版第2章231离散型随机变量的均值.docx
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版第2章231离散型随机变量的均值
2.3 离散型随机变量的均值与方差
2.3.1 离散型随机变量的均值
1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质,会根据离散型随机变量的分布列求出均值.(重点)
2.掌握两点分布、二项分布的均值.(重点)
3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 离散型随机变量的均值
阅读教材P60~P61例1,完成下列问题.
1.定义:
若离散型随机变量X的分布列为:
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.
2.意义:
它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
3.性质:
如果X为(离散型)随机变量,则Y=aX+b(其中a,b为常数)也是随机变量,且P(Y=axi+b)=P(X=xi),i=1,2,3,…,n.E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
1.下列说法正确的有________.(填序号)
①随机变量X的数学期望E(X)是个变量,其随X的变化而变化;
②随机变量的均值反映样本的平均水平;
③若随机变量X的数学期望E(X)=2,则E(2X)=4;
④随机变量X的均值E(X)=.
【解析】 ①错误,随机变量的数学期望E(X)是个常量,是随机变量X本身固有的一个数字特征.②错误,随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平.③正确,由均值的性质可知.④错误,因为E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn.
【答案】 ③
2.已知离散型随机变量X的分布列为:
X
1
2
3
P
则X的数学期望E(X)=________.
【解析】 E(X)=1×+2×+3×=.
【答案】
3.设E(X)=10,则E(3X+5)=________.
【解析】 E(3X+5)=3E(X)+5=3×10+5=35.
【答案】 35
教材整理2 两点分布与二项分布的均值
阅读教材P62~P63,完成下列问题.
1.两点分布和二项分布的均值
(1)若X服从两点分布,则E(X)=p;
(2)若X~B(n,p),则E(X)=np.
2.随机变量的均值与样本平均值的关系
随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本的平均值是一个随机变量,它随样本抽取的不同而变化.对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本的平均值越来越接近于总体的均值.
1.若随机变量X服从二项分布B,则E(X)的值为________.
【导学号:
29472067】
【解析】 E(X)=np=4×=.
【答案】
2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,不命中得0分.已知他命中的概率为0.8,则罚球一次得分X的期望是________.
【解析】 因为P(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2,所以E(X)=1×0.8+0×0.2=0.8.
【答案】 0.8
3.袋中装有6个红球,4个白球,从中任取1个球,记下颜色后再放回,连续摸取4次,设X是取得红球的次数,则E(X)=________.
【解析】 每一次摸得红球的概率为=,由X~B,则E(X)=4×=.
【答案】
[小组合作型]
两点分布与二项分布的均值
某运动员投篮命中率为p=0.6.
(1)求投篮1次时命中次数X的数学期望;
(2)求重复5次投篮时,命中次数Y的数学期望.
【精彩点拨】
(1)利用两点分布求解.
(2)利用二项分布的数学期望公式求解.
【自主解答】
(1)投篮1次,命中次数X的分布列如下表:
X
0
1
P
0.4
0.6
则E(X)=0.6.
(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数Y服从二项分布,即Y~B(5,0.6),则E(Y)=np=5×0.6=3.
1.常见的两种分布的均值
设p为一次试验中成功的概率,则
(1)两点分布E(X)=p;
(2)二项分布E(X)=np.
熟练应用上述公式可大大减少运算量,提高解题速度.
2.两点分布与二项分布辨析
(1)相同点:
一次试验中要么发生要么不发生.
(2)不同点:
①随机变量的取值不同,两点分布随机变量的取值为0,1,二项分布中随机变量的取值x=0,1,2,…,n.
②试验次数不同,两点分布一般只有一次试验;二项分布则进行n次试验.
[再练一题]
1.某种种子每粒发芽的概率为0.9,现播种了1000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,每个坑至多补种一次,补种的种子数记为X,则X的数学期望为( )
A.100 B.200
C.300D.400
【解析】 由题意可知,补种的种子数记为X,X服从二项分布,即X~B(1000,0.1),
所以不发芽种子的数学期望为1000×0.1=100.
所以补种的种子数的数学期望为2×100=200.
【答案】 B
离散型随机变量的均值公式及性质
已知随机变量X的分布列如下:
X
-2
-1
0
1
2
P
m
(1)求m的值;
(2)求E(X);
(3)若Y=2X-3,求E(Y).
【精彩点拨】
(1)利用分布列的性质求m;
(2)利用离散型随机变量的均值公式求解;
(3)利用离散型随机变量均值的性质求解.
【自主解答】
(1)由随机变量分布列的性质,得+++m+=1,
解得m=.
(2)E(X)=(-2)×+(-1)×+0×+1×+2×=-.
(3)法一:
由公式E(aX+b)=aE(X)+b,得E(Y)=
E(2X-3)=2E(X)-3=2×-3=-.
法二:
由于Y=2X-3,所以Y的分布列如下:
Y
-7
-5
-3
-1
1
P
所以E(Y)=(-7)×+(-5)×+(-3)×+(-1)×+1×=-.
1.该类题目属于已知离散型分布列求均值,求解方法是直接套用公式,E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn求解.
2.对于aX+b型的随机变量,可利用均值的性质求解,即E(aX+b)=aE(X)+b;也可以先列出aX+b的分布列,再用均值公式求解,比较两种方式显然前者较方便.
[再练一题]
2.已知随机变量ξ的分布列为
ξ
-1
0
1
P
m
若η=aξ+3,E(η)=,则a=( )
A.1B.2
C.3D.4
【解析】 由分布列的性质得++m=1,所以m=.
所以E(ξ)=-1×+0×+1×=-.
所以E(η)=E(aξ+3)=aE(ξ)+3=-a+3=,得a=2.
【答案】 B
求离散型随机变量的均值
在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排在一起,若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2,…,6),求:
(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率;
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值.
【导学号:
29472068】
【精彩点拨】
(1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率;
(2)先求出ξ的取值及每个取值的概率,然后求其分布列和均值.
【自主解答】 只考虑甲、乙两单位的相对位置,故可用组合计算基本事件数.
(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”,则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”,由等可能性事件的概率计算公式得P(A)=1-P()=1-=1-
=.
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,且
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,P(ξ=4)==.
从而知ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×=.
求离散型随机变量ξ的均值的步骤
1.根据ξ的实际意义,写出ξ的全部取值.
2.求出ξ的每个值的概率.
3.写出ξ的分布列.
4.利用定义求出均值.
其中第
(1)、
(2)两条是解答此类题目的关键,在求解过程中应注重分析概率的相关知识.
[再练一题]
3.盒中装有5节同牌号的五号电池,其中混有两节废电池.现在无放回地每次取一节电池检验,直到取到好电池为止,求抽取次数X的分布列及均值.
【解】 X可取的值为1,2,3,
则P(X=1)=,P(X=2)=×=,
P(X=3)=××1=.
抽取次数X的分布列为
X
1
2
3
P
E(X)=1×+2×+3×=.
[探究共研型]
离散型随机变量的均值实际应用
探究1 某篮球明星罚球命中率为0.7,罚球命中得1分,不中得0分,则他罚球一次的得分X可以取哪些值?
X取每个值时的概率是多少?
【提示】 随机变量X可能取值为0,1.X取每个值的概率分别为P(X=0)=0.3,P(X=1)=0.7.
探究2 在探究1中,若该球星在一场比赛中共罚球10次,命中8次,那么他平均每次罚球得分是多少?
【提示】 每次平均得分为=0.8.
探究3 在探究1中,你能求出在他参加的各场比赛中,罚球一次得分大约是多少吗?
为什么?
【提示】 在球星的各场比赛中,罚球一次的得分大约为0×0.3+1×0.7=0.7(分).因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X的数学期望来描述他总体得分的平均水平.具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X的均值的一个分数.
随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中一等品126件,二等品50件,三等品20件,次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元,设1件产品的利润(单位:
元)为X.
(1)求X的分布列;
(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望);
(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%,如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?
【自主解答】
(1)X的所有可能取值有6,2,1,-2.
P(X=6)==0.63,
P(X=2)==0.25,P(X=1)==0.1,
P(X=-2)==0.02.
故X的分布列为:
X
6
2
1
-2
P
0.63
0.25
0.1
0.02
(2)E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34.
(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为
E(X)=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+1×x+(-2)×0.01
=4.76-x(0≤x≤0.29).
依题意,E(X)≥4.73,即4.76-x≥4.73,
解得x≤0.03,所以三等品率最多为3%.
1.实际问题中的均值问题
均值在实际生活中有着广泛的应用,如对体育比赛的成绩预测,消费预测,工程方案的预测,产品合格率的预测,投资收益的预测等方面,都可以通过随机变量的均值来进行估计.
2.概率模型的三个解答步骤
(1)审题,确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件类型,所用的公式有哪些.
(2)确定随机变量的分布列,计算随机变量的均值.
(3)对照实际意义,回答概率,均值等所表示的结论.
[再练一题]
4.甲、乙两人各自独立破译某个密码,甲破译出密码的概率是,乙破译出密码的概率是,设破译出该密码的人数为X,求其数学期望.
【解】 设A、B分别为甲、乙破译出该密码的事件,X的可能取值是0,1,2.
P(X=0)=P(·)=P()·P()
==;
P(X=1)=P(A·)+P(·B)
=×+×=;
P(X=2)=P(AB)=P(A)·P(B)=×=.
所以X的分布列是
X
0
1
2
P
因此E(X)=0×+1×+2×=.
1.某一供电网络,有n个用电单位,每个单位在一天中使用电的机会是p,供电网络中一天平均用电的单位个数是( )
A.np(1-p) B.np
C.nD.p(1-p)
【解析】 依题意知,用电单位X~B(n,p),所以E(X)=np.
【答案】 B
2.设随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,3,4,则E(X)的值为( )
A.2.5B.3.5
C.0.25D.2
【解析】 E(X)=1×+2×+3×+4×=2.5.
【答案】 A
3.某射手射击所得环数ξ的分布列如下:
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的均值E(ξ)=8.9,则y的值为________.
【解析】 依题意得
即解得y=0.4.
【答案】 0.4
4.已知X~B,则E(2X+3)=________.
【解析】 E(X)=100×=50,E(2X+3)=2E(X)+3=103.
【答案】 103
5.袋中有4个黑球,3个白球,2个红球,从中任取2个球,每取到1个黑球记0分,每取到1个白球记1分,每取到1个红球记2分,用X表示取得的分数.求:
(1)X的分布列;
(2)X的均值.
【解】
(1)由题意知,X可能取值为0,1,2,3,4.
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
P(X=4)==.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
(2)E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=.
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