(2)原式2a34a522a612a7a72a7a7.
nn1m12n1m12nm2nm2nm
(3)原式(xy)(xy)(xy)(xy)2(xy).
【总结升华】
(2)(3)小题都是混合运算,计算时要注意运算顺序,还要正确地运用相应的运算法则,并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则.在第
(2)小题中
a的指数是1.在第(3)小题中把xy看成一个整体.
举一反三:
【变式】计算:
(1)35(3)3(3)2;
(2)xp(x)2p(x)2p1(p为正整数);
(3)32
(2)2n
(2)(n为正整数).
【答案】
解:
(1)原式35(3)3323533323532310.
【答案与解析】
解:
由2x220得2x2220.
2x5.
【总结升华】
(1)本题逆用了同底数幕的乘法法则,培养了逆向思维能力.
(2)同底数幕
的乘法法则的逆运用:
amnaman.
类型二、幕的乘方法则
(1)(am)2;
(2)[(m)3]4;(3)(a3m)2.
【思路点拨】此题是幕的乘方运算,
(1)题中的底数是a,
(2)题中的底数是m,(3)题中的底数a的指数是3m,乘方以后的指数应是2(3m)62m.
【答案与解析】
解:
(1)(am)2a2m.
(2)
[(m)3]4(m)12m12.
【总结升华】运用幕的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理,一定不要将幕的乘
方与同底数幕的乘法混淆•幕的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母,也可以是单项
式或多项式•
【答案与解析】
-x6m5-(x2m)35153520.
555
【总结升华】
(1)逆用幕的乘方法则:
amn(am)n(an)m.
(2)本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力.
举一反三:
【变式1】已知xa2,xb3.求x3a2b的值.
【答案】
解:
x3a2bx3agx2b(xa)3g(xb)223328972.
【变式2】已知8m4,8n5,求83m2n的值.
【答案】
所以83m2n83m82n64251600.
类型三、积的乘方法则
O5、指出下列各题计算是否正确,指出错误并说明原因:
(1)(ab)2ab2;
(2)(4ab)364a'b3;(3)(3x3)29x6.
【答案与解析】
解:
(1)错,这是积的乘方,应为:
(ab)2a2b2.
(2)对.
(3)错,系数应为9,应为:
(3x3)29x6.
【总结升华】
(1)应用积的乘方时,特别注意观察底数含有几个因式,每个因式都分别乘方.
(2)注意系数及系数符号,对系数-1不可忽略.
【典型例题】
类型一、同底数幕的乘法性质
35
(1)(b2)3(b2)5(b2);
(2)(x2y)2(2yx)3.
【答案与解析】
解:
(1)(b2)3(b2)5(b2)(b2)351(b2)9.
(2)(x2y)2(2yx)3(x2y)2[(x2y)3](x2y)5.
【总结升华】
(1)同底数幂相乘时,底数可以是多项式,也可以是单项式.
(2)在幂的运算中,经常用到以下变形:
(a)
an(n为偶数),n(ba)n(n为偶数)
(ab)
an(n为奇数),(ba)n(n为奇数)
类型二、幂的乘方法则
2、计算:
1)[(ab)2]3;
32235
2)(y3)2(y2)32ygy5;
2m24m12
3)(x)(x);
4)(x3)2(x3)4.
答案与解析】
解:
(1)[(ab)2]3(ab)23
(ab)6.
32235
2)(y3)2(y2)32yy5
2m24,m1、24(2m2)2(m1)8m82m210m6
(3)(x)(x)xxxxx.
(4)(x3)2(x3)4x6x12x18.
【总结升华】
(1)运用幕的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理,一定不要将幕
的乘方与同底数幕的乘法混淆.
(2)幕的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母,
也可以是单项式或多项式.
3、已知8m4,8n5,求83m2n的值.
【思路点拨】由于已知8m,8n的值,所以逆用同底数幕的乘法和幕的乘方把83m2n变成
83m82n(8m)3(8n)2,再代入计算.
【答案与解析】
解:
因为83m(8m)34364,82n(8n)25225.
所以83m2n83m82n64251600.
【总结升华】运用整体的观念看待数学问题,是一种重要的数学思维方法•把8m,8n当成一
个整体问题就会迎刃而解•同时看到灵活地双向应用运算性质,使运算更加方便、简洁•
举一反三:
【变式】已知a3m2,b2m3,则a2m3bm6a2b3mbm二.
【答案】—5;
类型三、积的乘方法则
【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算•
【答案与解析】
36、.274227
a)bab
解:
(1)(2xy2)4
(1)24x4(y2)416x4y8.
⑵[a2(a4b3)3]3(a2)3(a%9)3a6
【总结升华】
(1)应用积的乘方时,特别注意观察底数含有几个因式,每个因式都分别乘
方.
(2)注意系数及系数符号,对系数-
1不可忽略.
举一反三:
【变式】下列等式正确的个数是()
.
①2x2y336x6y9②a2m3
a6m③
63
3a6
3a9
④51057107351035⑤
100
0.5
2仙
100
0.522
A.1
个
B.2个
C.3个
D.4个
答案】
A;
提示:
只有⑤正确;
233692xy8xy;
2m36m63
aa;3a27a
5105
712
7107351012
3.51013
同底数幂的除法
【要点梳理】
要点一、同底数幂的除法法则
同底数幕相除,底数不变,指数相减,即amanamn(a工0,mn都是正整数,并且mn)
要点诠释:
(1)同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.
(2)被除式、除式的底数相同,被除式的指数大于除式指数,0不能作除式.
(3)当三个或三个以上同底数幂相除时,也具有这一性质.
(4)底数可以是一个数,也可以是单项式或多项式.
要点二、零指数幂
任何不等于0的数的0次幕都等于1.即a01(a工0)
要点诠释:
底数a不能为0,00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因
此常数项也叫0次单项式.
要点三、负整数指数幕
1任何不等于零的数的n(n为正整数)次幕,等于这个数的n次幕的倒数,即an—a
(a工0,n是正整数).
弓I进了零指数幕和负整数指数幕后,指数的范围已经扩大到了全体整数,以前所学的
幕的运算性质仍然成立.
amanamn(m、n为整数,a0);
abmambm(m为整数,a0,b0)
namamn(m、n为整数,a0).
要点诠释:
ana0是an的倒数,a可以是不等于0的数,也可以是不等于0的代数
1151
式.例如2xy(xy0),ab5(ab0).
2xyab
要点四、科学记数法的一般形式
(1)把一个绝对值大于10的数表示成a10n的形式,其中n是正整数,1|a|10
(2)利用10的负整数次幕表示一些绝对值较小的数,即a10n的形式,其中n是正
整数,1|a|10.
用以上两种形式表示数的方法,叫做科学记数法.
【典型例题】
类型一、同底数幕的除法
5
(1)X8X3;
(2)(a)3a;(3)(2xy)5(2xy)2;(4)3
3
【思路点拨】利用同底数幕相除的法则计算.⑵、⑷两小题要注意符号
【答案与解析】
解:
(1)
83
xx
83
x
5x・
(2)
(a)3
3
aa
12
a.
(3)
(2xy)5
(2xy)2
52
(2xy)
(2xy)3
c33
8xy・
5
3
53
2
(4)
1
1
1
]
1
3
3
3
3
9・
【总结升华】
(1)运用法则进行计算的关键是看底数是否相同.
(2)运算中单项式的系数
包括它前面的符号.
2、计算下列各题:
(1)(xy)5(xy)
(2)(5a2b)12(2b5a)5
(3)(3106)4(3106)2(4)[(x2y)3]3[(2yx)2]4
【思路点拨】
(1)若被除式、除式的底数互为相反数时,先将底数变为相同底数再计算,
尽可能地去变偶次幕的底数,如(5a2b)12(2b5a);
(2)注意指数为1的多项式.如xy
的指数为1,而不是0.
【答案与解析】
cCdA
解:
(1)(xy)(xy)(xy)(xy).
(2)(5a2b)12(2b5a)5(2b5a)12(2b5a)5(2b5a)7
(3)(3106)4(3106)2(3106)42(3106)291012.
(4)[(x2y)3]3[(2yx)2]4(x2y)9(x2y)8(x2y)98x2y.
【总结升华】底数都是单项式或多项式,把底数作一个整体利用同底数幕的除法法则进行计算.
【答案与解析】
【总结升华】逆用同底数除法公式,设法把所求式转化成只含3m,3n的式子,再代入求值.本
题是把除式写成了分数的形式,为了便于观察和计算,我们可以把它再写成除式的形式.
举一反三:
【变式】已知25m52m,求m的值.
m1
2m11,I1,
【答案】
解:
由25m52m得5m12m1,即5m1
底数5不等于0和1,
2
50
5,即m1
1.
类型二、负整数次幕的运算
【答案与解析】
1
2
2
【总结升华】要正确理解负整数指数幕的意义.
举一反三:
【变式】计算:
2512122(3.14)0.
2
【答案】
解:
25
(3.14)°
已知3m
1
27
16,则mn的值=
【答案与解析】
解:
3m
1
27
【总结升华】
最后代值求
举一反三:
(3)4
1624,「
11
4
(3)81
先将£变形为底数为
【变式】计算:
【答案】
解:
(1)原式
2n24,n
3的幕,
2n,1624,然后确定m、
n的值,
(1)(a1b2c3)2;
(2)
b2c3
(2)原式b2c38b6c98b8c12
8b8
c
类型三、科学记数法
(1)0.00001;
(2)0.000000203;(3)-0.000135;(4)0.00067
【答案与解析】
(包括小数点前边的零)
【巩固练习】
.选择题
35
1.cc的值是(
A.c8
B.
15c
C.C15
D.c8
2.anan2的值是()
A.an3
B.
C2n.a
D.
3.
列计算正确的是
4.
5.
A.x2x2x4
C.a4a4a16
B.
D.
x3xx4
aa2
a3
列各题中,计算结果写成
A.100X102=103
C.100X103=105
列计算正确的是()
A.
33xyxy
C.
22
3x2
9x4
6.若
2ambn3
8a9b15成立,
A.
m=6,
n=12
C.
n=5
.填空题
10的幂的形式,
B.1000
D.100
B.
D.
B.
D.
x7
其中正确的是(
X1010=1030
X1000=104
5xy
5x2y4
).
2xy2
8x3y6
m=3,
m=6,
=12
=5
7.若2m6,2n5,则2mn
x
8.若a3aa19,贝Ux=
9.已知a3n5,那么a6n
81,
10.若a3am
11.223
三.解答题
13.判断下列计算的正误.
(1)x3x3x6
(2)
/3、2
(y)
(3)(2ab2)22a2b4
(4)
22
(xy)
4
xy
14.
(1)
x4)3;
(2)
(1a
2b3)3
a3b2)2
(3)
10(0.3
3
10)(0.4
5
10);
(4)
b2a
3
2a
(5)
5a62
333
3aa;
15.
(1)
x35,求n的值.
2)若a
nm
b
915
9b15,求m、n
的值.
答案与解析】
.选择题
二.填空题
7.【答案】30;
【解析】2mn2mg2n6530.
8.【答案】6;
【解析】a3x1a19,3x119,x6.
9.【答案】25;
2
【解析】a6na3n25225.
10.【答案】5;1;
【解析】a3ama3ma8,3m8,m5;33x18134,3x14,x1.
11.【答案】64;n9;310;
12.【答案】200;
32
【解析】(a3n)28(a2)2na2n38a2n21000800200.
三.解答题
13.【解析】
解:
(1)X;
(2)X;(3)x;(4)X
14.【解析】
(1)
x(x3)8(
7
X)
X
2412
XX
X
37
(2)
(Ja2b3)3
3
(a
b2)2
1a
6-9
b
6-4
ab
3
27
(3)
10(0.3
103)
(0.4
105)
0.3
0.4
10103
1051.2108;
(4)
3
5
3
5
8
b2a2ab
2ab
2a
b
2a
b;
(5)
5a62
3a3
33
a
25a12
27a
93
a
2a12.
解:
15.
解:
【解析】
n3n335
(1)・XXx
4n335
・・XX
4n+3=35
n=8
(2)m=4,n=3
3解:
:
anbmba9b15
3n3m33n3m3915
abbabab
3n=9且3m+3=15
66666
yy2y2y2y0.
5.【答案】D;
【解析】xy3x3y3;5xy225x2y4;3x29x4.
6.【答案】C;
3
【解析】2ambn8a3mb3n8a9b15,3m9,3n15,解得m=3,n=5.
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