全国研究生数学建模比赛E题解答.docx
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全国研究生数学建模比赛E题解答
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(由组委会填写)究生”杯全国研届第十二“中关村青联竞赛数学建模
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生研杯联”全国究青关“二第十届中村赛模学数建竞题目数控加工刀具运动的优化控制
摘要:
本文基于计算机数控系统的工作原理,建立了刀具运动的优化控制模型,目的在于寻求机床刀具在单个坐标轴方向上的运动合理控制,从而增强机床运行的平稳性。
主要运用了S型曲线的加减速控制方法,建立了通用模型,该模型可通过已经设定的刀具加工路径,得出机床运动过程中任意一点的速度,从而验证所设定的符合加减速控制原理,得到最优的数控加工刀具的路径。
在该通用模型中,机床控制的加速度和速度都是连续变化的,因此通过渐变控制使机床运动按S型曲线式平稳变化,保证了速度的光顺及加速度的连续,提高了机床运动的平稳性,运用该模型,可以帮助寻找最优刀具路径,从而实现数控刀具加工的优化。
本论文的创新点在于模型适用范围广,突破了速度范围和加速度的限制不仅适用于S型曲线七阶段的加减速,而且适用于平稳性更强的五阶段和三阶段的S型曲线加减速控制路径。
论文中主要采用了力学分析建模、直线插补法建模和最优化方法建模。
在直线插补模型中,不论运行轨迹是直线还是曲线,刀具的运行都是按阶梯形路径行走,用步长乘以步数即可求得刀具的运行长度。
并且每一步长的增量均为分辨率,并且每个增量的长度均为分辨率的整数倍。
根据此原理,采用直线插补z,?
y?
x,?
法,建模可画出刀具沿轨迹的路径变化,在模型中输入刀具起点坐标和终点坐标即可求得刀具沿路径运行的长度。
对于问题一:
根据问题二的相关提示,我们设定加工线型分别为正方形和八边形即转角分别为90°和135°,然后根据S型曲线的减加速控制方法,建立了力学分析模型,再运用牛顿第二定理和受力分析可得出速度变化特征。
分别对刀具在拐>0.765F°转角为13590角为°和°处进行受力分析得到结果:
90(135°时的合力F22.
转角处的合力),所以当刀具经过90°转角时,速度变化大于135°转角的速度。
对于问题二:
由于问题一建立的模型是根据问题二设定的,再加上附录的提示,问题一所建立的通用模型可直接套用在问题二上,所以我们依据题目要求和模型特点,讨论了圆弧半径的变化对算法效率的影响,继而用该通用模型和已知路径各点间的路程(运动距离)S,计算出对应的速度V,然后与表格中的已知速度V'进行核对,从而检验了所给的加工路径,V'越接近V,则路径越符合加减速数控机床的运动平稳。
通过讨论,我们得到结论:
在1点到11点的运动路径下,半径的变化范L]。
当半径r[0,越大,则S越小,所运用的计算情况越简单,计算时间越∈围是r2短,计算效率越高;当半径r越小,则S越大,所运用的计算情况越复杂,计算时间越长,计算效率越低。
对于问题三:
我们在模型二的基础上考虑了瞬时启动加速度及瞬时启动速度,所以在模型中加入了瞬时启动加速度运动段,丰富了模型的通用性之后,依照问题二的检验步骤,检验了加工路径示例。
此情况下,节点1以瞬时起始速度min运动?
3时提高到min,然后保持min的速度匀速运行到节点2,然后从节点2至×10以速度min运行到处速度加至min,然后保持min的速度一直运行到节点5。
从节点5至节点11的运动轨迹及速度与前半段路径对称。
对于问题四:
在问题一、问题二、问题三的基础上,我们去掉了S型加减速控制方法阶段中的第二阶段(匀加速阶段)和第六阶段(匀减速阶段),满足精度和速度的要求,建立了模型,并大量搜取相关计算机数控加工同的文献,讨论了该模型曲线加减速可以克服直线加减S对提高机床运行平稳性的优缺点。
讨论优点结果为
速方法的缺点,保证了加速度和速度的连续,满足了系统的稳定性和加减速的要求。
缺点有三,首先使用S型加减速方法时速度的变化相当快,但由于存在加速度突变从而产生冲击,因此不适用于高速数控系统;其次对于传统普通的S型曲线加减速法,其通过对加速阶段及减速阶段进行平滑处理来减少机床的冲击,然而其加减速阶段存在突变以及加加速并不连续,从而使机床柔性受到限制;最后,由于其参数比较多,计算相对复杂,不能满足高性能数控实时性的要求。
数控加工型曲线加减速S最优化模型关键词:
直线插补法.
问题重述1.问题背景
近年来,随着计算机技术的发展,数字控制技术已经广泛应用于工业控制的各个领域,尤其是机械制造业中,普通机械正逐渐被高效率、高精度、高自动化的数控机械所代替。
这种高速高效高精度的技术即被称为数控加工技术,高速加工要求机床各运动轴都能够在极短的时间内达到高速运行状态并实现高速准停,研究开发数控加工刀具运动满足高速、高精度要求的、有效柔性加减速控制方法,已成为现代高性能数控系统研究的重点。
在本文中,我们考虑加工刀具在数控机床所提供的精度、速度、加速度等限制条件下,对机床刀具在各坐标轴方向上的运动进行建模并合理控制,进而优化其加工效率。
计算机数控系统工作原理及难点:
原理为首先通过计算机组成的数控编程系统对读入的零件信息进行存储和译码等处理后通过输入装置将它们传输给加工控制系统,然后由数控系统对输入的指令进行信息处理和轨迹插补计算出数控机床各坐标轴方向上刀具运动的控制信息,进而通过机床驱动以及机床运动将刀具在各坐标轴方向上的运动合成为刀具实际加工轨迹和速度控制,加工出所需的工件。
难点之一为数控机床加工刀具在三个坐标轴方向的运动实行分别控.
制,导致加工刀具的运动轨迹与工件几何形状之间存在误差;第二为每一直线段对应的坐标增量长度必须为分辨率的整数倍,从而导致加工刀具运动方向受限制,并影响加工刀具在三个坐标轴方向上的速度、加速度;第三机床需运动平稳、速度光滑、加速度连续。
问题提出本文需解决的问题:
问题一:
设加工型线为折线,建立模型分析讨论刀具通过指定折点时的速度变化。
问题二:
设加工型线是由直线段和圆弧段(相切或不相切)组成的连续曲线,在不考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度的情况下讨论圆弧半径的变化对算法效率的影响,并应用所建立的模型指定加工路径示例进行检验。
问题三:
在问题二的基础上,在考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度的情况下讨论圆弧半径的变化对算法效率的影响,并应用所建立的模型指定加工路径示例进行检验。
问题四:
结合前3问,分析S型曲线的加减速控制方法的优缺点,在满足精度和速度要求的条件下,建立能提高机床运行平稳性的优化控制运动模型。
模型的假设2.假设1:
不考虑五轴控制,假设数控机床对加工刀具在三个坐标轴方向运动,对此三轴实行分别控制,且它们之间相互协调;
假设2:
假设在S型曲线运动过程中,速度V不大于机床最大速度V,max加速度a不大于机床最大加速度a,加加速度为常量J。
maxconst假设3:
假设在此S型速度控制曲线中加速度每次都是从0增加,最后又降为0。
假设4:
假设不考虑刀具尺寸大小及刀具磨损,加工刀具抽象为一点。
假设5:
加工刀具行走的路线是一系列首尾相接的直线段,机床运动平稳,速度光滑、加速度连续等。
符号说明3.
符符号说
刀具速度
机床最大速度
瞬时启动速度
刀具加速度
机床最大加速度
a瞬时启动加速度0
加加速度
问题分析4.数控技术作为先进制造技术(如柔性制造技术,计算机集成制造系统)的基础,国家投入了大量的人力、财力进行公关开发,其关键技术已取得了重大进展,实现了多坐标联动,攻克了交流全数字伺服和主轴驱动技术,“九五”期间实现了数控机床产业攻关目标。
几何造型和道具运动轨迹是实施数控加工的两大关键技术,其中零件数控加工准确性只有在合理的刀具轨迹的前提下才能予以保证。
刀具轨迹的生成是复杂零件数控加工中重要的内容之一,刀具轨迹规划是否合理不仅直接关系到切削效率、加工质量及加工成本,而且还影响机床的动力性能及刀具的使用寿命。
此题研究的是数控加工刀具运动的优化控制问题,数控加工对单个坐标运动的控制方法有多种,其中,从数控系统的控制角度看,要实现高速度加工,必须采用加减速控制。
为了在运动的开始和结束时,系统自动进行加减速,以保证平稳启动和停止,并且在速度变化时也能自动的加减速,使进给速度平稳变化数控机床进给传统系统设计应尽量采用S型加减速。
本题在数控系统保证加工精度的条件下,使用加减速控制技术对加工路径段间加减速过程进行控制,即选用基于S型曲线的加减速控制方法,将加减速过程分为7个阶段:
加加速、匀加速、减加速、匀加速、加减速、匀减速,减减速七个阶段,在启动时间加速度逐渐增大,当达到最大加速度.
时,以匀加速运动,在到达额定速度之前,加速度逐渐减小。
并且每个阶段时间的变化规律已给出,提高进给速度,减小速度跳变,提高加工效率。
针对问题一:
加工型线为折线,结合问题二我们首先分析刀具路线为与题二相似的正方形,在正方形直角处画出一条与正方形相邻竖边和横边内夹角为135?
的斜线,刀具沿着此路径展开S型曲线加减速变化,在直角点和135?
点处分别经历加加速、匀加速、减加速、匀速、加减速、匀减速、减减速七个阶段,后来在分析过程中我们发现各路径的时间T是可以算出来的,则放弃此种方法改用数学建模。
为了便于观察刀具通过相邻折线段夹角为90?
和135?
的折线交点时运动速度的变化,我们将加减速七个阶段中的速度分别进行积分,得到每个……S,阶段的位移S、S刀具的每次位移均为机床分辨率的整数倍,即712n++V+V∫∫V移相加得到总位,即S=然为S=,n整数,后∫3121280S?
+=VS+S++++VVV∫∫∫∫型曲线S,虽然题中刀具速度呈7276415走势,但实际运行的是接近直线规律的加减速控制,这样就造成机床的颤抖,严重影响加工质量,为了解决解决短代码运行造成的缺陷,实现高速度下平稳运行微小线段程序,实现高速高精加工,我们运用积分使其最小化,通过计算当刀具在加加速阶段速度已经达到最大极限值,故此后没有匀加速和减加速阶段,根据此方法进行建模,由于刀具运动轨迹为对称图所示,当输入0,如下图1为和S,在本题中S和S、S形,建模可算出S33221拐点处位移时即可得出该点速度。
1图
针对问题二:
刚着手分析此题,由于要讨论圆弧半径与算法效率的关系,我们刚开始考虑用弧度来代替半径,即弧长等于半径乘以夹角,半径长为0到r,夹角为0到90?
,即可用不同的弧度建模计算算术时间,用时间来代表效率。
后来建模时发现未知数夹角难以分析计算,则改用研究讨论路径边长与半径的关系。
由于加工型线是由直线和圆弧段组成的连续L,圆弧对,两圆弧与直线切点间的距离为曲线,我们假设直线总长为L1L+L设圆弧与直线相切时半径为r应的直线为,当弧线无限,则L=,L221位移S为刀r,=,并且此时r,当弧线与直线相切时半径为小时r为0L2具所走路径L和弧度的和,S与r成反比关系,建立实时加工优化控制算法,讨论圆弧半径从零变为r时对算法效率的影响,并应用所建立的模型对题目中给出的加工路径示例进行检验。
如图2所示。
图2
针对问题三:
考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度,认为加速度可以从0瞬间提高到瞬时加速度a,或瞬间从a下降到0,速度也有类似功能,00这样整个加速过程及速度的变化规律有一些改变。
刀具以瞬时启动加速度2at2at=。
×为初始速度加速,则相对于第二问来讲,刀具增加一段位移22针对问题四:
结合前三问,机床工作台的运行稳定性与机床液压系统的泄漏、系统受液压油的粘度、节流阀与停留阀等的磨损或调节不当、导轨润滑不良等因素影响,导致工作台在换向时停留时间不稳定、无停留时.
却出现瞬时停留、周期进给时大时小等现象。
因此,对机床工作台运行稳定的情况,必须对系统调整和维修,保证机床工作台的正常运行。
优点为S曲线加减速可以克服直线加减速方法的缺点,当前应用最多的实现方法是将加减速过程分为七个阶段,保证了加速度和速度的连续,满足了系统的稳定性和加减速的要求。
缺点有三,首先使用直线S型加减速方法时速度的变化相当快,但由于存在加速度突变从而产生冲击,因此不适用于高速数控系统;其次对于传统普通的S型曲线加减速法,其通过对加速阶段及减速阶段进行平滑处理来减少机床的冲击,然而其加减速阶段存在突变以及加加速并不连续,从而使机床柔性受到限制;最后,由于其参数比较多,计算相对复杂,不能满足高性能数控实时性的要求。
S曲线加减速速度、加速度变化趋势如下图3所示。
图3S曲线加减速速度、加速度走势
问题一的解答5.本文研究的是机床刀具在三轴控制下的运动轨迹和运动速度优化问题,利用实时优化控制算法,简化多目标函数,再用MATLAB软件编程求得最优解。
模型一的建立与求解问题分析
点的过程中发生2点运动到1如上图所示进行分析,假设机床刀具从
了路径转变,1点到转角点的运动速度为V,转角点到2点的运动速度为V。
21当转角为90°时,情况如图a所示,此时的运动分力为F,经过转角之后,1≈1.414F
。
当转角2FF为运动分力为F,则轨迹给刀具的反力(合力)√222为135°时,情况如图b所示,由于刀具经过转角前后的运动速度是一样的,均为V和V,则经过转角点之前的运动分力为F,经过转角之后的运112动分力为F,经过受力分析后,求得轨迹给刀具的反力(合力)F为2≈0.765F。
由牛顿第二定理,定理中动量守恒得出.5FFt=m?
V,所2sin2222Ft都是定量不变,所以tm和,其中m为刀具质量,t运动的时间,=以?
V
mV,越大,又因为转角越大时,速度的变化?
不难看出,当转角处的合力F7650F.>°90°时的合力F90),所以当刀具经过(135°转角处的合力为22°转角的速度,又因为该路径为对称路径,所转角时,速度变化大于135由此还可以推断出,图5的分析是一致的。
以转角处的速度变化情况与图4内,经过路径转角的角度越大,刀具的和时间t在刀具设定的运动速度v?
速度变化越小。
模型计算结果
5处进行受力分析,分析结果如图135?
4和图对刀具在拐角为90?
和所示:
图4刀具在90?
拐角处的受力分析
图5刀具在135?
拐角处的受力分析
时进行受力分析,由牛顿第135?
和90?
对刀具运行轨迹及运行到转角.
Fttm为刀具质量,V=,其中二定理,定理中动量守恒得出Ft=m?
V,所以?
m越大时,速t都是定量不变,所以,当转角处的合力F运动的时间,m和765F>0.°转角(135V,越大,又因为转角为90°时的合力F度的变化?
22°转角的速°转角时,速度变化大于135处的合力),所以当刀具经过90度。
模型二、三的解答6
模型二的建立与求解路径分析
1/4路径的四个角是半径为的整圆的机床刀具所走的路径如图6所示,2。
如下图所示,把整个路径41(单位:
cm)圆弧,矩形外围大小是:
41×)的位置,接(,,)的位置顺时针走到节点11个点,从节点1(,,2分为处的瞬时1,着一直按顺时针方向走回到节点11(,)的位置。
其中,节点顺时针到节的过程中要求最大速度为,节点到节点22速度为,从节点1处的终止速度为。
具体速度要求的过程中要求最大速度为,节点1111点所示,表中最大频率指的是控制脉冲的最大频率,本题不予考虑,1如表。
m/min对应的速度指刀具的运动速度,单位是
图6圆角矩形切割路径
表1圆角矩形切割路径加工中速度要求
节点坐(Z用户设定最大频路
换后对应的节最大频
277
402
2686
2686
2686
2686
2686
2686
2686
1,2686
1,277
刀具行走轨迹
下图7为节点1到节点2的行走轨迹,图8为节点3到节点4的行走轨迹。
图7节点1到节点2的行走轨迹
图8节点3到节点4的行走轨迹
建模背景
不论运行轨迹是直线还是曲线,刀具的运行都是按阶梯形路径行走,
用步长乘以步数即可求得刀具的运行长度。
并且每一步长的增量均为分辨,并且每个增量的长度均为分辨率的整数倍。
根据此原理,采率z?
x,?
y,?
用直线插补法,建模可画出刀具沿轨迹的路径变化,在模型中输入刀具起点坐标和终点坐标即可求得刀具沿路径运行的长度。
模型如附录所示。
半径对计算效率的影响
增大,圆弧与正方形r半径变化时,圆弧长度也随之变化,当半径r由图四所示,减小,圆弧与正方形内切范围越小。
内切范围增大;当半径r外围正方形的边从1L点划分路径区域,将对路径进行对称分析,点到6ππL2L。
长,的范围是S,]所以得出?
r?
r[0,则路程S=2(L-2r)+S≤L≤422.
S,S。
那么,根据建立的模型,可分别积分计算出不同运动阶段的路程S321?
?
≤S时,模型运动形式为第一阶段,即用情况一当路径的运动路程0<1?
?
≤
因此,由于情况一的运动方程比较简单,所以相对的计算时间短,计算效率要高;情况二的运动方程比情况一复杂,所以计算时间较长,计算效率较低;情况三的运动方程最复杂,所以相对的计算时间最长,计算效率最低。
经过以上的分析对比,我们可以得出这样的结论:
在题目所给的1点L越大,则r[0,∈]。
当半径11到点的运动路径下,半径的变化范围是r2越小,所运用的计算情况越简单,计算时间越短,计算效率越高;当半S越大,所运用的计算情况越复杂,计算时间越长,计算效S径r越小,则率越低。
计算方法
本模型在数字积分法的基础上,进行单点追踪。
主要解决如何控制目标系统准确跟踪指令轨迹的问题,即对于给定的指令轨迹,选择合适的控制算法和参数,产生输出,控制目标实时、准确地跟踪给定的指令轨迹。
型曲线中各个阶段速度、加速度、加加速度随时间的变化规律如下S.
所示:
加加速段
(1)
aJaT?
,其中加速度和速度都在增,这个过程中加速度达到最大const1maxmax加。
匀加速段
(2)2T?
(V?
JT)/a,这个过程中加速度不变,速度在增加。
其中maxmax2const1减加速段(3)Vt?
2T?
T时,,当这个过程中加速度在减小,速度在增加,一直增加到21maxV?
V。
max匀速段(4)VT的长短由路径长度决定。
,速度保持这个过程中加速度为0不变,3max加减速段(5)这个过程中加速度在增加,速度在减小,这段其实与减加速段是对称的。
匀减速段(6)?
a这段其实与匀加速段是对这个过程中加速度保持速度在减小,不变,max
称的。
减减速段(7)这个过程中加速度在减小直到为0,速度也在减小直到为0,当t?
4T?
2T?
TV?
0。
这段其实与加加速段是对称的。
时,321建模原理
机床刀具运行轨迹可简化为加速、匀速、减速三个阶段,此题只对加速阶段进行建模,匀速阶段速度即为加速阶段最后时刻所达到的最大值,减速阶段可看为与加速阶段相对称的模型。
建模时首先考虑把加速阶段情况分为三种情况:
情况一:
此种情况下只存在加加速阶段,刀具在此阶段运动时达到的最大速度仍小于V。
此阶段路程max,建模,通过输入过程s可求出此阶段的时间t,然后根据时间、速度公1。
v运算自动求出速度式2Jt?
V
2情况二:
此情况下存在加加速阶段和匀加速阶段,刀具通过加加速阶。
此阶段后达到的速度仍小于V,进而在匀加速阶段达到速度最大值Vmaxmax
S?
S?
S?
S210TT?
TT?
T?
T210010?
?
?
V?
V?
V?
3201T0TT?
100段路程11TT?
T?
TTT?
10100222?
?
?
)]a?
T(t?
?
V?
Jt?
J[TT?
maxconst
100122TTT?
0100],T?
T?
t?
(TT,T?
21001可求得此阶段的时间t,然后通过模型求解出v。
情况三:
此阶段存在加加速阶段、匀加速阶段和减加速阶段,刀具通过加加速阶段和匀加速阶段后仍未达到要求的最大速度值V,进而继续max在减加速阶段达到最大速度值V。
此时的路程计算如下:
max此题建模时既已考虑了瞬时减速度a和瞬时速度V,由于第一题不需00考虑瞬时加速度的瞬时速度,则只需把初始速度考虑为0即可。
每次计算必须判断其属于以上三种情况中的哪一种,即用速度V的大小与最大速度V的值比较来判断。
max模型计算结果
结合图6中点的位置及路径,图5表1中各路径之间的速度限制及建模结果可知,此情况下不考虑瞬时加速度和瞬时速度,则起点速度从0m/min开始,节点1的起始速度为0m/min,由于节点一到节点二过程中要求的最大速度为min,则当刀具从节点一运动至时速度由0m/min提高到min,然后保持min的速度匀速运行到节点二,由于从节点二顺时针运行直至回到起点最大速度要求为min,则从节点二以速度min的速度加速到处至节点5。
从节点5的速度一直运行到节点min,然后保持min速度加至.
11的运动轨迹及速度与前半段路径对称。
模型三的建立与求解路径分析
此路径与问题二一致,在上述问题的分析基础上考虑瞬时启动加速度a和瞬时启动速度v,建立模型。
00建模原理
建模思路与问题一、二一致,由于考虑了瞬时启动加速度a和瞬时启01。
此模,而为动速度v,机床刀具运行的初始速度不再为02at?
V?
at0
002型与问题一中的模型一样,初始条件不同。
模型计算结果
结合图6中点的位置及路径,图5表1中各路径之间的速度限制及建模结果可知,此情况下需要考虑瞬时加速度和瞬时速度,则起点速度从min开始,节点1的瞬时起始速度为min,由于节点1到节点2过程中要求的?
3时速度由min提高到运动至×10min,1最大速度为min,则当刀具从节点然后保持min的速度匀速运行到节点2,由于从节点2顺时针运行直至回到起点最大速度要求为min,则从节点2以速度min的速度加速到处速度加至min,然后保持min的速度一直运行到节点5。
从节点5至节点11的运动轨迹及速度与前半段路径对称。
问题四的解答7问题分析数控加工的目标是实现高精度高效率的加工,因此一方面要求数控机床反应快,快速准确启停,缩短准备时间;另一方面要求加工过程运动平稳,冲击小;另外,在高速运行过程中,要求控制系统对轨迹运动进行平滑的控制,以防止较大的冲击影响加工质量。
这些要求需要靠加减速控制。
S型加减速在任何一点的加速度都是连续变化的,从而避免了柔性冲击,速度的平滑性很好,运动精度高,是中高档数控系统的最优选择。
随着运动控制系统的发展,现代数控系统的功能越来越强大,一些相对复杂的控制算法相继在控制加工系统中得到应用,使得轨迹运动的速度和精度不断提高。
S型曲线的加减速控制方法的优缺点在问题四的分析中已经详细叙述。
造成机床运行不稳定的因素很多。
首先在刀具制造中,反映机床运行不平稳的参数是机床运转的不均匀系数。
当机床的工作台运行速度低于临界速度时,由于滑动导致的摩擦特性影响而出现爬行现象,机床的爬行对机床加工性能和稳定会产生很大的影响。
其次,加减速控制是数控系统的重要组成部分和关键技术之一。
传统的S型曲线分段多,程序实现较复杂,容易因为加速度不连续而造成冲击,导致机床运行的不稳定。
针对上述问题,参考多种资料,在满足精度和速度要求的条件下,我曲线加减速控制的新方法,将加减速过程划分为五个阶段,即S们分析出
加减速过程由加加速、减加速、匀速、加减速和减减速阶段组成,与七个曲线加减速实现方法相比,虽然省略了匀加速阶段和匀减速阶段,S阶段曲线加减速同样能始终保证加速度连续、速度和时间关系一阶但五阶段S连续、位移与时间关系二阶连续,满足柔性加减速的要求,同时简化了算法的实现并提高了机床运行的稳定性。
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