极化恒等式.docx
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极化恒等式
活跃在高考中的一个恒等式
极化恒等式
01何谓极化恒等式
2
abab
P为平面ABC内一点,
三角形模型:
在ABC中,D为BC的中点:
ABACADBDADCDAD1BC
平行四边形模型
在平行四边形ABCD中:
ABAD14ACBD
02极化恒等式应用
例1,(2017全国II,理12)已知ABC是边长为2的等边三角形,
则PAPBPC的最小值是(
解法2(极化恒等式):
设BC的重点为O,OC的中点为M,连接OP,PM,
E,F分别是BC,AC上的
当且仅当M与P重合始去等号.
例2在ABC中,已知C90,AC4,BC3,D是AB的中点,
动点,且EF=1,
则DEDF的最小值为()
A.5
4
B.145
C.147
D.17
4
3
则A4,0,B0,3,D2,,
解法1(坐标法)
以AC所在直线为x轴,BC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,
DFa2,
2DFa2,
设E0,b,Fa,0,则a2b21,DE2,b3
DEDF252a3b2514a3b,
4242
本题也可用三角换元法解决
1P0是边AB上的一定点,满足P0B1AB,
4
点P,恒有PBPCP0BP0C,则()
A.ABC90
B.ABAC
C.BAC90
D.ACBC
解法1(坐标法)
以AB为x轴,AB的中垂线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,设AB4,Ca,b,Px,0,则P01,0,A2,0,B2,0,PB2x,0,PCax,b,P0B1,0,P0Ca1,b,
a11,即:
a0,
解法2(基地法)
解法3(极化恒等式)
解法1(坐标法)
以BC为x,D为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系
例4、(2016江苏)如图,在ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,
解法2(基底法)
BACA4,BFCF1,则BECE值为
解法3(极化恒等式)
例5、(2018宝鸡一模)直线axbyc0与圆O:
x2y216相交于两点M,N,若c2a2b2
解法1(坐标法)
以O为坐标原点,MN的平行线为x轴,建立如图所示的直角坐标系,
解法2(基底法)
例6,如图,已知B,D是直角
11
CMCACB,CNCDCA,
22
3,BAD
6
C两边上的动点,ADBD,AD则CMCN的最大值为
1
2
解法1(坐标法)
以C为坐标原点,BC为x轴,建立如图所示的直角坐标系,
解法3(极化恒等式)
解法2(基底法)
:
∙CM9C^≤g+学尸一^=∣(√13+4)f
故詡的⅛⅛人值为?
(寸13+4).
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