高等数学课后习题及参考答案第十章.docx
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高等数学课后习题及参考答案第十章
高等数学课后习题及参考答案
(第十章)
习题10-1
1.设在xOy面内有一分布着质量的曲线弧L,在点(x,y)处它的线密度为
μ(x,y),用对弧长的曲线积分分别表达:
(1)这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix,Iy;
(2)这曲线弧的重心坐标,.
解在曲线弧L上任取一长度很短的小弧段ds(它的长度也记做ds),设(x,y)为小弧段ds上任一点.
曲线L对于x轴和y轴的转动惯量元素分别为
dIx=y2μ(x,y)ds,dIy=x2μ(x,y)ds.
曲线L对于x轴和y轴的转动惯量分别为
.
曲线L对于x轴和y轴的静矩元素分别为
dMx=yμ(x,y)ds,dMy=xμ(x,y)ds.
曲线L的重心坐标为
.
2.利用对弧长的曲线积分的定义证明:
如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1和L2,则
.
证明划分L,使得L1和L2的连接点永远作为一个分点,则
.
令λ=max{∆si}→0,上式两边同时取极限
即得.
3.计算下列对弧长的曲线积分:
(1),其中L为圆周x=acost,y=asint(0≤t≤2π);
解
=
.
(2),其中L为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段;
解L的方程为y=1-x(0≤x≤1);
.
(3),其中L为由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界;
解L1:
y=x2(0≤x≤1),L2:
y=x(0≤x≤1).
.
(4),其中L为圆周x2+y2=a2,直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界;
解L=L1+L2+L3,其中
L1:
x=x,y=0(0≤x≤a),
L2:
x=acost,y=asint,
L3:
x=x,y=x,
因而,
.
(5)
其中Γ为曲线x=etcost,y=etsint,z=et上相应于t从0变到2的这段弧;
解
.
(6),其中Γ为折线ABCD,这里A、B、C、D依次为点(0,0,0)、
(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2);
解Γ=AB+BC+CD,其中
AB:
x=0,y=0,z=t(0≤t≤1),
BC:
x=t,y=0,z=2(0≤t≤3),
CD:
x=1,y=t,z=2(0≤t≤3),
故
.
(7),其中L为摆线的一拱x=a(t-sint),y=a(1-cost)(0≤t≤2π);
解
.
(8),其中L为曲线x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)(0≤t≤2π).
解
.
4.求半径为a,中心角为2ϕ的均匀圆弧(线密度μ=1)的重心.
解建立坐标系如图10-4所示,由对称性可知,又
所以圆弧的重心为
5.设螺旋形弹簧一圈的方程为x=acost,y=asint,z=kt,其中0≤1≤2π,
它的线密度ρ(x,y,z)=x2+y2+z2,求:
(1)它关于z轴的转动惯量Iz;
(2)它的重心.
解.
(1)
.
(2)
故重心坐标为.
习题10-2
1.设L为xOy面内直线x=a上的一段,证明:
.
证明设L是直线x=a上由(a,b1)到(a,b2)的一段,
则L:
x=a,y=t,t从b1变到b2.于是
.
2.设L为xOy面内x轴上从点(a,0)到(b,0)的一段直线,
证明.
证明L:
x=x,y=0,t从a变到b,所以
.
3.计算下列对坐标的曲线积分:
(1),其中L是抛物线y=x2上从点(0,0)到点(2,4)
的一段弧;
解L:
y=x2,x从0变到2,所以
.
(2),其中L为圆周(x-a)2+y2=a2(a>0)及x轴所围成的在第
一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行);
解L=L1+L2,其中
L1:
x=a+acost,y=asint,t从0变到π,
L2:
x=x,y=0,x从0变到2a,
因此
.
(3),其中L为圆周x=Rcost,y=Rsint上对应t从0到
的一段弧;
解
.
(4)
其中L为圆周x2+y2=a2(按逆时针方向绕行);
解圆周的参数方程为:
x=acost,y=asint,t从0变到2π,所以
.
(5),其中Γ为曲线x=kθ,y=acosθ,z=asinθ上对
应θ从0到π的一段弧;
解
.
(6),其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的
一段直线;
解Γ的参数方程为x=1+t,y=1+2t,z=1+3t,t从0变到1.
.
(7),其中Γ为有向闭折线ABCA,这里的A,B,C
依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1);
解Γ=AB+BC+CA,其中
AB:
x=x,y=1-x,z=0,x从1变到0,
BC:
x=0,y=1-z,z=z,z从0变到1,
CA:
x=x,y=0,z=1-x,x从0变到1,
故
.
(8),其中L是抛物线y=x2上从(-1,1)
到(1,1)的一段弧.
解L:
x=x,y=x2,x从-1变到1,故
4.计算,其中L是:
(1)抛物线y=x2上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧;
解L:
x=y2,y=y,y从1变到2,故
.
(2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段;
解L:
x=3y-2,y=y,y从1变到2,故
(3)先沿直线从点(1,1)到(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线;
解L=L1+L2,其中
L1:
x=1,y=y,y从1变到2,
L2:
x=x,y=2,x从1变到4,
故
.
(4)沿曲线x=2t2+t+1,y=t2+1上从点(1,1)到(4,2)的一段弧.
解L:
x=2t2+t+1,y=t2+1,t从0变到1,故
.
5.一力场由沿横轴正方向的常力F所构成,试求当一质量为m
的质点沿圆周x2+y2=R2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段时
场力所作的功.
解已知场力为F=(|F|,0),曲线L的参数方程为
x=Rcosθ,y=Rsinθ,
θ从0变到,于是场力所作的功为
.
6.设z轴与力方向一致,求质量为m的质点从位置(x1,y1,z1)
沿直线移到(x2,y2,z2)时重力作的功.
解已知F=(0,0,mg).设Γ为从(x1,y1,z1)到(x2,y2,z2)的直线,
则重力所作的功为
.
7.把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线
积分,其中L为:
(1)在xOy面内沿直线从点(0,0)到(1,1);
解L的方向余弦,
故
.
(2)沿抛物线y=x2从点(0,0)到(1,1);
解曲线L上点(x,y)处的切向量为τ=(1,2x),单位切向量为
故
.
(3)沿上半圆周x2+y2=2x从点(0,0)到(1,1).
解L的方程为,其上任一点的切向量为
单位切向量为
故
.
8.设Γ为曲线x=t,y=t2,z=t3上相应于t从0变到1的曲线弧,
把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分.
解曲线Γ上任一点的切向量为
τ=(1,2t,3t2)=(1,2x,3y),
单位切向量为
.
习题10-3
1.计算下列曲线积分,并验证格林公式的正确性:
(1),其中L是由抛物线y=x2及y2=x所围
成的区域的正向边界曲线;
解L=L1+L2,故
而
所以
.
(2),其中L是四个顶点分别为(0,0)、
(2,0)、(2,2)、和(0,2)的正方形区域的正向边界.
解L=L1+L2+L3+L4,故
而
所以
.
2.利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积:
(1)星形线x=acos3t,y=asin3t;
解
.
(2)椭圆9x2+16y2=144;
解椭圆9x2+16y2=144的参数方程为
x=4cosθ,y=3sinθ,0≤θ≤2π,故
.
(3)圆x2+y2=2ax.
解圆x2+y2=2ax的参数方程为x=a+acosθ,y=asinθ,0≤θ≤2π,
故
.
3.计算曲线积分,其中L为圆周(x-1)2+y2=2,L的方
向为逆时针方向.
解,.当x2+y2≠0时
.
在L内作逆时针方向的ε小圆周
l:
x=εcosθ,y=εsinθ(0≤θ≤2π),
在以L和l为边界的闭区域Dε上利用格林公式得
即.
因此.
4.证明下列曲线积分在整个xOy面内与路径无关,并计算积分值:
(1);
解P=x+y,Q=x-y,显然P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏
导数,而且
故在整个xOy面内,积分与路径无关.
取L为点(1,1)到(2,3)的直线y=2x-1,x从1变到2,则
.
(2);
解P=6xy2-y3,Q=6x2y-3xy2,显然P、Q在整个xOy面内具有一
阶连续偏导数,并且,故积分与路径无关,取路径
(1,2)→(1,4)→(3,4)的折线,则
.
(3).
解P=2xy-y4+3,Q=x2-4xy3,显然P、Q在整个xOy面内具有一
阶连续偏导数,并且,所以在整个xOy面内积分与
路径无关,选取路径为从(1,0)→(1,2)→(2,1)的折线,则
.
5.利用格林公式,计算下列曲线积分:
(1),其中L为三顶点分别为(0,0)、
(3,0)和(3,2)的三角形正向边界;
解L所围区域D如图所示,P=2x-y+4,Q=5y+3x-6,
故由格林公式,得
.
(2)
其中L为正
向星形线(a>0);
解,,
由格林公式
.
(3),其中L为在抛物线
2x=πy2上由点(0,0)到的一段弧;
解,,
所以由格林公式
其中L、OA、OB、及D如图所示.
故
.
(4),其中L是在圆周上由
点(0,0)到点(1,1)的一段弧.
解P=x2-y,Q=-x-sin2y,
由格林公式有
其中L、AB、BO及D如图所示.
故
.
6.验证下列P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整个xOy平面内是某一函数
u(x,y)的全微分,并求这样的一个u(x,y):
(1)(x+2y)dx+(2x+y)dy;
证明因为,所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个定义在整
个xOy面内的函数u(x,y)的全微分.
.
(2)2xydx+x2dy;
解因为,所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个定义在整个
xOy面内的函数u(x,y)的全微分.
.
(3)4sinxsin3ycosxdx–3cos3ycos2xdy
解因为,所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个
定义在整个xOy平面内的函数u(x,y)的全微分.
.
(4)
解因为,所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个定
义在整个xOy平面内的函数u(x,y)的全微分.
.
(5)
解因为,所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是
某个函数u(x,y)的全微分
.
7.设有一变力在坐标轴上的投影为X=x+y2,Y=2xy-8,这变力确
定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所做的功与路径无关.
解场力所作的功为.
由于,故以上曲线积分与路径无关,即场力所作的功
与路径无关.
习题10-4
1.设有一分布着质量的曲面∑,在点(x,y,z)处它的面密度为μ(x,y,z),用对面积的曲面积分表达这曲面对于x轴的转动惯量.
解.假设μ(x,y,z)在曲面∑上连续,应用元素法,在曲面∑上任意一点(x,y,z)处取包含该点的一直径很小的曲面块dS(它的面积也记做dS),则对于x轴的转动惯量元素为
dIx=(y2+z2)μ(x,y,z)dS,
对于x轴的转动惯量为
.
2.按对面积的曲面积分的定义证明公式
其中∑是由∑1和∑2组成的.
证明划分∑1为m部分,∆S1,∆S2,⋅⋅⋅,∆Sm;
划分∑2为n部分,∆Sm+1,∆Sm+2,⋅⋅⋅,∆Sm+n,
则∆S1,⋅⋅⋅,∆Sm,∆Sm+1,⋅⋅⋅,∆Sm+n为∑的一个划分,并且
.
令,,,则当
λ→0时,有
.
3.当∑是xOy面内的一个闭区域时,曲面积分与二重积分有什么关系?
解∑的方程为z=0,(x,y)∈D,
故.
4.计算曲面积分,其中∑为抛物面z=2-(x2+y2)在xOy面上方的部分,f(x,y,z)分别如下:
(1)f(x,y,z)=1;
解∑:
z=2-(x2+y2),Dxy:
x2+y2≤2,
.
因此
.
(2)f(x,y,z)=x2+y2;
解∑:
z=2-(x2+y2),Dxy:
x2+y2≤2,
.
因此
.
(3)f(x,y,z)=3z.
解∑:
z=2-(x2+y2),Dxy:
x2+y2≤2,
.
因此
.
5.计算,其中∑是:
(1)锥面及平面z=1所围成的区域的整个边界曲面;
解将∑分解为∑=∑1+∑2,其中
∑1:
z=1,D1:
x2+y2≤1,dS=dxdy;
∑1:
D2:
x2+y2≤1,.
+
.
提示:
.
(2)锥面z2=3(x2+y2)被平面z=0及z=3所截得的部分.
解∑:
Dxy:
x2+y2≤3,
因而.
提示:
.
6.计算下面对面积的曲面积分:
(1),其中∑为平面在第一象限中的部分;
解,,
.
(2),其中∑为平面2x+2y+z=6在第一象限中的部分;
解∑:
z=6-2x-2y,Dxy:
0≤y≤3-x,0≤x≤3,
.
(3)
其中∑为球面x2+y2+z2=a2上z≥h(0 解∑: Dxy: x2+y2≤a2-h2, (根据区域的对称性及函数的奇偶性). 提示: (4),其中∑为锥面被x2+y2=2ax所截得的有限部分. 解∑: Dxy: x2+y2≤2ax, . 提示: . 7.求抛物面壳的质量,此壳的面密度为μ=z. 解∑: Dxy: x2+y2≤2, . 故 . 8.求面密度为μ0的均匀半球壳x2+y2+z2=a2(z≥0)对于z轴的转动惯量. 解∑: Dxy: x2+y2≤a2, . 提示: . 习题10-5 1.按对坐标的曲面积分的定义证明公式: . 解证明把∑分成n块小曲面∆Si(∆Si同时又表示第i块小曲面的面 积),∆Si在yOz面上的投影为(∆Si)yz,(ξi,ηi,ζi)是∆Si上任意取定的一点, λ是各小块曲面的直径的最大值,则 . 2.当∑为xOy面内的一个闭区域时,曲面积分 与二重积分有什么关系? 解因为∑: z=0,(x,y)∈Dxy,故 当∑取的是上侧时为正号,∑取的是下侧时为负号. 3.计算下列对坐标的曲面积分: (1) 其中∑是球面x2+y2+z2=R2的下半部分的下侧; 解∑的方程为,Dxy: x2+y2≤R,于是 . (2),其中z是柱面x2+y2=1被平面z=0及 z=3所截得的第一卦限内的部分的前侧; 解∑在xOy面的投影为零,故. ∑可表示为,(y,z)∈Dyz={(y,z)|0≤y≤1,0≤z≤3},故 ∑可表示为,(z,x)∈Dzx={(z,x)|0≤z≤3,0≤x≤1},故 . 因此. 解法二∑前侧的法向量为n=(2x,2y,0),单位法向量为 由两种曲面积分之间的关系, . 提示: 表示曲面的面积. (3),其中 f(x,y,z)为连续函数,∑是平面x-y+z=1在第四卦限部分的上侧; 解曲面∑可表示为z=1-x+y,(x,y)∈Dxy={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤x-1}, ∑上侧的法向量为n=(1,-1,1),单位法向量为 由两类曲面积分之间的了解可得 . (4),其中∑是平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧. 解∑=∑1+∑2+∑3+∑4,其中 ∑1: x=0,Dyz: 0≤y≤1,0≤z≤1-y, ∑2: y=0,Dzx: 0≤z1,0≤x≤1-z, ∑3: z=0,Dxy: 0≤x≤1,0≤y≤1-x, ∑4: z=1-x-y,Dxy: 0≤x≤1,0≤y≤1-x, 于是 . 由积分变元的轮换对称性可知 . 因此. 解∑=∑1+∑2+∑3+∑4,其中∑1、∑2、∑3是位于坐标面上的三块; ∑4: z=1-x-y,Dxy: 0≤x≤1,0≤y≤1-x. 显然在∑1、∑2、∑3上的曲面积分均为零,于是 . 4.把对坐标的曲面积分 化成对面积的曲面积分: (1)∑为平面在第一卦限的部分的上侧; 解令,∑上侧的法向量为: 单位法向量为 于是 . (2)∑是抛物面z=8-(x2+y2)在xOy面上方的部分的上侧. 解令F(x,y,z)=z+x2+y2-8,∑上侧的法向量 n=(Fx,Fy,Fz)=(2x,2y,1), 单位法向量为 于是 . 10-6 1.利用高斯公式计算曲面积分: (1),其中∑为平面x=0,y=0,z=0,x=a, y=a,z=a所围成的立体的表面的外侧; 解由高斯公式 原式 (这里用了对称性). (2),其中∑为球面x2+y2+z2=a2的外侧; 解由高斯公式 原式 . (3),其中∑为上半球体 x2+y2≤a2,的表面外侧; 解由高斯公式 原式 . (4)其中∑界于z=0和z=3之间的圆柱体 x2+y2≤9的整个表面的外侧; 解由高斯公式 原式. (5),其中∑为平面x=0,y=0,z=0,x=1, y=1,z=1所围成的立体的全表面的外侧. 解由高斯公式 原式 . 2.求下列向量A穿过曲面∑流向指定侧的通量: (1)A=yzi+xzj+xyk,∑为圆柱x+y2≤a2(0≤z≤h)的全表面,流向外侧; 解P=yz,Q=xz,R=xy, . (2)A=(2x-z)i+x2yj-xz2k,∑为立方体0≤x≤a,0≤y≤a,0≤z≤a, 的全表面,流向外侧; 解P=2x-z,Q=x2y,R=-xz2, . (3)A=(2x+3z)i-(xz+y)j+(y2+2z)k,∑是以点(3,-1,2)为球心, 半径R=3的球面,流向外侧. 解P=2x+3z,Q=-(xz+y),R=y2+2z, . 3.求下列向量A的散度: (1)A=(x2+yz)i+(y2+xz)j+(z2+xy)k; 解P=x2+yz,Q=y2+xz,R=-z2+xy, . (2)A=exyi+cos(xy)j+cos(xz2)k; 解P=exy,Q=cos(xy),R=cos(xz2), . (3)A=y2zi+xyj+xzk; 解P=y2,Q=xy,R=xz, . 4.设u(x,y,z)、v(x,y,z)是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续 偏导数的函数,,依次表示u(x,y,z)、v(x,y,z)沿∑的外法线方向 的方向导数.证明 其中∑是空间闭区间Ω的整个边界曲面,这个公式叫作林第二公式. 证明由第一格林公式(见书中例3)知 . 将上面两个式子相减,即得 . 5.利用高斯公式推证阿基米德原理: 浸没在液体中所受液体的压力 的合力(即浮力)的方向铅直向上,大小等于这物体所排开的液体的重力. 证明取液面为xOy面,z轴沿铅直向下,设液体的密度为ρ,在物 体表面∑上取元素dS上一点,并设∑在点(x,y,z)处的外法线的方向余 弦为cosα,cosβ,cosγ,则dS所受液体的压
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- 高等数学 课后 习题 参考答案 第十