复合函数资料.doc
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复合函数
复合函数是中学数学里,深化函数概念、提高运用函数思想解决数学问题能力的重要工具,是进一步学习高等数学的重要基础,也是历年高考常考不衰的热点。
但高中数学教材未作介绍,而其他教辅资料上也仅给出描述性的非严格定义,因此,高一数学教学与高考数学复习中,介绍有关内容很有必要。
一、复合函数的概念
我们常见的复合函数的描述性定义是:
如果是的函数,而又是的函数,即,,那么关于的函数叫做函数和的复合函数,叫做中间变量。
例如它与不同,不是基本初等函数,而是由三角函数和一次函数经过“复合”而成的一个函数。
由于上述定义中对“复合”的定义没有明确界定,因而很多同学对复合函数的概念似是而非,含混不清,为此,我们精读这个定义,字斟句酌,纠错补缺,以使我们正确理解复合函数的概念。
1、由字面理解
“复合”本来是指“合在一起,结合起来”的意思,但在复合函数的定义中,对复合步骤的方式有特殊的约定。
它不是泛指把几个简单函数随意地结合在一起,例如用四则运算把它们结合起来,得到的形如或的函数,而是专指把几个映射,像工厂中的生产流水线,依先后顺序合在一起,对同一自变量逐次映射,构作的一个复合映射确定的函数。
这里的几个映射可以相同,也可以不同,但只能是常数与基本初等函数间进行的幂运算、指数运算、对数运算、三角运算、反三角运算等。
自变量像被加工的零件依次通过第一个映射后到第二个映射,一直到通过全部映射。
例如,复合函数是自变量先“乘”(第一次映射),再“取正弦”(第二次映射),最后得到关于的一个函数,因此有人说复合函数是函数的函数。
为了叙述和应用的方便,我们通常用“层”来描述上述不同的映射所对应的函数。
从外向内看,函数中,称定义的函数为外层函数(外函数),称定义的函数为内层函数(内函数),且称函数为函数和复合一次得到。
这里外层函数的映射法则和内层函数的映射法则,构作的复合函数的映射法则称为复合映射(注意:
不能把读作“乘”,因为复合映射不具有交换律,即,这是复合映射很重要的一个基本特征)。
有人形容复合映射是具有传递性的两个映射和的链条,可以帮助我们理解复合函数的内涵。
2、从函数定义理解
既然函数可视为函数和函数复合得到,因此它们都必须符合函数的定义,这才是复合函数定义的关键所在。
除前面对复合映射结构特征的分析外,我们还须从定义域和值域都是非空的数集出发,考察复合函数定义的相应要求。
设函数的定义域是,值域是;再设的定义域是,值域是,则都是非空的数集。
从“复合”中我们发现,内层函数具有两重性:
一方面它是自变量为的函数,当时,则有;另一方面它又是函数的自变量,当时,则有。
要使仍然是函数,就要求的值域和的定义域必须有交集(非空数集)。
∅是复合函数的一个必要但不充分的条件,也就是说,函数的定义域,既受到外层函数的映射法则的制约,又受到内层函数的值域的限定。
只看一面,不看另一面就会犯概念的错误。
有的同学不加分析地认为,任何两个函数都可以复合成一个复合函数,事实却不然,例如,等都不是复合函数,因为是对数函数,定义域必须符合,但,而,因此,于是可得∅,故不能构成复合函数。
同理,也不能构成复合函数(它们都不是函数)。
据此,反思前面给出的定义,我们发现这个定义是不严谨的,它忽视了构造复合函数过程中,各层子函数及它们复合后的整体都必须适合函数的定义。
为此,我们把定义补充为:
如果是的函数,而又是的函数,且对于值所对应的值,函数是有定义的,即,,,,∅,则关于的函数叫做和的复合函数。
3、从结构特征理解
除最内层函数允许对自变量施行加、乘运算外,每一次复合都是把内层函数的整体,作为自变量施行新的映射,这样,像穿衣服一样,从内到外逐次添加映射,直至构造出所需函数。
这一独特的发生过程,不仅给出了复合函数的结构特征,使我们能迅速判断已知函数式是不是一个复合函数,而且也使我们明白了,复合函数不是一类新的独立的基本初等函数,而是几个简单函数的特殊构造,因次,我们可以先分析参与复合的简单函数的性态,来研究复合函数的相应属性。
4、从穿脱原理理解
穿脱原理是复合函数与简单函数相互转化的工具,由它可将简单函数构造成复合函数,也可将复合函数分拆为简单函数。
先看复合,例如由,,,欲得到复合函数,可从外层函数开始,逐次代换添加映射,每代换一次增加一个映射,即,最后得到关于的复合函数。
一般地,由,,的复合过程可记为。
再看分拆,例如函数可以从外层函数开始逐层分拆为简单函数,每拆一层,设一个中间变量,即最外层函数记为,第二层记为,第三层记为,第四层记为。
上述多次令中间变量进行的代换,叫做连续代换或锁链代换,实质上是换元法。
穿脱原理从发生过程深化了复合函数的概念,在复合函数的性态研究中,具有重要作用。
例如求复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、极值、反函数时都需要它,一些重要运算,如求导、微分等更要依靠它。
二、复合函数的简单性质
在中学,我们可以探讨复合函数的哪些性质呢?
和常见的基本初等函数一样,我们可以探讨复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、极值与最值。
探讨过程中,最关键的是要注意复合映射的多层制约,是否使复合函数仍有定义,研究它的每一层映射对复合函数性质的影响。
1、求定义域因为多层复合映射结构复杂,所以使得求复合函数定义域的题型形式多样,现列举主要题型如下。
(1)已知复合函数的表达式,求复合函数的定义域。
将已知复合函数正确地拆成几个常见的简单函数,根据使函数解析式有定义的要求,由外到内,列出所有限制条件对应的不等式,所得不等式组的解集就是复合函数的定义域。
①求函数的定义域。
解:
要使函数有意义,须满足
(使根式有意义),
(使对数有意义),
(使对数有意义),
解得或,
故所求函数的定义域为。
(2)已知函数的定义域,求复合函数的定义域。
因为代表同一映射,只需用代换法则,先将原函数的定义域写成的不等式,再将换成中间变量,解所得不等式即可。
②已知函数的定义域是,求函数的定义域。
解:
由题设知,,即,
,或,。
故函数的定义域是
。
(3)已知复合函数的定义域,求外层函数的定义域。
实质是从已知复合函数中的取值范围,求出这个复合函数的中间变量的范围(或内层函数的值域)。
③已知函数的定义域是,求函数的定义域。
解:
由得,,
,,
故函数的定义域是。
2、求函数表达式中学阶段,求复合函数表达式大致可归纳为两种题型,一是已知各层子函数的映射法则,求复合函数的表达式;二是已知复合函数适合的函数方程,求复合函数的表达式。
(1)已知中间变量,求复合函数
用代换法则像求函数值一样,从内向外逐次将内层函数的表达式,代换外层函数的自变量解出。
每次代换只看一层,只代换一个中间变量。
函数的映射法则是对自变量单定义的,故复合函数的表达式最终也须将表达式用单的运算表示。
④已知函数,求函数的表达式。
解:
,
(2)已知复合函数,求原函数
关键是沟通中间变量与复合函数表达式间的映射关系,找到原函数,用中间变量的整体作自变量的映射法则,常用配凑法、换元法、待定系数法等。
⑤已知,求。
解:
令,则,所以;
,,即,
故,。
(3)已知复合函数适合的函数方程,求复合函数的表达式
中学只涉及简单的函数方程,因此,关键是将所求复合函数看作未知变量,根据函数方程的结构特征,采用代换方法建立方程组,消元解之。
⑥已知,其中,为奇数,求函数。
解:
由题意可知,令,由于为奇数,故有
;
结合已知条件,可解得,
又因为,为奇数,故。
(4)已知复合函数,求与外层函数映射法则相同的另一复合函数
先由已知的复合函数求原函数,再由原函数求另一复合函数。
⑦已知,求函数。
解:
设,则,有,
;
故。
3、求值域在复合函数定义域内,先求出最内层函数的值域,再用它作为中间函数的“自变量”,求出中间函数值域,依次外推直至求出最外层函数的值域。
⑧求函数,的值域。
解:
,;
又是减函数,
故所求函数的值域是。
4、判断函数奇偶性通常方法是根据奇偶性的定义进行判断,容易产生的一类负迁移是:
认为构成复合函数的每层简单函数都要有奇偶性时,复合函数才有奇偶性,这是错误的。
例如函数,可拆成,,易知外层函数不具有奇偶性,但内层函数是偶函数,由定义可知是偶函数。
当复合函数各层子函数都有奇偶性时,可用下列法则判断它的奇偶性。
定理当内层函数为偶函数时,复合函数为偶函数(此时可为任意函数),简记为“内偶则偶”。
定理当内层函数为奇函数时,若外层函数为奇函数,则复合函数为奇函数;若外层函数为偶函数,则复合函数为偶函数,简记为“内奇外奇则为奇”、“内奇外偶则为偶”。
5、判断函数单调性通常做法仍然是由函数单调性的定义判断,但若其中某层中间变量没有单调性时,则复合函数无单调性。
只有复合函数的各层子函数在定义域上均为严格单调函数时,复合函数才具有单调性,并可用下列法则判断复合函数的单调性。
定理当,均为增函数时,则复合函数为增函数;当,均为减函数时,则复合函数为增函数,简记为“同向为增”。
定理当为增函数,为减函数,或为减函数,为增函数时,则复合函数为减函数,简记为“异向为减”。
以上定理可推广至层复合函数,即:
定理若有限次复合函数的每层子函数均有意义且严格单调,则减函数的层数为偶数时,复合函数为增函数;减函数的层数为奇数时,复合函数为减函数。
6、求函数周期性
(1)由周期函数的定义易知,关键是最内层函数是否有周期性,当最内层函数为周期函数时,复合函数必为周期函数,但最小正周期可能改变。
例如函数,由,复合得到,内层函数为周期函数,,则仍为周期函数,但。
若外层函数为严格单调函数,内层函数是以为周期的函数,并且有最小正周期,则复合函数是周期函数,并且有最小正周期。
(2)当内层函数无周期性,外层函数有周期性时,应由周期函数的定义判断。
特殊情形可由下列定理判断:
定理若外层函数是以为周期的函数,且则复合函数是周期函数,周期为。
定理若外层函数为周期函数,且函数为偶函数,,则复合函数是周期函数。
7、求函数的最值
(1)已知复合函数的表达式,求复合函数的最值
若外层函数是严格单调函数,内层函数有最值时,内层函数的最值点就是复合函数的最值点;若外层函数有最值时,外层函数的最值点就是复合函数的最值点。
若外层函数与内层函数都是严格单调函数时,复合函数的值域为开区间,则复合函数无最值;值域为闭区间,则复合函数既有最大值,也有最小值;值域为半开半闭区间,则复合函数只有最大值而无最小值,或只有最小值而无最大值。
⑨已知,求函数的最值。
解:
,
令,由知,
,
当时,;
当时,。
(2)已知复合函数,求原函数的最值
先由复合函数求得原函数,再求原函数的最值。
⑩已知,求函数的最值。
解:
令,则,于是得,
,;
即,
当时,;当时,因,故,
,且当时,;当时,。
8、求反函数当复合函数的各层子函数均为严格单调函数时,有反函数。
一般先逐层求出各层子函数的反函数,然后复合为原函数的反函数,或用穿脱原则从外到内依次取原映射的逆映射。
注意由原函数的值域写出它的反函数的定义域。
例题求函数的反函数。
解:
,,故,
又,,
故所求反函数为,。
三、复合函数的图象
作复合函数的图象一般都比较复杂,这里仅介绍用图象变换法作复合函数的图象。
当复合函数可视为由常见的简单函数经过平移、伸缩、对称等变换得到时,可由简单函数的图象施行图象变换作出复合函数的图象。
例题作函数的图象。
解:
原函数的图象可由函数的图
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