混沌matlab模拟.docx

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混沌matlab模拟

1.Lorenz模型

洛仑兹在研究天气的不可预测性时，从流体的运动方程出发，通过简化方程获得了具有三个自由度的系统

其中x、y、z为无量纲量，分别表征对流强度，对流中升流与降流间的温差和竖直方向温度分布的非线性度。

任意给定初值，系统最终都会回到状态空间的特定区域内

若状态轨迹经过一段时间之后停在一个不动点上，那么意味着系统进入了一个稳定的状态，这相轨迹将是一个平庸吸引子。

然而，事实上，相轨迹在两片上“随机”地跳来跳去，说明系统的状态演变着有某种规律性，这种相图不对应任何一种定常状态，因此，被称为奇异吸引子，又称洛仑兹吸引子。

m.functiondx=Lorenz（t,x）

dx=[10*（x

（2）-x

（1））;28*x

（1）-x

（1）*x（3）-x

（2）;x

（1）*x

（2）-（8/3）*x（3）];

end

[T,X]=ode45（'Lorenz',[0,30],[12;4;0]）;

vx=10*（X（:

2）-X（:

1））;

vy=28*（X（:

1）-X（:

1）.*X（:

3）-X（:

2））;vz=X（:

1）.*X（:

2）-（8/3）*X（:

3）;

>>subplot（2,2,1）;plot3（X（:

1）,X（:

2）,X（:

3））

>>subplot（2,2,2）;plot（X（:

1）,vx）

>>subplot（2,2,3）;plot（X（:

2）,vy）

>>subplot（2,2,4）;plot（X（:

3）,vz）

2.虫口

xn=gnx0

x0是开始计算的那一代人口数。

只要g>1，xn很快就趋向无穷大，发生“人口爆炸”。

这样的线性模型，不能完全反应人口的变化规律，但是稍加修正，就可以称为描述某些没有世代交叠的昆虫数目的虫口方程。

虫口数目太多时，由于争夺有限的食物和生存空间发生咬斗，由于接触传染而导致疾病蔓延，争斗使虫口数目减少的事件，这些事件的数目比例于xn2，于是方程可以修正为：

xn+1=gxn（1-xn）

取g=2,x0=0.9,x1=0.18,…,xn=0.5，它停在那儿不动了。

即在xn=0.5处有一个点吸引子，一个稳定定态。

若追踪这个种群，则会发现种群数目随着时间的演化而保持稳定的数值。

振荡称为周期2循环，即若跟踪种群，会发现种群数目每隔一年，数目重复循环一次，就象有些果树有大年小年一样，x1n和x2n也是定点吸引子。

继续增加g值，还可得周期4循环，周期8循环，周期16循环等等。

每一次解的周期都增加一倍。

当g达到某一临界值时，继续增加，迭代结果再也不循环了，而是疯狂地振荡，永远也不会稳定下来，我们称为混沌态。

若以g为横坐标，迭代结果为纵坐标，可得分岔图。

从临界值开始，逻辑斯蒂映射进入了混沌区，在这种情况下，种群的数目就完全不能预测了。

（1）g=1,2,4时对应迭代次数和最后

的关系

symsx0

fork=1:

3

t=0;x0=0.8;g=2^（k-1）;

while（t<20）

t=t+1;

x0=g*x0*（1-x0）;

u（t,:

）=x0;

v（t,:

）=t;

end

subplot（1,3,k）;plot（v,u,'.'）

end

（2）若以g为横坐标，迭代稳定结果为纵坐标，得分岔图。

symsx0

forn=1:

401

g=[0:

0.01:

4];

t=0;x0=0.8;

while（t<100）

if（t>50）

t=t+1;

x0=g（n）*x0*（1-x0）;

u（t,:

）=x0;

v（t,:

）=g（n）;

plot（v（t,:

）,u（t,:

）,'.'）

holdon

else

t=t+1;

x0=g（n）*x0*（1-x0）;

end

end

end

grid

从上图可以看出

g（0~3）一倍解，（3~3.45）二倍解，（3.45~3.55）四倍解，（3.6）八倍解

3.单摆（

）

单摆是在悬挂的细线的另一端连接着一个小球（如图所示）。

单摆又称数学摆，是物理学中最简单的模型之一。

可以认为，细线的质量可以忽略，且是刚性的。

系统质量集中在可视为质点的小球上。

设摆长为l，小球质量为m，相对于平衡的下垂位置的角度为θ，重力加速度为g。

则其运动方程为（方程中加上了阻尼，驱动）

无阻尼相图：

s=dsolve（'D2s+9.8*s=0','s（0）=0.01,Ds（0）=0'）

s=

cos（（7*5^（1/2）*t）/5）/100

v=diff（s,1）

v=

-（7*5^（1/2）*sin（（7*5^（1/2）*t）/5））/500

ezplot（s,v）

有阻尼无驱动相图

functiondy=L（t,y）

dy=[y

（2）;-sin（y

（1））-0.5*y

（2）];

end

[t,Y]=ode45（'L',[0,50],[0.01;0]）;

plot（Y（:

1）,Y（:

2））

有阻尼有驱动相图

functiondy=L（t,y）

dy=[y

（2）;0.5*cos（（2/3）*t）-sin（y

（1））-0.5*y

（2）];

end

[t,Y]=ode45（'L',[0,100],[0.01;0]）;

>>plot（Y（:

1）,Y（:

2））

一倍周期区间（0.5~1.1）代表A=1

四倍周期（A=1.6）

二倍周期（1.3~1.4）代表A=1.35

混沌（A=1.2orA>1.7）

1倍周期相图

2倍周期

图

4倍周期相图