第1章11独立性检验 学案 高中数学选修12 苏教版.docx
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第1章11独立性检验学案高中数学选修12苏教版
学习目标
1.理解列联表的意义,会根据列联表中数据大致判断两个变量是否独立.2.理解统计量χ2的意义和独立性检验的基本思想.
知识点一 2×2列联表和χ2统计量
思考1 什么是列联表,它有什么作用?
答 一般地,对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ,Ⅰ有两类取值类A和类B,Ⅱ也有两类取值类1和类2,得如下列联表中的抽样数据:
Ⅱ
类1
类2
合计
Ⅰ
类A
a
b
a+b
类B
c
d
c+d
合计
a+c
b+d
a+b+c+d
以上表格称为2×2列联表.其中|ad-bc|越小,Ⅰ与Ⅱ的关系越弱;|ad-bc|越大,Ⅰ与Ⅱ的关系越强.
思考2 统计量χ2有什么作用?
答 χ2=
,
用χ2的大小可判断事件A、B是否有关联.
1.2×2列联表
一般地,对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ,Ⅰ有两类取值类A和类B,Ⅱ也有两类取值类1和类2,得到如下列联表所示的抽样数据:
Ⅱ
类1
类2
合计
Ⅰ
类A
a
b
a+b
类B
c
d
c+d
合计
a+c
b+d
a+b+c+d
上述表格称为2×2列联表.
2.统计量χ2
χ2=
.(n=a+b+c+d)
知识点二 独立性检验
要推断“Ⅰ与Ⅱ有关系”,可按下面的步骤进行:
(1)提出假设H0:
Ⅰ与Ⅱ没有关系;
(2)根据2×2列联表和公式计算χ2的值;
(3)查对临界值表,作出判断.
类型一 2×2列联表与χ2的计算
例1 在一次天气恶劣的飞机航程中,调查了男女乘客在飞机上晕机的情况:
男乘客晕机的有24人,不晕机的有31人;女乘客晕机的有8人,不晕机的有26人.请你根据以上数据建立2×2列联表,并计算χ2.
解 根据题意,列出2×2列联表如下:
晕机
不晕机
总计
男乘客
24
31
55
女乘客
8
26
34
总计
32
57
89
由公式可得
χ2=
=
≈3.689.
反思与感悟 制作2×2列联表一般有以下三个步骤:
第一步:
合理选取两个研究对象,且每个对象都可以取两个值.
第二步:
抽取样本,整理数据.
第三步:
画出2×2列联表.
利用χ2=
,准确代数与计算,求出χ2的值.
跟踪训练1 根据下表计算:
不看电视
看电视
男
37
85
女
35
143
χ2≈________.(结果保留3位小数)
答案 4.514
解析 χ2=
≈4.514.
类型二 独立性检验的应用
例2 用两种检验方法对某食品做沙门氏菌检验,结果如下表.
阳性
阴性
总计
荧光抗体法
160
5
165
常规培养法
26
48
74
总计
186
53
239
附:
P(χ2≥x0)
0.010
0.005
0.001
x0
6.635
7.879
10.828
能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为采用荧光抗体法与检验结果呈阳性有关系?
解 通过计算可知χ2=
≈113.1846.而查表可知,因为P(χ2≥10.828)≈0.001,而113.1846远大于10.828,所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为采用荧光抗体法与检验结果呈阳性有关系.
反思与感悟 独立性检验可以通过2×2列联表计算χ2的值,然后和临界值对照作出判断.
跟踪训练2 调查在2~3级风的海上航行中男女乘客的晕船情况,结果如下表所示:
晕船
不晕船
合计
男人
12
25
37
女人
10
24
34
合计
22
49
71
根据此资料,你是否认为在2~3级风的海上航行中男人比女人更容易晕船?
解 提出假设H0:
海上航行晕船情况和性别没有关系.
根据列联表中的数据可求得
χ2=
≈0.0756.
因为χ2<2.706,所以我们没有理由认为男人比女人更容易晕船.
1.当χ2>2.706时,就有________的把握认为“x与y有关系”.
答案 90%
解析 由临界值表知,
χ2>2.706时,有90%的把握认为x与y有关系.
2.下面2×2列联表的χ2=________(精确到0.001).
B
合计
A
40
58
98
31
64
95
合计
71
122
193
答案 1.390
解析 χ2=
≈1.390.
3.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是________.(填序号)
①若χ2>6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病;
②从独立性检验可知,有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,那么他有99%的可能患有肺病;
③若从χ2统计量中得出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有5%的可能性使得推断出现错误.
答案 ③
解析 对于①,99%的把握是通过大量的试验得出的结论,这100个吸烟的人中可能全患肺病也可能都不患,是随机的,所以①错;对于②,某人吸烟只能说其患病的可能性较大,并不一定患病;③的解释是正确的.
4.某学校对高三学生作了一项调查,发现:
在平时的模拟考试中,性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张,性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张.根据以上数据建立2×2列联表.
解 作列联表如下:
性格内向
性格外向
总计
考前心情紧张
332
213
545
考前心情不紧张
94
381
475
总计
426
594
1020
5.为研究学生的数学成绩与学生学习数学的兴趣是否有关,对某年级学生作调查,得到如下数据:
成绩优秀
成绩较差
合计
兴趣浓厚的
64
30
94
兴趣不浓厚的
22
73
95
合计
86
103
189
学生的数学成绩好坏与对学习数学的兴趣是否有关?
解 由公式得:
χ2=
≈38.459.∵38.459>10.828,∴有99.9%的把握认为,学生学习数学的兴趣与数学成绩是有关的.
1.独立性检验的思想:
先假设两个事件无关,计算统计量χ2的值.若χ2值较大,则拒绝假设,认为两个事件有关.
2.独立性检验的步骤:
(1)作出假设H0:
Ⅰ与Ⅱ没有关系;
(2)计算χ2的值;(3)和临界值比较作出判断.
一、填空题
1.下面是一个2×2列联表:
y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
8
25
33
总计
b
46
则表中a、b处的值分别为________,________.
答案 52 60
解析 由列联表知,a=73-21=52,b=a+8=52+8=60.
2.为了检验两个事件A,B是否相关,经过计算得χ2=8.283,则说明事件A和事件B________(填“相关”或“无关”).
答案 相关
解析 由χ2>6.635,则有99%的把握认为事件A和事件B相关,可知,事件A与事件B有关.
3.考察小麦种子经过灭菌与否跟发生黑穗病的关系,经试验观察,得到如下数据.试推断有________的把握认为种子灭菌与发生黑穗病有关.
种子灭菌
种子未灭菌
合计
有黑穗病
26
184
210
无黑穗病
50
200
250
合计
76
384
460
答案 95%
解析 χ2=
≈4.804.
由于4.804>3.841,所以我们有95%的把握认为种子灭菌与发生黑穗病是有关系的.
4.为了评价某个电视栏目的改革效果,在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查,经过计算χ2=99.9,根据这一数据分析,下列说法正确的是________(只填序号).
①有99.9%的人认为该栏目优秀;
②有99.9%的人认为栏目是否优秀与改革有关系;
③有99.9%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系;
④以上说法都不对.
答案 ③
5.分类变量X和Y的列表如下,则下列说法判断正确的是________.(填序号)
y1
y2
总计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
①ad-bc越小,说明X与Y的关系越弱;
②ad-bc越大,说明X与Y的关系越强;
③(ad-bc)2越大,说明X与Y的关系越强;
④(ad-bc)2越接近于0,说明X与Y的关系越强.
答案 ③
6.某市政府在调查市民收入增减与旅游愿望的关系时,采用独立性检验法抽查了3000人,计算发现χ2=6.023,根据这一数据查表,市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系,这一断言犯错误的概率不超过________.
答案 0.025
解析 由P(χ2≥5.024)=0.025可知,这一断言犯错误的概率不超过0.025.
7.某县对在职的71名高中数学教师就支持新的数学教材还是支持旧的数学教材做了调查,结果如下表所示:
支持新教材
支持旧教材
合计
教龄在15年以上的教师
12
25
37
教龄在15年以下的教师
10
24
34
合计
22
49
71
根据此资料,教龄的长短与支持新的数学教材________关(填“有”或“无”).
答案 无
解析 由公式得χ2=
=
≈0.0756.
∵χ2<2.706.∴我们没有理由认为教龄的长短与支持新的数学教材有关.
8.在2×2列联表中,若每个数据变为原来的2倍,则卡方值变为原来的________倍.
答案 2
解析 由公式χ2=
中所有值变为原来的2倍,得(χ2)′=
=2χ2,故卡方也变为原来的2倍.
9.根据下面的列联表得到如下四个判断:
①至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”;②至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”;③在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”;④在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关”.
嗜酒
不嗜酒
总计
患肝病
700
60
760
未患肝病
200
32
232
总计
900
92
992
其中正确命题的个数为________.
答案 2
解析 由列联表中数据可求得
χ2=
≈7.349>6.635,
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“患肝病与嗜酒有关”,即至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关系”.因此②③正确.
10.假设有两个分类变量X与Y,它们的可能取值分别为
和
,其2×2列联表为:
y1
y2
总计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
以下各组数据中,对于同一样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为________.
①a=5,b=4,c=3,d=2;
②a=5,b=3,c=4,d=2;
③a=2,b=3,c=4,d=5;
④a=2,b=3,c=5,d=4.
答案 ④
解析 比较|ad-bc|.①中,|10-12|=2;②中,|10-12|=2;③中,|10-12|=2;④中,|8-15|=7.故填④.
二、解答题
11.打鼾不仅影响别人休息,而且可能与患某种疾病有关.下表是一次调查所得的数据,试问:
每一晚都打鼾与患心脏病有关吗?
患心脏病
未患心脏病
合计
每一晚都打鼾
30
224
254
不打鼾
24
1355
1379
合计
54
1579
1633
解 假设每一晚都打鼾与患心脏病无关,则有
由χ2=
得,
χ2=
=68.033.
∵68.033>10.828.
∴有99.9%的把握认为每一晚都打鼾与患心脏病有关.
12.研究人员选取170名青年男女大学生为样本,对他们进行一种心理测验.发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是:
作肯定的有22名,否定的有38名;110名男生在相同的项目上作肯定的有22名,否定的有88名.问:
性别与态度之间是否存在某种关系?
用独立性检验的方法判断.
附:
P(χ2≥x0)
0.10
0.05
0.025
x0
2.706
3.841
5.024
解 根据题目所给数据建立如下2×2列联表:
肯定
否定
总计
男生
22
88
110
女生
22
38
60
总计
44
126
170
根据2×2列联表中的数据得到:
χ2=
≈5.622>5.024.
所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下,认为“性别与态度有关系”.
13.下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表:
得病
不得病
总计
干净水
52
466
518
不干净水
94
218
312
总计
146
684
830
(1)这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关,请说明理由;
(2)若饮用干净水得病5人,不得病50人;饮用不干净水得病9人,不得病22人.
按此样本数据分析这种疾病是否与饮用水的卫生程度有关,并比较两种样本在反映总体时的差异.
解
(1)提出假设H0:
传染病与饮用水的卫生程度无关.
由公式得χ2=
≈54.212.
因为54.212>10.828.
因此我们有99.9%的把握认为该地区这种传染病与饮用水的卫生程度有关.
(2)依题意得2×2列联表:
得病
不得病
总计
干净水
5
50
55
不干净水
9
22
31
总计
14
72
86
此时,χ2=
≈5.785.
由于5.785>5.024,所以我们有97.5%的把握认为该种传染病与饮用水的卫生程度有关.
两个样本都能统计得到传染病与饮用水的卫生程度有关这一相同结论,但第
(1)问中我们有99.9%的把握肯定结论的正确性,第
(2)问中我们只有97.5%的把握肯定结论的正确性.
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