高中数学常用逻辑用语导学案习题.docx
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高中数学常用逻辑用语导学案习题
第一章常用逻辑用语
§1.1 命题及其关系
1.1.1 命 题
一、基础过关
1.下列语句中是命题的是( )
A.周期函数的和是周期函数吗?
B.sin45°=1
C.x2+2x-1>0
D.梯形是不是平面图形呢?
2.下列语句中是命题的为( )
①空集是任何集合的子集;
②若x>1,则x>2;
③3比1大吗?
④若平面上两条直线不相交,则它们平行;
⑤
=-2;
⑥x>15.
A.①②⑥B.①②④
C.①④⑤D.①②④⑤
3.下列说法正确的是( )
A.命题“正项等差数列的公差大于零”是真命题
B.语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题
C.“四边形是菱形”是真命题
D.语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”是假命题
4.已知a、b为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,且a⊥α,b⊥β,则下列命题中的假命题是( )
A.若a∥b,则α∥β
B.若α⊥β,则a⊥b
C.若a、b相交,则α、β相交
D.若α、β相交,则a、b相交
5.下列命题:
①mx2+2x-1=0是一元二次方程;②抛物线y=ax2+2x-1与x轴至少有一个交点;
③互相包含的两个集合相等;④空集是任何集合的真子集.其中真命题有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
6.下列命题:
①若xy=1,则x、y互为倒数;
②对角线垂直的平行四边形是正方形;
③平行四边形是梯形;
④若ac2>bc2,则a>b.
其中真命题的序号是________.
7.已知命题:
弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧.若把上述命题改为“若p,则q”的形式,则p是______________________,q是________________________.
二、能力提升
8.l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( )
A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3
B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3
C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面
D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面
9.对于向量a,b,c和实数λ,下列命题中为真命题的是( )
A.若a·b=0,则a=0或b=0
B.若λa=0,则λ=0或a=0
C.若a2=b2,则a=b或a=-b
D.若a·b=a·c,则b=c
10.给出下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中,是真命题的是________.(填序号)
11.判断下列语句是否是命题,并说明理由.
(1)若x+y是有理数,则x,y均为有理数.
(2)一条直线l与平面α不是平行就是相交.
(3)x2+2x-3<0.
12.把下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断其真假.
(1)等腰三角形的两个底角相等;
(2)当x=2或x=4时,x2-6x+8=0;
(3)正方形是矩形又是菱形;
(4)方程x2-x+1=0有两个实数根.
三、探究与拓展
13.设有两个命题:
p:
x2-2x+2≥m的解集为R;q:
函数f(x)=-(7-3m)x是减函数,若这两个命题中有且只有一个是真命题,求实数m的取值范围.
1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
一、基础过关
1.命题“若α=
,则tanα=1”的逆否命题是( )
A.若α≠
,则tanα=1
B.若α=
,则tanα≠1
C.若tanα≠1,则α≠
D.若tanα≠1,则α=
2.设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是( )
A.若a≠-b,则|a|≠|b|B.若a=-b,则|a|≠|b|
C.若|a|≠|b|,则a≠-bD.若|a|=|b|,则a=-b
3.命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
4.以下说法错误的是( )
A.如果一个命题的逆命题为真命题,那么它的否命题也必为真命题
B.如果一个命题的否命题为假命题,那么它本身一定为真命题
C.原命题、否命题、逆命题、逆否命题中,真命题的个数一定为偶数
D.一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题
5.“如果x、y∈R且x2+y2=0,则x、y全为0”的否命题是( )
A.若x、y∈R且x2+y2≠0,则x、y全不为0
B.若x、y∈R且x2+y2≠0,则x、y不全为0
C.若x、y∈R且x、y全为0,则x2+y2=0
D.若x、y∈R且xy≠0,则x+y≠0
6.命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是___________________,这是________命题.
7.下列命题中:
①若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形;
②正方形的四条边相等;
③若一个四边形的四条边相等,则它是正方形.
其中互为逆命题的有__________;互为否命题的有__________;互为逆否命题的有________.(填序号)
8.写出命题“已知a,b∈R,若a2>b2,则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假.
二、能力提升
9.给出命题:
若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限,在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( )
A.3B.2C.1D.0
10.有下列四个命题,其中真命题有:
①“若x+y=0,则x、y互为相反数”的逆命题;
②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆命题;
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题.
其中真命题的序号为( )
A.①②B.②③C.①③D.③④
11.给定下列命题:
①若k>0,则方程x2+2x-k=0有实数根;
②若x+y≠8,则x≠2或y≠6;
③“矩形的对角线相等”的逆命题;
④“若xy=0,则x、y中至少有一个为0”的否命题.
其中真命题的序号是________.
12.判断命题:
“若b≤-1,则关于x的方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题的真假.
三、探究与拓展
13.求证:
如果p2+q2=2,则p+q≤2.
§1.2 充分条件与必要条件
1.2.1 充分条件与必要条件
一、基础过关
1.“-2
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既不是充分条件,也不是必要条件
D.既是充分条件,也是必要条件
2.“ab≠0”是“直线ax+by+c=0与两坐标轴都相交”的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既是充分条件,也是必要条件
D.既不是充分条件,也不是必要条件
3.若非p是非q的必要条件,则q是p的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既是充分条件,也是必要条件
D.既不是充分条件,也不是必要条件
4.下列命题中,真命题是( )
A.“x2>0”是“x>0”的充分条件
B.“xy=0”是“x=0”的必要条件
C.“|a|=|b|”是“a=b”的充分条件
D.“|x|>1”是“x2不小于1”的必要条件
5.设a,b为实数,则“0 或b> ”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 6.设0 ,则“xsin2x<1”是“xsinx<1”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 7.设x,y是两个实数,命题: “x,y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( ) A.x+y=2B.x+y>2 C.x2+y2>2D.xy>1 二、能力提升 8.不等式(a+x)(1+x)<0成立的一个充分而不必要条件是-2 9.设p: x<-1或x>1;q: x<-2或x>1,则非p是非q的__________条件. 10.设α、β、γ为平面,m、n、l为直线,则对于下列条件: ①α⊥β,α∩β=l,m⊥l;②α∩γ=m,α⊥β,γ⊥β; ③α⊥γ,β⊥γ,m⊥α;④n⊥α,n⊥β,m⊥α. 其中为m⊥β的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号都填上). 11.下列各题中,p是q的什么条件? 说明理由. (1)p: a2+b2=0;q: a+b=0. (2)p: p≤-2或p≥2;q: 方程x2+px+p+3=0有实根. (3)p: 圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切;q: c2=(a2+b2)r2. 12.已知p: -2≤x≤10,q: x2-2x+1-m2≤0(m>0),若非p是非q的充分不必要条件,求实数m的取值范围. 三、探究与拓展 13.设计如下图所示的两个电路图,条件A: “开关S1闭合”;条件B: “灯泡L亮”,问A是B的什么条件? 1.2.2 充要条件 一、基础过关 1.“x,y均为奇数”是“x+y为偶数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.一次函数y=- x+ 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( ) A.m>1,且n<1B.mn<0 C.m>0,且n<0D.m<0,且n<0 4.平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A.存在一条直线a,a∥α,a∥β B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β C.存在两条平行直线a、b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α D.存在两条异面直线a、b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α 5.已知a,b,c∈R,“2b=a+c”是“a,b,c成等差数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.在△ABC中,“△ABC为钝角三角形”是“ · <0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.对任意实数a,b,c,给出下列命题: ①“a=b”是“ac=bc”的充要条件;②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;③“a>b”是“a2>b2”的充分条件;④“a<5”是“a<3”的必要条件. 将所有正确命题的序号填在横线上________. 二、能力提升 8.已知命题p: 集合{x|x=cos ,n∈Z}只有4个元素,q: 集合{y|y=x2+1,x∈R}与集合{x|y=x2+1}相等,则新命题: ①p或q;②p且q;③非p;④非q中真命题的个数为( ) A.0B.1C.2D.3 9.已知p: ≤x≤1,q: (x-a)(x-a-1)>0,若p是非q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是________. 10.设A是B的充分不必要条件,C是B的必要不充分条件,D是C的充要条件,则D是A的__________条件. 11.求不等式ax2+2x+1>0恒成立的充要条件. 12.求证: 一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 三、探究与拓展 13.设x,y∈R,求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0. §1.3 简单的逻辑联结词 1.3.1 且(and) 1.3.2 或(or) 一、基础过关 1.“p是真命题”是“p∧q为真命题”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.命题p: “x>0”是“x2>0”的必要不充分条件,命题q: △ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件,则( ) A.p真q假B.p∧q为真 C.p∨q为假D.p假q真 3.命题“ab≠0”是指( ) A.a≠0且b≠0 B.a≠0或b≠0 C.a、b中至少有一个不为0 D.a、b不都为0 4.下列命题: ①5>4或4>5;②9≥3;③若a>b,则a+c>b+c;④菱形的两条对角线互相垂直,其中假命题的个数为( ) A.0B.1C.2D.3 5.“1不大于2”可用逻辑联结词表示为____________. 6.给定下列命题: p: 0不是自然数,q: 是无理数,在命题“p∧q”“p∨q”中,真命题是__________. 二、能力提升 7.对于命题p: 对任意的实数x,有-1≤sinx≤1,q: 存在一个实数使sinx+ cosx=π成立,下列结论正确的是( ) A.p假q真B.p真q假 C.p、q都假D.p、q都真 8.命题p: 函数y=loga(ax+2a)(a>0且a≠1)的图象必过定点(-1,1);命题q: 如果函数y=f(x)的图象关于(3,0)对称,那么函数y=f(x-3)的图象关于原点对称,则有( ) A.“p且q”为真B.“p或q”为假 C.p真q假D.p假q真 9.用“或”、“且”填空: (1)若x∈A∪B,则x∈A________x∈B; (2)若x∈A∩B,则x∈A________x∈B; (3)若a2+b2=0,则a=0________b=0; (4)若ab=0,则a=0________b=0. 10. (1)用逻辑联结词“且”将命题p和q联结成一个新命题,并判断其真假,其中p: 是无理数,q: 大于2. (2)将命题“y=sin2x既是周期函数,又是奇函数”改写为含有逻辑联结词“且”的命题,并判断其真假. 11.判断下列命题的真假: (1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边; (2)x=±1是方程x2+3x+2=0的根. 12.已知p: 函数y=x2+mx+1在(-1,+∞)上单调递增,q: 函数y=4x2+4(m-2)x+1大于零恒成立.若p或q为真,p且q为假,求m的取值范围. 三、探究与拓展 13.已知命题p: 方程a2x2+ax-2=0在[-1,1]上有解;命题q: 只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0,若命题“p或q”是假命题,求实数a的取值范围. 1.3.3 非(not) 一、基础过关 1.已知全集为R,A⊆R,B⊆R,如果命题p: x∈A∩B,则“非p”是( ) A.x∈AB.x∈∁RB C.x∉(A∪B)D.x∈(∁RA)∪(∁RB) 2.如果命题“非p或非q”是假命题,则在下列各结论中,正确的为( ) ①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧q”是假命题; ③命题“p∨q”是真命题;④命题“p∨q”是假命题. A.①③B.②④ C.②③D.①④ 3.若集合P={1,2,3,4},Q={x|x≤0或x≥5,x∈R},则P是非Q的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.命题p: x=π是y=|sinx|的一条对称轴,q: 2π是y=|sinx|的最小正周期,下列命题: ①p或q,②p且q,③非p,④非q,其中真命题有( ) A.0个B.1个 C.2个D.3个 5.已知命题p: 1∈{x|(x+2)(x-3)<0},命题q: ∅={0},则下列判断正确的是( ) A.p假q真B.“p或q”为真 C.“p且q”为真D.“非p”为真 6.由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的新命题中“p或q”为真,“p且q”为假,“非p”为真的是( ) A.p: 3是偶数,q: 4是奇数 B.p: 3+2=6,q: 5>3 C.p: a∈{a,b},q: {a}{a,b} D.p: QR,q: N=N* 7.已知命题p: 函数f(x)=|lgx|为偶函数,q: 函数g(x)=lg|x|为奇函数,由它们构成的“p∨q”“p∧q”和“非p”形式的新命题中,为真命题的是________. 二、能力提升 8.已知p: x2-x≥6,q: x∈Z,若“p∧q”“非q”都是假命题,则x的值组成的集合为____________. 9.设p: 函数f(x)=2|x-a|在区间(4,+∞)上单调递增;q: loga2<1.如果“非p”是真命题,“p或q”也是真命题,那么实数a的取值范围是____________. 10.写出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”以及“非p”形式的命题,并判断它们的真假. (1)p: 是有理数,q: 是整数; (2)p: 不等式x2-2x-3>0的解集是(-∞,-1), q: 不等式x2-2x-3>0的解集是(3,+∞). 11.已知p: x>1,或x<- ,q: >0,则非p是非q的什么条件? 12.已知a>0,且a≠1,设命题p: 函数y=loga(x+1)在(0,+∞)上单调递减,命题q: 曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点,若“非p且q”为真命题,求实数a的取值范围. 三、探究与拓展 13.给出两个命题: 命题甲: 关于x的不等式x2+(a-1)x+a2≤0的解集为∅, 命题乙: 函数y=(2a2-a)x为增函数. 分别求出符合下列条件的实数a的范围. (1)甲、乙至少有一个是真命题; (2)甲、乙中有且只有一个是真命题. §1.4 全称量词与存在量词 1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词 一、基础过关 1.下列命题: ①中国公民都有受教育的权利; ②每一个中学生都要接受爱国主义教育; ③有人既能写小说,也能搞发明创造; ④任何一个数除0,都等于0. 其中全称命题的个数是( ) A.1B.2C.3D.4 2.下列命题中,真命题是( ) A.∃m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数 B.∃m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数 C.∀m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数 D.∀m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数 3.给出四个命题: ①末位数是偶数的整数能被2整除;②有的菱形是正方形;③存在实数x,x>0;④对于任意实数x,2x+1是奇数.下列说法正确的是( ) A.四个命题都是真命题 B.①②是全称命题 C.②③是特称命题 D.四个命题中有两个假命题 4.下列全称命题中真命题的个数为( ) ①负数没有对数; ②对任意的实数a,b,都有a2+b2≥2ab; ③二次函数f(x)=x2-ax-1与x轴恒有交点; ④∀x∈R,y∈R,都有x2+|y|>0. A.1B.2C.3D.4 5.已知命题p: ∀x∈R,x2-x+ <0;命题q: ∃x∈R,sinx+cosx= .则下列判断正确的是( ) A.p是真命题B.q是假命题 C.非p是假命题D.非q是假命题 6.下列命题中,既是真命题又是特称命题的是( ) A.存在一个α,使tan(90°-α)=tanα B.存在实数x0,使sinx0= C.对一切α,sin(180°-α)=sinα D.sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ 7.给出下列四个命题: ①a⊥b⇔a·b=0; ②矩形都不是梯形; ③∃x,y∈R,x2+y2≤1; ④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于-1. 其中全称命题是________. 二、能力提升 8.下列4个命题: p1: ∃x∈(0,+∞), x< x; p2: ∃x∈(0,1),log x>log x; p3: ∀x∈(0,+∞), x>log x; p4: ∀x∈ , x x. 其中的真命题是________. 9.四个命题: ①∀x∈R,x2-3x+2>0恒成立;②∃x∈Q,x2=2;③∃x∈R,x2+1=0;④∀x∈R,4x2>2x-1+3x2.其中真命题的个数为________. 10.判断下列命题是否为全称命题或特称命题,若是,用符号表示,并判断其真假. (1)对任意实数α,有sin2α+cos2α=1; (2)存在一条直线,其斜率不存在; (3)对所有的实数a,b,方程ax+b=0都有唯一解; (4)存在实数x0,使得 =2. 11.已知命题p: ∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q: ∃x0∈R,x +2ax0+2-a=0.若命题“p∧q”是真命题,求实数a的取值范围. 12.已知函数f(x)=x2-2x+5. (1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立? 并说明理由; (2)若存在实数x,使不等式m-f(x)>0成立,求实数m的取值范围. 三、探究与拓展 13.若方程cos2x+2sinx+a=0有实数解,求实数a的取值范围. 1.4.3 含有一个量词的命题的否定 一、基础过关 1.已知命题p: ∀x∈R,cosx≤1,则( ) A.非p: ∃x∈R,cosx≥1B.非p: ∀x∈R,cosx≥1 C.非p: ∃x∈R,cosx>1D.非p: ∀x∈R,cosx>1 2.命题p: “存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根”,则“非p”形式的命题是( ) A.存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实根 B.不存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实根 C.对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实根 D.至多有一个实数m,使方程x2+mx+1=0有实根 3.命题“一次函数都
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