二次函数压轴题角的存在性.docx
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二次函数压轴题角的存在性
一.解答题(共5小题)
例1.(2013•)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为(3,).点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交CD于点F.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P的横坐标为m,当m为何值时,以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形?
请说明理由.
(3)若存在点P,使∠PCF=45°,请直接写出相应的点P的坐标.
例2.(2012•惠山区校级模拟)如图,抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A(﹣1,0)、C(0,﹣3)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)已知点D(m,﹣m﹣1)在第四象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点D'的坐标.
(3)在
(2)的条件下,连接BD,问在x轴上是否存在点P,使∠PCB=∠CBD?
若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
例3.(2014•)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,抛物线y=﹣x2+bx+c(c>0)的顶点为D,与y轴的交点为C,过点C作CA∥x轴交抛物线于点A,在AC延长线上取点B,使BC=AC,连接OA,OB,BD和AD.
(1)若点A的坐标是(﹣4,4).
①求b,c的值;
②试判断四边形AOBD的形状,并说明理由;
(2)是否存在这样的点A,使得四边形AOBD是矩形?
若存在,请直接写出一个符合条件的点A的坐标;若不存在,请说明理由.
练习1.(2013•)已知抛物线y=x2﹣2x+c与x轴交于A.B两点,与y轴交于C点,抛物线的顶点为D点,点A的坐标为(﹣1,0).
(1)求D点的坐标;
(2)如图1,连接AC,BD并延长交于点E,求∠E的度数;
(3)如图2,已知点P(﹣4,0),点Q在x轴下方的抛物线上,直线PQ交线段AC于点M,当∠PMA=∠E时,求点Q的坐标.
2.(2012•合川区模拟)如图,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点B(﹣3,0),与y轴交于点C(0,﹣3).
(1)求直线BC与二次函数的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D,与x轴的另一个交点为A.点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求点P的坐标;
(3)连接CD,求∠OCA与∠OCD两角和的度数.
2015年05月13日1873957725的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.解答题(共5小题)
1.(2013•)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为(3,).点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交CD于点F.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P的横坐标为m,当m为何值时,以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形?
请说明理由.
(3)若存在点P,使∠PCF=45°,请直接写出相应的点P的坐标.
考点:
二次函数综合题.
专题:
压轴题.
分析:
(1)首先求出点C的坐标,然后利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)本问采用数形结合的数学思想求解.将直线y=x+2沿y轴向上或向下平移2个单位之后得到的直线,与抛物线y轴右侧的交点,即为所求之交点.由答图1可以直观地看出,这样的交点有3个.联立解析式解方程组,即可求出m的值;
(3)本问符合条件的点P有2个,如答图2所示,注意不要漏解.在求点P坐标的时候,需要充分挖掘已知条件,构造直角三角形或相似三角形,解方程求出点P的坐标.
解答:
解:
(1)在直线解析式y=x+2中,令x=0,得y=2,
∴C(0,2).
∵点C(0,2)、D(3,)在抛物线y=﹣x2+bx+c上,
∴,
解得b=,c=2,
∴抛物线的解析式为:
y=﹣x2+x+2.
(2)∵PF∥OC,且以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形,
∴PF=OC=2,
∴将直线y=x+2沿y轴向上、下平移2个单位之后得到的直线,与抛物线y轴右侧的交点,即为所求之交点.
由答图1可以直观地看出,这样的交点有3个.
将直线y=x+2沿y轴向上平移2个单位,得到直线y=x+4,
联立,
解得x1=1,x2=2,
∴m1=1,m2=2;
将直线y=x+2沿y轴向下平移2个单位,得到直线y=x,
联立,
解得x3=,x4=(在y轴左侧,不合题意,舍去),
∴m3=.
∴当m为值为1,2或时,以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形.
(3)存在.
理由:
设点P的横坐标为m,则P(m,﹣m2+m+2),F(m,m+2).
如答图2所示,过点C作CM⊥PE于点M,则CM=m,EM=2,
∴FM=yF﹣EM=m,
∴tan∠CFM=2.
在Rt△CFM中,由勾股定理得:
CF=m.
过点P作PN⊥CD于点N,
则PN=FN•tan∠PFN=FN•tan∠CFM=2FN.
∵∠PCF=45°,
∴PN=CN,
而PN=2FN,
∴FN=CF=m,PN=2FN=m,
在Rt△PFN中,由勾股定理得:
PF==m.
∵PF=yP﹣yF=(﹣m2+m+2)﹣(m+2)=﹣m2+3m,
∴﹣m2+3m=m,
整理得:
m2﹣m=0,
解得m=0(舍去)或m=,
∴P(,);
同理求得,另一点为P(,).
∴符合条件的点P的坐标为(,)或(,).
点评:
本题是二次函数综合题型,考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、解方程(方程组)、平行四边形、相似三角形(或三角函数)、勾股定理等重要知识点.第
(2)问采用数形结合思想求解,直观形象且易于理解;第(3)问中,符合条件的点P有两个,注意不要漏解.
2.(2012•惠山区校级模拟)如图,抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A(﹣1,0)、C(0,﹣3)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)已知点D(m,﹣m﹣1)在第四象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点D'的坐标.
(3)在
(2)的条件下,连接BD,问在x轴上是否存在点P,使∠PCB=∠CBD?
若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
考点:
二次函数综合题.
分析:
(1)将A(﹣1,0)、C(0,﹣3)两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3a中,列方程组求a、b的值即可;
(2)将点D(m,﹣m﹣1)代入
(1)中的抛物线解析式,求m的值,再根据对称性求点D关于直线BC对称的点D'的坐标;
(3)当∠PCB=∠CBD时,可知CP∥BD,根据三角形的全等关系确定P点坐标.
解答:
解:
(1)将A(﹣1,0)、C(0,﹣3)代入抛物线y=ax2+bx﹣3a中,
得,
解得,
∴y=x2﹣2x﹣3;
(2)将点D(m,﹣m﹣1)代入y=x2﹣2x﹣3中,得
m2﹣2m﹣3=﹣m﹣1,
解得m=2或﹣1,
∵点D(m,﹣m﹣1)在第四象限,
∴D(2,﹣3),
∵直线BC解析式为y=x﹣3,
∴∠BCD=∠BCO=45°,CD′=CD=2,OD′=3﹣2=1,
∴点D关于直线BC对称的点D'(0,﹣1);
(3)存在.
过D点作DE⊥x轴,垂足为E,交直线BC于F点(如图),
∵∠PCB=∠CBD,
∴CP∥BD,
又∵CD∥x轴,四边形PCDB为平行四边形,
∴△OCP≌△EDB,
∴OP=BE=1,
设CP与BD相交于M点(m,3m﹣9),
易求BD解析式为:
y=3x﹣9,
由BM=CM,得到关于m的方程,解方程后,得m=;
于是,M点坐标为:
M(,﹣);
于是CM解析式为:
y=x﹣3,
令CM方程中,y=0,则x=9,
所以,P点坐标为:
P(9,0),
∴P(1,0),或(9,0).
点评:
本题考查了二次函数的综合运用.关键是由已知条件求抛物线解析式,根据抛物线的对称性,直线BC的特殊性求点的坐标.
3.(2014•)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,抛物线y=﹣x2+bx+c(c>0)的顶点为D,与y轴的交点为C,过点C作CA∥x轴交抛物线于点A,在AC延长线上取点B,使BC=AC,连接OA,OB,BD和AD.
(1)若点A的坐标是(﹣4,4).
①求b,c的值;
②试判断四边形AOBD的形状,并说明理由;
(2)是否存在这样的点A,使得四边形AOBD是矩形?
若存在,请直接写出一个符合条件的点A的坐标;若不存在,请说明理由.
考点:
二次函数综合题.
专题:
几何综合题;压轴题.
分析:
(1)①将抛物线上的点的坐标代入抛物线即可求出b、c的值;
②求证AD=BO和AD∥BO即可判定四边形为平行四边形;
(2)根据矩形的各角为90°可以求得△ABO∽△OBC即=,再根据勾股定理可得OC=BC,AC=OC,可求得横坐标为±c,纵坐标为c.
解答:
解:
(1)①∵AC∥x轴,A点坐标为(﹣4,4).
∴点C的坐标是(0,4)
把A、C两点的坐标代入y=﹣x2+bx+c得,
,
解得;
②四边形AOBD是平行四边形;
理由如下:
由①得抛物线的解析式为y=﹣x2﹣4x+4,
∴顶点D的坐标为(﹣2,8),
过D点作DE⊥AB于点E,
则DE=OC=4,AE=2,
∵AC=4,
∴BC=AC=2,
∴AE=BC.
∵AC∥x轴,
∴∠AED=∠BCO=90°,
∴△AED≌△BCO,
∴AD=BO.∠DAE=∠OBC,
∴AD∥BO,
∴四边形AOBD是平行四边形.
(2)存在,点A的坐标可以是(﹣2,2)或(2,2)
要使四边形AOBD是矩形;
则需∠AOB=∠BCO=90°,
∵∠ABO=∠OBC,
∴△ABO∽△OBC,
∴=,
又∵AB=AC+BC=3BC,
∴OB=BC,
∴在Rt△OBC中,根据勾股定理可得:
OC=BC,AC=OC,
∵C点是抛物线与y轴交点,
∴OC=c,
∴A点坐标为(﹣c,c),
∴顶点横坐标=c,b=c,
∵将A点代入可得c=﹣(﹣c)2+c•c+c,
∴横坐标为±c,纵坐标为c即可,
令c=2,
∴A点坐标可以为(2,2)或者(﹣2,2).
点评:
本题主要考查了二次函数对称轴顶点坐标的公式,以与函数与坐标轴交点坐标的求解方法.
4.(2013•)已知抛物线y=x2﹣2x+c与x轴交于A.B两点,与y轴交于C点,抛物线的顶点为D点,点A的坐标为(﹣1,0).
(1)求D点的坐标;
(2)如图1,连接AC,BD并延长交于点E,求∠E的度数;
(3)如图2,已知点P(﹣4,0),点Q在x轴下方的抛物线上,直线PQ交线段AC于点M,当∠PMA=∠E时,求点Q的坐标.
考点:
二次函数综合题.
专题:
压轴题.
分析:
(1)将点A的坐标代入到抛物线的解析式求得c值,然后配方后即可确定顶点D的坐标;
(2)连接CD、CB,过点D作DF⊥y轴于点F,首先求得点C的坐标,然后证得△DCB∽△AOC得到∠CBD=∠OCA,根据∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB,得到∠E=∠OCB=45°;
(3)设直线PQ交y轴于N点,交BD于H点,作DG⊥x轴于G点,得到△DGB∽△PON后利用相似三角形的性质求得ON的长,从而求得点N的坐标,进而求得直线PQ的解析式,设Q(m,n),根据点Q在y=x2﹣2x﹣3上,得到﹣m﹣2=m2﹣2m﹣3,求得m、n的值后即可求得点Q的坐标.
解答:
解:
(1)把x=﹣1,y=0代入y=x2﹣2x+c得:
1+2+c=0
∴c=﹣3
∴y=x2﹣2x﹣3=y=(x﹣1)2﹣4
∴顶点坐标为(1,﹣4);
(2)如图1,连接CD、CB,过点D作DF⊥y轴于点F,
由x2﹣2x﹣3=0得x=﹣1或x=3
∴B(3,0)
当x=0时,y=x2﹣2x﹣3=﹣3
∴C(0,﹣3)
∴OB=OC=3
∵∠BOC=90°,
∴∠OCB=45°,
BC=3
又∵DF=CF=1,∠CFD=90°,
∴∠FCD=45°,CD=,
∴∠BCD=180°﹣∠OCB﹣∠FCD=90°.
∴∠BCD=∠COA
又∵
∴△DCB∽△AOC,
∴∠CBD=∠OCA
又∵∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB
∴∠E=∠OCB=45°,
(3)如图2,设直线PQ交y轴于N点,交BD于H点,作DG⊥x轴于G点
∵∠PMA=45°,
∴∠EMH=45°,
∴∠MHE=90°,
∴∠PHB=90°,
∴∠DBG+∠OPN=90°
又∴∠ONP+∠OPN=90°,
∴∠DBG=∠ONP
∴∠DGB=∠PON=90°,
∴△DGB∽△PON
∴=,
即:
=
∴ON=2,
∴N(0,﹣2)
设直线PQ的解析式为y=kx+b
则
解得:
∴y=﹣x﹣2
设Q(m,n)且n<0,
∴n=﹣m﹣2
又∵Q(m,n)在y=x2﹣2x﹣3上,
∴n=m2﹣2m﹣3
∴﹣m﹣2=m2﹣2m﹣3
解得:
m=2或m=﹣
∴n=﹣3或n=﹣
∴点Q的坐标为(2,﹣3)或(﹣,﹣).
点评:
本题考查了二次函数的综合知识,难度较大,题目中渗透了许多的知识点,特别是二次函数与相似三角形的结合,更是一个难点,同时也是中考中的常考题型之一.
5.(2012•合川区模拟)如图,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点B(﹣3,0),与y轴交于点C(0,﹣3).
(1)求直线BC与二次函数的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D,与x轴的另一个交点为A.点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求点P的坐标;
(3)连接CD,求∠OCA与∠OCD两角和的度数.
考点:
二次函数综合题.
专题:
代数几何综合题.
分析:
(1)根据待定系数法求直线BC的解析式即可;把点B、C的坐标代入二次函数,利用待定系数法求函数解析式解答;
(2)根据抛物线解析式求出顶点D的坐标,再根据二次函数的对称性求出点A的坐标,连接AD,然后求出∠ADP=∠ABC=45°,然后证明△ADP和△ABC相似,根据相似三角形对应边成比例列出比例式求出PD的长度,从而得解;
(3)连接BD,利用勾股定理求出BD、BC的长度,再求出∠CBD=90°,然后根据∠BCD与∠ACO的正切值相等可得∠BCD=∠ACO,从而得到∠OCA与∠OCD的和等于∠BCO,是45°.
解答:
解:
(1)设直线BC的解析式为y=kx+m,
∵点B(﹣3,0),点C(0,﹣3),
∴,
解得,
所以,直线BC的解析式为y=﹣x﹣3,
∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点B(﹣3,0),点C(0,﹣3),
∴,
解得,
∴二次函数的解析式为y=﹣x2﹣4x﹣3;
(2)∵y=﹣x2﹣4x﹣3=﹣(x+2)2+1,
∴抛物线的顶点D(﹣2,1),对称轴为x=﹣2,
∵A、B关于对称轴对称,点B(﹣3,0),
∴点A的坐标为(﹣1,0),
AB=﹣1﹣(﹣3)=﹣1+3=2,
BC==3,
连接AD,则AD==,
tan∠ADP==1,
∴∠ADP=45°,
又∵B(﹣3,0),C(0,﹣3),
∴△OBC是等腰直角三角形,
∴∠ABC=45°,
∴∠ADP=∠ABC=45°,
又∵∠APD=∠ACB,
∴△ADP∽△ABC,
∴=,
即=,
解得DP=3,
点P到x轴的距离为3﹣1=2,
点P的坐标为(﹣2,﹣2);
(3)连接BD,∵B(﹣3,0),D(﹣2,1),
∴tan∠DBA==1,
∴∠DBA=45°,
根据勾股定理,BD==,
又∵∠ABC=45°,
∴∠DBC=45°×2=90°,
∴tan∠BCD===,
又∵tan∠OCA==,
∴∠BCD=∠OCA,
∴∠OCA+∠OCD=∠BCD+∠OCD=∠OCB,
∵B(﹣3,0),C(0,﹣3),
∴△OAC是等腰直角三角形,
∴∠OCB=45°,
即∠OCA与∠OCD两角和是45°.
点评:
本题是对二次函数的综合考查,主要利用了待定系数法求函数解析式,二次函数的对称性,解直角三角形,勾股定理,以与相似三角形的判定与性质,利用数据的特殊性求出等腰直角三角形得到45°角,然后找出相等的角是解题的关键.
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