北师大版数学九年级上册第1章特殊平行四边形单元测试题及答案.docx
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北师大版数学九年级上册第1章特殊平行四边形单元测试题及答案
2019年北师大版数学九年级上册第1章特殊平行四边形单元测试题
(时间:
90分钟 满分:
120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.如图所示,在菱形ABCD中,∠BAD=120°.已知ΔABC的周长是15,则菱形ABCD的周长是( )
A.25B.20
C.15D.10
2.四边形ABCD中,O是对角线的交点,下列条件中能判定此四边形是正方形的是( )
①AC=BD,AB∥CD,AB=CD;②AD∥BC,∠BAD=∠BCD;③AO=CO,BO=DO,AB=BC;④AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.RtΔABC中,CD是斜边AB上的高,∠A=25°,则∠BCD度数为( )
A.25°B.65°C.15°D.35°
4.如图所示,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上任意一点,则PK+QK的最小值为( )
A.1B.
C.2D.
+1
5如图所示,一个矩形纸片,剪去部分后得到一个三角形,则图中∠1+∠2的度数是( )
A.30°B.60°C.90°D.120°
6.如图
(1)所示,将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小矩形,得到一个“图案”,如图
(2)所示,再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形,如图(3)所示,则新矩形的周长可表示为( )
A.2a-3bB.4a-8b
C.2a-4bD.4a-10b
7.如图所示,小红在作线段AB的垂直平分线时,是这样操作的:
分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度的一半的长为半径画弧,相交于点C,D,则直线CD即为所求.连接AC,BC,AD,BD,根据她的作图方法可知四边形ADBC一定是( )
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形
8.如图所示,已知AC,BD是菱形ABCD的对角线,那么下列结论一定正确的是( )
A.ΔABD与ΔABC的周长相等
B.ΔABD与ΔABC的面积相等
C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
9.如图所示,在矩形ABCD中,边AB的长为3,点E,F分别在AD,BC上,连接BE,DF,EF,BD,若四边形BEDF是菱形,且EF=AE+FC,则BC的长为( )
A.2
B.3
C.6
D.
10.如图所示,在一张矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,点E,F分别在AD,BC上,将纸片ABCD沿直线EF折叠,点C落在AD上的一点H处,点D落在点G处,有以下四个结论:
①四边形CFHE是菱形;
②CE平分∠DCH;
③线段BF的取值范围为3≤BF≤4;
④当点H与点A重合时,EF=2
.
以上结论中,你认为正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点B,D作BF⊥a于点F,DE⊥a于点E,若DE=4,BF=3,则EF的长为 .
12.如图所示,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,若AB=2,AD=4,则图中阴影部分的面积为 .
13.如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点.若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积为 .
14.将相同的矩形卡片按如图所示的方式摆放在一个直角上,每个矩形卡片长为2,宽为1,以此类推,摆放2014个时,实线部分长为 .
…
15.如图所示,菱形ABCD中,AC,BD相交于点O,若∠BCO=55°,则∠ADO= °.
16.如图所示,在ΔABC中,点D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE=DF,给出下列条件:
①BE⊥EC;②BF∥EC;③AB=AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形,你认为这个条件是 (只填写序号).
三、解答题(共66分)
17.(6分)如图所示,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.求证OE=BC.
18.(6分)如图所示,在正方形ABCD中,点M是对角线BD上的一点,过点M作ME∥CD交BC于点E,作MF∥BC交CD于点F.求证AM=EF.
19.(8分)如图所示,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD的中点,连接AF,CE.
(1)求证ΔBEC≌ΔDFA;
(2)求证四边形AECF是平行四边形.
20.(8分)如图所示,在平行四边形ABCD中,以AC为斜边作RtΔAEC,使∠BED=90°,则四边形ABCD是矩形.试说明理由.
21.(9分)如图所示,已知矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠ACB=30°,AB=2.
(1)求AC的长;
(2)求∠AOB的度数;
(3)以OB,OC为邻边作菱形OBEC,求菱形OBEC的面积.
22.(9分)如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,D,E分别为AB,AC边上的中点,连接DE,将ΔADE绕点E旋转180°得到ΔCFE,连接AF,CD.
(1)求证四边形ADCF是菱形;
(2)若BC=8,AC=6,求四边形ABCF的周长.
23.(9分)如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE.
(1)求证CE=AD;
(2)当D为AB中点时,四边形BECD是什么特殊的四边形?
说明你的理由;
(3)若D为AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?
请说明你的理由.
24.(11分)问题情境:
如图
(1)所示,四边形ABCD是正方形,M是BC边上的一点,E是CD边的中点,AE平分∠DAM.
探究展示:
(1)求证AM=AD+MC;
(2)AM=DE+BM是否成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
拓展延伸:
(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,如图
(2)所示,探究展示
(1)
(2)中的结论是否成立?
请分别作出判断,不需要证明.
【答案与解析】
1.B
2.A
3.A
4.B
5.C(解析:
由题意得剩下的三角形是直角三角形,所以∠1+∠2=90°.故选C.)
6.B(解析:
每个小矩形的长为(a-b),宽为
(a-3b),则拼成的新矩形的周长为2[(a-b)+(a-3b)],化简得4a-8b.故选B.)
7.B(解析:
由题意知AC=BC=BD=AD,则四边形ADBC为菱形.故选B.)
8.B(解析:
根据菱形的性质,知ΔABD与ΔABC中有边AB=AB,AD=BC,很明显AC与BD不一定相等,所以选项A错误;根据平行线的性质:
平行线之间的距离处处相等,所以ΔABD与ΔABC为同底等高的两个三角形,所以它们的面积相等,所以选项B正确;选项C,D都是错误的.故选B.)
9.B(解析:
∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,∵四边形BEDF是菱形,∴DE=BF.∴AE=CF.∵EF=AE+FC,∴AE=OE.∴RtΔAEB≌RtΔOEB.∴AB=OB=3.∴BD=6.∴AD=BC=
=3
.故选B.)
10.C(解析:
∵FH与CG,EH与CF均为矩形ABCD中对边AD,BC上一部分,∴FH∥CG,EH∥CF,∴四边形CEHF是平行四边形,又由翻折的性质可得CF=FH,∴平行四边形CEHF是菱形,故①正确;由四边形CEHF是菱形,可知∠HCF=∠HCE,若CE平分∠DCH,只有∠DCE=30°,故②错误;当H与A重合时,设BF=x,则AF=FC=8-x,在RtΔABF中,AB2+BF2=AF2,即42+x2=(8-x)2,解得x=3,得到BF的最小值为3,当点G与点D重合时,CF=CD=4,∴BF=BC-CF=4,得到BF的最大值为4,∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4,故③正确;
如图所示,过点F作FM⊥AD于M,由③可知BF=HM=3,∴BC-BF=5,∵四边形CEHF是菱形,∴EH=CF=5,∴EM=EH-HM=2,∵在RtΔEMF中,MF=AB=4,∴EF=
=2
故④正确.故选C.)
11.7(解析:
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∴∠BAF+∠DAE=90°.∵BF⊥AF,DE⊥AE,∴∠AFB=∠DEA=90°,∠BAF+∠ABF=90°,∴∠ABF=∠DAE.在ΔAFB和ΔDEA中,∠ABF=∠DAE,∠AFB=∠AED,AB=AD,∴ΔAFB≌ΔDEA,∴AF=DE=4,AE=BF=3,∴EF=AF+AE=4+3=7.)
12.4
13.12
14.5035(解析:
第一个图形实线部分长为1+2=3;第二个图形实线部分长为1+2+2=5;第三个图形实线部分长为1+2+2+3=8;第四个图形实线部分长为1+2+2+3+2=10;第五个图形实线部分长为1+2+2+3+2+3=13;第六个图形实线部分长为1+2+2+3+2+3+2=15;….可以发现变化规律为:
第偶数个图形的实线部分长比前一奇数个图形的多2,后一奇数个图形的实线部分长比前一偶数个图形的多3.综合分析可以发现:
当矩形纸片n为偶数时,实线部分的长为5×
因此摆放2014个矩形时,实线部分长为5035.故填5035.)
15.35(解析:
∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AD∥BC.∴∠BOC=90°,∠CBO=∠ADO.∵∠BCO=55°,∴∠CBO=90°-55°=35°.∴∠ADO=35°.)
16.③(解析:
需添加条件③.理由:
∵点D是BC的中点,∴BD=DC,又∵DE=DF,∴四边形BECF为平行四边形,∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC,∴平行四边形BECF为菱形.故填③.)
17.证明:
∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.∴∠DOC=90°.∴四边形OCED是矩形.∴OE=CD.∵四边形ABCD是菱形,∴CD=BC.∴OE=BC.
18.证明:
连接MC.∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠ADM=∠CDM,又∵DM=DM,∴ΔADM≌ΔCDM,∴AM=CM.∵ME∥CD,MF∥BC,∴四边形CEMF是平行四边形,又∵∠ECF=90°,∴▱CEMF是矩形,∴EF=MC,又∵AM=CM,∴AM=EF.
19.证明:
(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD=BC,又∵E,F分别是边AB,CD的中点,∴BE=DF,∵在ΔBEC和ΔDFA中,BC=DA,∠B=∠D,BE=DF,∴ΔBEC≌ΔDFA(SAS).
(2)由
(1)得:
CE=AF,AE=CF.故可得四边形AECF是平行四边形.
20.解:
连接OE,因为四边形ABCD是平行四边形,所以AC,BD互相平分.又因为ΔBED,ΔAEC是直角三角形,且BD,AC是斜边,所以OE=
BD,OE=
AC.所以AC=BD.所以平行四边形ABCD是矩形.
21.解:
(1)在矩形ABCD中,∠ABC=90°,因为在RtΔABC中,∠ACB=30°,所以AC=2AB=4.
(2)由
(1)知在矩形ABCD中,AO=BO=2.又因为AB=2,所以ΔAOB是等边三角形,所以∠AOB=60°. (3)由勾股定理,得BC=
=2
SΔABC=
×2×2
=2
.所以SΔBOC=
SΔABC=
所以菱形OBEC的面积是2
.
22.
(1)证明:
∵ΔADE绕点E旋转180°得到ΔCFE,∴AE=CE,DE=EF,即AC与DF互相平分,∴四边形ADCF是平行四边形.∵D,E分别为AB,AC边上的中点,∴DE∥BC.∵∠ACB=90°,∴∠AED=90°,∴DF⊥AC,∴四边形ADCF是菱形.
(2)解:
在RtΔABC中,BC=8,AC=6,∴AB=
=10,又∵点D是AB边上的中点,∴AD=
AB=5,∵四边形ADCF是菱形,∴AF=FC=AD=5,∴四边形ABCF的周长=AB+BC+CF+AF=10+8+5+5=28.
23.
(1)证明:
∵DE⊥BC,∴∠DFB=90°.∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DFB,∴AC∥DE.∵MN∥AB,即CE∥AD,∴四边形ADEC是平行四边形,∴CE=AD.
(2)解:
四边形BECD是菱形.理由:
∵D为AB中点,∴AD=BD.由
(1)知CE=AD,∴BD=CE.又∵BD∥CE,∴四边形BECD是平行四边形.∵∠ACB=90°,D为AB中点,∴CD=BD,∴四边形BECD是菱形. (3)解:
当∠A=45°时,四边形BECD是正方形,理由:
∵∠ACB=90°,∠A=45°,∴∠ABC=∠A=45°,∴AC=BC.又∵D为AB中点,∴CD⊥AB,∴∠CDB=90°,由
(2)知四边形BECD是菱形,∴四边形BECD是正方形.
24.
(1)证明:
延长AE,BC交于点N,如图
(1)所示.∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC.∴∠DAE=∠ENC.∵AE平分∠DAM,∴∠DAE=∠MAE.∴∠ENC=∠MAE.∴MA=MN.在ΔADE和ΔNCE中,
∴ΔADE≌ΔNCE(AAS).∴AD=NC.∴MA=MN=NC+MC=AD+MC.
(2)解:
AM=DE+BM成立.证明:
过点A作AF⊥AE,交CB的延长线于点F,如图
(2)所示.∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB=AD,AB∥DC.∵AF⊥AE,∴∠FAE=90°.∴∠FAB=90°-∠BAE=∠DAE.在ΔABF和ΔADE中,
∴ΔABF≌ΔADE(ASA).∴BF=DE,∠F=∠AED.∵AB∥DC,∴∠AED=∠BAE.∵∠FAB=∠EAD=∠EAM,∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM.∴∠F=∠FAM.∴AM=FM.∴AM=FB+BM=DE+BM. (3)解:
(1)成立;
(2)不成立.
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