高三上学期第一次诊断考试数学试题 含答案.docx
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高三上学期第一次诊断考试数学试题含答案
2021年高三上学期第一次诊断考试数学试题含答案
一、填空题(每小题5分,计70分)
1.已知集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则A∪B中元素的个数为▲.
2.已知复数满足(为虚数单位),则的模为▲.
3.已知命题,.若命题是真命题,则实数的取值范围是▲
4.在平面直角坐标系中,已知向量a=(1,2),(3,1),则▲.
5.函数的最小正周期为▲.
6.已知直线:
和:
,则的充要条件是▲.
7.已知为锐角,,则▲.
8.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若,则角A的大小为▲.
9.在中,,,则以为焦点且过点的椭圆的离心率为▲.
10.如图,四边形ABCD是边长为1的菱形,,E是BC的中点,则=▲.
11.已知点关于直线的对称点为,则圆关于直线对称的圆的方程为▲.
12.已知,若实数满足,则的最小值是▲.
13.已知曲线存在垂直于轴的切线,函数在上单调递增,则的范围为▲.
14.已知函数是定义域为上的偶函数,当时,
若关于的方程有且仅有8个不同实数根,则实数的取值范围是▲.
二、解答题(共6道题,计90分)
15.(本题满分14分)
已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|a-b|=2.
(1)求a·b的值;
(2)求|a+b|的值.
16.(本题满分14分)
已知函数
(1)求的值;
(2)求的最大值及相应的值.
17.(本题满分15分)
已知命题:
关于实数的方程有两个不等的负根;命题:
关于实数的方程无实根.
(1)命题“或”真,“且”假,求实数的取值范围.
(2)若关于的不等式的解集为M;命题为真命题时,的取值集合为N.当时,求实数的取值范围.
18.(本题满分15分)
给定椭圆C:
+
=1(a>b>0),称圆C1:
x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”.已知椭圆C的离心率为
,且经过点(0,1).
(1)求实数a,b的值;
(2)若过点P(0,m)(m>0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点,且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2
,求实数m的值.
19.(本题满分16分)
右图为某仓库一侧墙面的示意图,其下部是一个矩形ABCD,上部是圆弧AB,该圆弧所在圆的圆心为O.为了调节仓库内的湿度和温度,现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH(其中E,F在圆弧AB上,G,H在弦AB上).过O作OP⊥AB,交AB于M,交EF于N,交圆弧AB于P.已知OP=10,MP=6.5(单位:
m),记通风窗EFGH的面积为S(单位:
m2).
(1)按下列要求建立函数关系式:
(i)设∠POF=θ(rad),将S表示成θ的函数;
(ii)设MN=x(m),将S表示成x的函数;
(2)试问通风窗的高度MN为多少时,通风窗EFGH的面积S最大?
20.(本题满分16分)
设是定义在上的奇函数,函数与的图象关于轴对称,且当时,.
(1)求函数的解析式;
(2)若对于区间上任意的,都有成立,求实数的取值范围.
江苏省运河中学xx学年度高三第一次诊断考试
数学答题纸
一、填空题:
本大题共14小题,共计70分
1.________________2._____________3._______________4.____________
5._______________6.______________7._______________8.____________
9._______________10.____________11.______________12.___________
13._______________14._______________
二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分14分)
16.(本小题满分14分)
17.(本小题满分15分)
18.(本小题满分15分)
19.(本小题满分16分)
20.(本小题满分16分)
江苏省运河中学xx学年度高三第一次诊断考试
数学附加题
(满分40分,考试时间30分钟)
21.【选做题】本题包括A,B,C,D共4小题,请从这4题中选做2小题,每小题10分,共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4-1:
几何证明选讲(本小题满分10分)
如图,⊙O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD交⊙O于点E,连接BE与AC交于点F.
(1)判断BE是否平分∠ABC,并说明理由;
(2)若AE=6,BE=8,求EF的长.
B.选修4-2:
矩阵与变换(本小题满分10分)
已知矩阵A=
,若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=
,属于特征值1的一个特征向量为α2=
.求矩阵A,并写出A的逆矩阵.
C.选修4-4:
坐标系与参数方程(本小题满分10分)
已知曲线的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为轴的非负半轴建立
平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数),求直线被曲线截得的线段长度.
D.选修4-5:
不等式选讲(本小题满分10分)
设x,y,z为正数,证明:
【必做题】(第22、23题每题10分.共20分。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
某部队进行射击训练,每个学员最多只能射击4次,学员如果2次命中目标,那么就不
再进行射击,假设某学员每次命中的概率都是,每次射击互相独立.
(1)求该学员在前两次射击中至少有一次命中的概率;
(2)记该学员射击的次数为,求的分布列及的数学期望.
23.(本小题满分10分)
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分别是线段AB、BC上的点,且EB=FB=1.
(1)求直线EC1与FD1所成角的余弦值;
(2)求二面角C-DE-C1的平面角的正切值.
江苏省运河中学xx学年度高三第一次诊断考试
数学附加题(答题纸)
(满分40分,考试时间30分钟)
21.【选做题】本题包括A,B,C,D共4小题,请从这4题中选做2小题,每小题10分,共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4-1:
几何证明选讲(本小题满分10分)
B.选修4-2:
矩阵与变换(本小题满分10分)
C.选修4-4:
坐标系与参数方程(本小题满分10分)
D.选修4-5:
不等式选讲(本小题满分10分)
【必做题】(第22、23题每题10分.共20分。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
23.(本小题满分10分)
江苏省运河中学xx学年度高三第一次诊断考试
数学试题答案
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应位置)
1、6.2、1-i3、4、05、6、7、
8、9、10、111、12、7
13、14.
二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.解:
(1)由|a-b|=2,得|a-b|a2a·bba·b,∴a·b.
(2)|a+b|aa·bb,∴|a+b|.…14分
16、
(1)
……………………2分
…………6分
(1)
………10分
,………………………12分
当时,,
此时,即,………………14分
17、解:
(1)若方程有两不等的负根,则解得即命题:
,
若方程无实根,则Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0
解得:
1<m<3.即命题:
1<m<3.
由题意知,命题p、q应一真一假,
即命题p为真,命题q为假或命题p为假,命题q为真.∴
解得:
m≥3或1<m≤2.
(2)
(2)∵∴
,解得:
.
18、解:
(1)记椭圆C的半焦距为c.
由题意,得b=1,
=
,c2=a2+b2,
解得a=2,b=1.………………4分
(2)由
(1)知,椭圆C的方程为
+y2=1,圆C1的方程为x2+y2=5.
显然直线l的斜率存在.
设直线l的方程为y=kx+m,即kx-y+m=0.………………6分
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,
故方程组
(*)有且只有一组解.
由(*)得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.
从而△=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)=0.
化简,得m2=1+4k2.①……………………10分
因为直线l被圆x2+y2=5所截得的弦长为2
,
所以圆心到直线l的距离d=
=
.
即
=
.②…………………14分
由①②,解得k2=2,m2=9.
因为m>0,所以m=3.…………………16分
19、解:
(1)由题意知,OF=OP=10,MP=6.5,故OM=3.5.
(i)在Rt△ONF中,NF=OFsinθ=10sinθ,ON=OFcosθ=10cosθ.
在矩形EFGH中,EF=2MF=20sinθ,FG=ON-OM=10cosθ-3.5,
故S=EF×FG=20sinθ(10cosθ-3.5)=10sinθ(20cosθ-7).
即所求函数关系是S=10sinθ(20cosθ-7),0<θ<θ0,其中cosθ0=
.
…………4分
(ii)因为MN=x,OM=3.5,所以ON=x+3.5.
在Rt△ONF中,NF=
=
=
.
在矩形EFGH中,EF=2NF=
,FG=MN=x,
故S=EF×FG=x
.
即所求函数关系是S=x
,0<x<6.5.…………8分
(2)方法一:
选择(i)中的函数模型:
令f(θ)=sinθ(20cosθ-7),
则f′(θ)=cosθ(20cosθ-7)+sinθ(-20sinθ)=40cos2θ-7cosθ-20.…………10分
由f′(θ)=40cos2θ-7cosθ-20=0,解得cosθ=
,或cosθ=-
.
因为0<θ<θ0,所以cosθ>cosθ0,所以cosθ=
.
设cosα=
,且α为锐角,
则当θ∈(0,α)时,f′(θ)>0,f(θ)是增函数;当θ∈(α,θ0)时,f′(θ)<0,f(θ)是减函数,
所以当θ=α,即cosθ=
时,f(θ)取到最大值,此时S有最大值.
即MN=10cosθ-3.5=4.5m时,通风窗的面积最大.…………16分
方法二:
选择(ii)中的函数模型:
因为S=
,令f(x)=x2(351-28x-4x2),
则f′(x)=-2x(2x-9)(4x+39).………10分
因为当0<x<
时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当
<x<
时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
所以当x=
时,f(x)取到最大值,此时S有最大值.
即MN=x=4.5m时,通风窗的面积最大.…………16分
20、解:
(1)∵的图象与的图象关于y轴对称,
∴的图象上任意一点关于轴对称的对称点在的图象上.
当时,,则.…2分
∵为上的奇函数,则.…………4分
当时,,.……6分
∴………………7分
(1)由已知,.
①若在恒成立,则.
此时,,在上单调递减,,
∴的值域为与矛盾.……………11分
②当时,令,
∴当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
∴
.
由,得.……………15分
综上所述,实数的取值范围为.……………16分
江苏省运河中学xx学年度高三第一次诊断考试
数学试题附加题答案
21A.⑴BE平分∠ABC.………1分
∵CD=AC,∴∠D=∠CAD.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB
∵∠EBC=∠CAD,∴∠EBC=∠D=∠CAD.……………………4分
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ACB=∠D+∠CAD,
∴∠ABE=∠EBC,即BE平分∠ABC.……………………6分
⑵由⑴知∠CAD=∠EBC=∠ABE.
∵∠AEF=∠AEB,∴△AEF∽△BEA.……………………8分
∴,∵AE=6,BE=8.
∴EF=.……………………10分
21B、解:
由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=
可得,
=6
,
即c+d=6;………………………………………3分
由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2=
,可得
=
,
即3c-2d=-2,…………………………………………6分
解得
即A=
,…………………………8分
A逆矩阵是
21C.解:
将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为,
即,它表示以为圆心,2为半径的圆,…………………………4分
直线方程的普通方程为,………………………………6分
圆C的圆心到直线l的距离,…………………………………………………8分
故直线被曲线截得的线段长度为.…………………10分
21D.因为
所以…………………4分
同理,…………………6分
三式相加即可得
又因为
所以
…………10分
22.
(1)记“该学员在前两次射击中至少有一次命中”的事件为事件A,则
P(A)=. …………………………………………………3分
答:
该学员在前两次射击中至少有一次命中的概率为.…………………4分
(2)学员射击次数的可能取值为2,3,4,且
,,,
2
3
4
P
故的分布列为:
………7分
∴的数学期望为:
.………………10分
23.以A为原点,分别为x轴,y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系A-xyz,
则有D(0,3,0),D1(0,3,2),E(3,0,0),F(4,1,0),C1(4,3,2).
∴,.…2分
(3)设EC1与FD1所成角为β,则
.……… 4分
(2)设向量为平面C1DE的法向量,则有
.
∴,取n0=(-1,-1,2),
则n0是平面C1DE的一个法向量.…………………………………6分
又向量=(0,0,2)是平面CDE的一个法向量.
经检验,n0与所成的角θ即为二面角C-DE-C1的平面角.…………8分
∵
,∴.………10分
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