第一章 综合素质检测.docx
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第一章综合素质检测
第一章综合素质检测
时间120分钟,满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2012~2013学年度甘肃嘉峪关市一中高二期中测试)命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是( )
A.不存在x∈R,x3-x2+1≤0
B.存在x∈R,x3-x2+1≥0
C.存在x∈R,x3-x2+1>0
D.对任意x∈R,x3-x2+1>0
[答案] C
[解析] 全称命题的否定是特称命题,将“任意”改为“存在”,将“≤”改为“>”.
2.(2012~2013学年度吉林油田高中高二期末测试)若命题“p或q”为真命题,“非p”为真命题,则( )
A.p真q真B.p假,q真
C.p真q假D.p假q假
[答案] B
[解析] ∵“非p”为真命题,∴p为假命题,又“p或q”为真命题,∴q为真命题.
3.(2012~2013学年度长春二中高二期末测试)设a∈R,则“a>1”是“”
<1的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] a>1⇒
<1,
<1⇒/a>1,故选A.
4.下列语句是命题的个数为( )
①空集是任何集合的真子集;
②x2-3x-4=0;
③3x-2>0;
④把门关上;
⑤垂直于同一条直线的两直线必平行吗?
A.1个B.2个
C.3个D.4个
[答案] A
[解析] ①假命题.因为空集是空集的子集而不是真子集.
②③是开语句,由于不知x的取值范围,无法判断其真假,因此不是命题.
④是祈使句,不是命题.
⑤是疑问句,不是命题.
故只有①是命题,应选A.
5.有下列四个命题
①“若b=3,则b2=9”的逆命题;
②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若c≤1,则x2+2x+c=0有实根”;
④“若A∪B=A,则A⊆B”的逆否命题.
其中真命题的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
[答案] A
[解析] “若b=3,则b2=9”的逆命题:
“若b2=9,则b=3”假;
“全等三角形的面积相等”的否命题是:
“不全等的三角形,面积不相等”假;
若c≤1,则方程x2+2x+c=0中,Δ=4-4c=4(1-c)≥0,故方程有实根;
“若A∪B=A,则A⊆B”为假,故其逆否命题为假.
6.(2012~2013学年度甘肃兰州第五十五中学高二期末测试)命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是( )
A.所有奇数的立方不是奇数
B.不存在一个奇数,它的立方是偶数
C.存在一个奇数,它的立方是偶数
D.不存在一个奇数,它的立方是奇数
[答案] C
[解析] “所有奇数的立方是奇数”的否定是“存在一个奇数的立方不是奇数”,故选C.
7.(2012~2013学年度宁夏宁大附中高二期末测试)“a⊥α,则a垂直于α内任一条直线”是( )
A.全称命题B.特称命题
C.不是命题D.假命题
[答案] A
[解析] 命题中含有全称量词,故为全称命题,且是真命题.
8.“B=60°”是“△ABC三个内角A、B、C成等差数列”的( )
A.充分而不必要条件
B.充要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 在△ABC中,若B=60°,则A+C=120°,
∴2B=A+C,则A、B、C成等差数列;
若三个内角A、B、C成等差,则2B=A+C,
又A+B+C=180°,∴3B=180°,B=60°.
9.“a=-1”是方程“a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0”表示圆的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
[答案] C
[解析] 当a=-1时,方程为x2+y2-2x-1=0,
即(x-1)2+y2=2表示圆,
若a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则应满足
,解得a=-1,故选C.
10.下列命题中的真命题是( )
A.∃x∈[0,
],sinx+cosx≥2
B.∀x∈
,tanx>sinx
C.∃x∈R,x2+x=-1
D.∀x∈R,x2+2x>4x-3
[答案] D
[解析] ∵对任意x∈R,有sinx+cosx=
sin(x+
)≤
,∴A假;∵x∈(
,π)时,tanx<0,sinx>0,∴B假;∵x2+x+1=(x+
)2+
>0,∴方程x2+x=-1无解,∴C假;∵x2+2x-(4x-3)=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,∴对任意x∈R,x2+2x-(4x-3)>0恒成立,故D真.
11.若集合A={1,m2},B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 由“m=2”可知A={1,4},B={2,4},所以可以推得A∩B={4},反之,如果“A∩B={4}”可以推得m2=4,解得m=2或-2,不能推得m=2,所以“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.
12.(2012~2013学年度吉林实验中学高二期末测试)下列命题错误的是( )
A.命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题为“若方程x2+x-m=0无实根,则m≤0”
B.对于命题p:
“∃x∈R,使得x2+x+1<0”,则綈p:
“∀x∈R,均有x2+x+1≥0”
C.若p∧q为假命题,则p、q均为假命题
D.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件
[答案] C
[解析] 若p∧q为假命题,则p、q均为假命题,或p、q一真一假,故选C.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,将正确答案填在题中横线上)
13.给出命题:
“若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限”.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是________.
[答案] 1
[解析] 因为命题:
“若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限”是真命题,其逆命题“若函数y=f(x)的图象不过第四象限,则函数y=f(x)是幂函数”是假命题,如函数y=x+1.再由互为逆否命题真假性相同知,在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是1.
14.命题“同位角相等”的否定为________,否命题为________.
[答案] 有的同位角不相等 若两个角不是同位角,则它们不相等
[解析] 全称命题的否定是特称命题,“若p,则q”的否命题是“若綈p,则綈q”.
15.已知p(x):
x2+2x-m>0,若p
(1)是假命题且p
(2)是真命题,则实数m的取值范围是________.
[答案] 3≤m<8
[解析] 由已知得
,
∴3≤m<8.
16.(2012~2013学年度山西忻州市高二期末测试)给出下列四个命题:
①∀x∈R,x2+2x>4x-3均成立;
②若log2x+logx2≥2,故x>1;
③命题“若a>b>0,且c<0,则
>
”的逆否命题是真命题;
④“a=1”是“直线x+y=0与直线x-ay=0互相垂直”的充分不必要条件.
其中正确的命题为________(只填正确命题的序号).
[答案] ①②③
[解析] ①中,x2+2x>4x-3⇔x2-2x+3>0⇔(x-1)2+2>0,故①正确.
②中,显然x≠1且x>0若0
③中,命题“若a>b>0,且c<0,则
>
”为真命题,故其逆否命题是真命题,∴③正确.
④“a=1”是直线x+y=0与直线x-ay=0互相垂直的充要条件,故④不正确.
三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分12分)判断下列命题的真假:
(1)∀x∈R,2x>0;
(2)∀x∈Q,x2-3x-1是有理数;
(3)∃x∈N,2x=x2;
(4)∃x,y∈Z,x2+y2=10.
[解析]
(1)真命题,对任意的x,2x>0恒成立.
(2)真命题,对于任意的有理数x,x2-3x-1都是有理数.
(3)真命题,x=2,4时,2x=x2成立.
(4)真命题,x=1,y=3时,x2+y2=10成立.
(1)
(2)(3)(4)都是真命题.
18.(本题满分12分)写出命题“若x2+7x-8=0,则x=-8或x=1的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断它们的真假.”
[解析] 逆命题:
若x=-8或x=1,则x2+7x-8=0.
逆命题为真.
否命题:
若x2+7x-8≠0,则x≠-8且x≠1.
否命题为真.
逆否命题:
若x≠-8且x≠1,则x2+7x-8≠0.
逆否命题为真.
19.(本题满分12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假.
(1)对数函数都是单调函数;
(2)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除;
(3)∀x∈{x|x>0},x+
≥2;
(4)∃x0∈Z,log2x0>2.
[解析]
(1)本题隐含了全称量词“所有的”,其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”,是全称命题,且为真命题.
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是特称命题,真命题.
(3)命题中含有全称量词“∀”,是全称命题,真命题.
(4)命题中含有存在量词“∃”,是特称命题,真命题.
20.(本题满分12分)对于下列命题p,写出綈p的命题形式,并判断綈p命题的真假:
(1)p:
91∈(A∩B)(其中全集U=N*,A={x|x是质数},B={x|x是正奇数});
(2)p:
有一个素数是偶数;
(3)p:
任意正整数都是质数或合数;
(4)p:
一个三角形有且仅有一个外接圆.
[解析]
(1)綈p:
91∉A或91∉B;假命题.
(2)綈p:
所有素数都不是偶数;假命题.
(3)綈p:
存在一个正整数不是质数且不是合数;真命题.
(4)綈p:
存在一个三角形至少有两个外接圆或没有外接圆;假命题.
21.(本题满分12分)(2012~2013学年度甘肃兰州第三十一中学高二期末测试)已知命题p:
∀x∈[1,2],x2-m≥0,命题q:
∀x∈R,x2+mx+1>0,若命题p∧q为真命题,求实数m的取值范围.
[解析] ∵∀x∈[1,2],x2-m≥0,
∴∀x∈[1,2],m≤x2的最小值,又当x∈[1,2]时,x2的最小值为1,∴m≤1.
∴p:
m≤1.
∵∀x∈R,x2+mx+1>0,
∴m2-4<0,∴-2 ∴q: -2 ∴p∧q为真命题, ∴-2 22.(本题满分14分)(2012~2013学年度甘肃嘉峪关市一中高二期末测试)设命题p: (4x-3)2≤1;命题q: x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈p是綈q的必要不充分条件,求实数a的取值范围. [解析] 由(4x-3)2≤1,得 ≤x≤1, 令A={x| ≤x≤1}. 由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得 a≤x≤a+1, 令B={x|a≤x≤a+1}. 由綈p是綈q的必要不充分条件,得p是q的充分不必要条件,即AB, ∴ ,∴0≤a≤ . ∴实数a的取值范围是[0, ]. 1.命题“∃x∈R,2x+x2≤1”的否定是( ) A.∀x∈R,2x+x2>1,假命题 B.∀x∈R,2x+x2>1,真命题 C.∃x∈R,2x+x2>1,假命题 D.∃x∈R,2x+x2>1,真命题 [答案] A [解析] 因为x=0时,20+02=1≤1,故原命题为真命题,所以该命题的否定“∀x∈R,2x+x2>1”是假命题. 2.命题“若x、y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是( ) A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数 B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数 C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数 D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数 [答案] C [解析] “都是”的否定是“不都是”,故其逆否命题是: “若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数”. 3.(2012·山东枣庄期中考试)已知a、b∈R,命题“若a+b=1,则a2+b2≥ ”的否命题是( ) A.若a+b≠1,则a2+b2< B.若a+b=1,则a2+b2< C.若a2+b2< ,则a+b=1 D.若a2+b2≥ ,则a+b≠1 [答案] A [解析] “若p,则q”的否命题是“若綈p,则綈q”,故选A. 4.“x> ”是“sinx> ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] D [解析] 当x=π> 时,sinx=0< ,又sin(- )=1> ,- < ,∴“x> ”是“sinx> ”的既不充分也不必要条件. 5.已知a、b、c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是( ) A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3 B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3 C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3 D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3 [答案] A [解析] a+b+c=3的否定是a+b+c≠3,a2+b2+c2≥3的否定是a2+b2+c2<3. 6.以下判断正确的是( ) A.命题“负数的平方是正数”不是全称命题 B.命题“∀x∈N,x3>x”的否定是“∃x0∈N,x >x0” C.“a=1”是“函数f(x)=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件 D.“b=0”是“函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数”的充要条件 [答案] D [解析] ∵“负数的平方是正数”即为∀x<0,则x2>0,是全称命题,∴A不正确. ∵对全称命题“∀x∈N,x3>x”的否定为“∃x∈N,x ≤x0”,B不正确; ∵f(x)=cos2ax-sin2ax=cos2ax, 当最小正周期T=π时,有 =π, ∴|a|=1⇒/a=1, 故“a=1”是“函数f(x)=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件,C不正确;b=0时f(x)=ax2+c是偶函数,反之也成立,D正确. 7.设集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] C [解析] ∵A={x∈R|x-2>0}={x|x>2},B={x∈R|x<0},∴A∪B={x∈R|x<0或x>2} C={x|x(x-2)>0}={x|x<0或x>2}, ∴A∪B=C,∴x∈A∪B是x∈C的充要条件. 8.设a、b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是( ) A.若a≠-b,则|a|≠|b| B.若a=-b,则|a|≠|b| C.若|a|≠|b|,则a≠-b D.若|a|=|b|,则a=-b [答案] D [解析] 原命题是“若p,则q”时,逆命题为“若q,则p”,故选D. 9.“a=1”是“函数f(x)=|x-a|在区间(-∞,1]上为减函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] 当a=1时,f(x)=|x-1|= ,所以f(x)在区间(-∞,1]上是减函数;若f(x)在区间(-∞,1]上是减函数,结合图象可得a≥1,所以前者是后者的充分不必要条件. 10.设命题p: ∶∀x∈R,x2-2x>a;命题∃x0∈R,x +2ax0+2-a=0.如果命题“p或q”为真,“p且q”为假,求a的取值范围. [解析] 由命题p可知x2-2x=(x-1)2-1>a恒成立,∴a<-1. 由命题q可知方程x2+2ax+2-a=0有实数根,∴Δ=(2a)2-4(2-a)≥0,解得a≤-2或a≥1. ∵“p或q”为真,“p且q”为假,∴p与q一真一假. 当p真q假时,有-2 ∴a的取值范围是(-2,-1)∪[1,+∞).
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