高考数学总复习集合与简易逻辑第一章 12.docx
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高考数学总复习集合与简易逻辑第一章12
§1.2 充分条件与必要条件
充分条件、必要条件与充要条件的概念
一般地,如果p⇒q,那么称p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q,且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q,且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分又不必要条件
p⇏q,且q⇏p
概念方法微思考
若条件p,q以集合的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则由A⊆B可得,p是q的充分条件,请写出集合A,B的其他关系对应的条件p,q的关系.
提示 若AB,则p是q的充分不必要条件;
若A⊇B,则p是q的必要条件;
若AB,则p是q的必要不充分条件;
若A=B,则p是q的充要条件;
若A⊈B且A⊉B,则p是q的既不充分又不必要条件.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( √ )
(2)已知集合A,B,则A∪B=A∩B的充要条件是A=B.( √ )
(3)q不是p的必要条件时,“p⇏q”成立.( √ )
(4)若p⇒q,则p是q的充分不必要条件.( × )
题组二 教材改编
2.“x-3=0”是“(x-3)(x-4)=0”的____________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
答案 充分不必要
3.“sinα=sinβ”是“α=β”的__________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
答案 必要不充分
4.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是________.
答案 m=-2
题组三 易错自纠
5.设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分又不必要条件
答案 C
解析 由x>y推不出x>|y|,由x>|y|能推出x>y,所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.
6.(多选)设x∈R,则x>2的一个必要不充分条件是( )
A.x<1B.x>1C.x>-1D.x>3
答案 BC
7.已知集合A=
,B={x|-1 答案 (2,+∞) 解析 因为A= ={x|-1 所以AB,所以m+1>3,即m>2. 充分、必要条件的判定 1.设命题p: x>4;命题q: x2-5x+4≥0,那么p是q的______________条件.(选填“充分不必要”必要不充分“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要 解析 由x2-5x+4≥0得x≤1或x≥4,可知{x|x>4}是{x|x≤1或x≥4}的真子集,∴p是q的充分不必要条件. 2.王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”,请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪,非常之观”的( ) A.充要条件B.既不充分又不必要条件 C.充分不必要条件D.必要不充分条件 答案 D 解析 非有志者不能至,是必要条件;但“有志”也不一定“能至”,不是充分条件. 3.设p: x<1,q: log2x<0,则p是q的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案 B 解析 由 x<1知x>0,所以p对应的集合为(0,+∞),由log2x<0知0 4.若集合A={x|x2-6x+5<0},B={x||x-a|<1},则“a∈(2,3)”是“B⊆A”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案 A 解析 A={x|1 ∵B⊆A,∴ 即2≤a≤4, ∵(2,3)[2,4],∴“a∈(2,3)”是“B⊆A”的充分不必要条件. 思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法 (1)定义法: 根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法: 根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母范围的推断问题. 充分、必要条件的应用 例1 已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围. 解 由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}. 由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P. 则 ∴当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件, 即所求m的取值范围是[0,3]. 若本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件. 解 若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S, ∴ 方程组无解, 即不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件. 思维升华 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 跟踪训练1 (1)已知p: 1≤x≤2,q: (x-a)(x-a-1)≤0,若p是q的充要条件,则实数a的值为________. 答案 1 解析 q: (x-a)(x-a-1)≤0,∴a≤x≤a+1. 由p是q的充要条件知 ∴a=1. (2)设p: |2x+1| >0.若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围为__________. 答案 (0,2] 解析 由|2x+1| ∴- ,且- <0, 由 >0,得x< 或x>1. ∵p是q的充分不必要条件, ∴ ≤ ,∴0 充要条件的探求 例2 已知两个关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0和x2-4mx+4m2-4m-5=0,求两方程的根都是整数的充要条件. 解 因为mx2-4x+4=0是一元二次方程, 所以m≠0. 又另一方程为x2-4mx+4m2-4m-5=0,且两方程都要有实根, 所以 解得m∈ . 因为两方程的根都是整数, 故其根的和与积也为整数, 所以 所以m为4的约数. 又因为m∈ , 所以m=-1或1. 当m=-1时,第一个方程x2+4x-4=0的根不是整数; 而当m=1时,两方程的根均为整数, 所以两方程的根均为整数的充要条件是m=1. 思维升华 探求充要条件的关键在于转化的等价性,解题时要考虑条件包含的各种情况,保证条件的充分性和必要性. 跟踪训练2 (1)命题“对任意x∈[1,2),x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A.a≥4B.a>4 C.a≥1D.a>1 答案 B 解析 要使“对任意x∈[1,2),x2-a≤0”为真命题,只需要a≥4,所以a>4是命题为真的充分不必要条件. (2)(2020·武汉质检)关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________. 答案 ac<0 解析 ax2+bx+c=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是 即ac<0. 1.“log2(2x-3)<1”是“4x>8”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案 A 解析 由log2(2x-3)<1⇔0<2x-3<2⇔ ,4x>8⇔2x>3⇔x> ,所以“log2(2x-3)<1”是“4x>8”的充分不必要条件,故选A. 2.设a,b∈R,则“(a-b)a2<0”是“a A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 答案 A 解析 由(a-b)a2<0可知a2≠0,则一定有a-b<0,即a 3.“|x-1|<2”是“x<3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案 A 解析 由|x-1|<2,可得-1 ∵{x|-1 ∴“|x-1|<2”是“x<3”的充分不必要条件. 4.(2019·东莞模拟)若实数a,b满足a>0,b>0,则“a>b”是“a+lna>b+lnb”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案 C 解析 设f(x)=x+lnx,显然f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∵a>b,∴f(a)>f(b), ∴a+lna>b+lnb,充分性成立; ∵a+lna>b+lnb, ∴f(a)>f(b),∴a>b,必要性成立, 故“a>b”是“a+lna>b+lnb”的充要条件,故选C. 5.若“x>1”是“不等式2x>a-x成立”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是( ) A.a>3B.a<3C.a>4D.a<4 答案 A 解析 若2x>a-x,即2x+x>a.设f(x)=2x+x,则函数f(x)为增函数.由题意知“2x+x>a成立,即f(x)>a成立”能得到“x>1”,反之不成立.因为当x>1时,f(x)>3,∴a>3. 6.已知p: x≥k,q: (x+1)(2-x)<0,如果p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是( ) A.[2,+∞)B.(2,+∞) C.[1,+∞)D.(-∞,-1] 答案 B 解析 由q: (x+1)(2-x)<0,得x<-1或x>2,又p是q的充分不必要条件,所以k>2,即实数k的取值范围是(2,+∞),故选B. 7.(多选)若x2-x-2<0是-2 A.1B.2C.3D.4 答案 BCD 解析 由x2-x-2<0,解得-1 ∵x2-x-2<0是-2 ∴(-1,2)(-2,a),∴a≥2. ∴实数a的值可以是2,3,4. 8.(多选)下列叙述中不正确的是( ) A.若a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充要条件是“b2-4ac≤0” B.若a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c” C.“a<1”是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D.“a>1”是“ <1”的充分不必要条件 答案 AB 解析 A错误,当a=0,b=0,c<0时,满足b2-4ac≤0,但此时ax2+bx+c≥0不成立,故若a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充要条件是“b2-4ac≤0”错误; B错误,若a,b,c∈R,“a>c”且b=0时,推不出“ab2>cb2”,故错误; C正确,若方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根,则Δ=1-4a>0,x1x2=a<0,则a<0,又“a<1”是“a<0”的必要不充分条件,故正确; D正确,“a>1”⇒“ <1”但是“ <1”推不出“a>1”,故正确. 9.已知命题p: > ,命题q: ∀x∈R,ax2+ax+1>0,则p成立是q成立的________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要 解析 命题p等价于0 对∀x∈R,ax2+ax+1>0等价于 或 则0≤a<4,所以命题p成立是命题q成立的充分不必要条件. 10.(2019·福州模拟)已知f (x)是R上的奇函数,则“x1+x2=0”是“f (x1)+f (x2)=0”的__________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要 解析 ∵函数f(x)是奇函数,∴若x1+x2=0,则x1=-x2,则f(x1)=f(-x2)=-f(x2),即f(x1)+f(x2)=0成立,即充分性成立;若f(x)=0,满足f(x)是奇函数,当x1=x2=2时,满足f(x1)=f(x2)=0,此时满足f(x1)+f(x2)=0,但x1+x2=4≠0,即必要性不成立.故“x1+x2=0”是“f(x1)+f(x2)=0”的充分不必要条件. 11.若x∈{-1,m}是不等式2x2-x-3≤0成立的充分不必要条件,则实数m的取值范围是________. 答案 解析 不等式可转化为(x+1)(2x-3)≤0,解得-1≤x≤ ,由于x∈{-1,m}是-1≤x≤ 的充分不必要条件,结合集合元素的互异性,得到m∈ . 12.设p: 实数x满足x2-4ax+3a2<0(其中a>0),q: 实数x满足 ≤0.若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
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