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认识正比例
认识正比例
一、教材分析
正比例的意义这一内容,教材中分两部分设计的,第一节课,向学生展示了生活中一些相关联的量,例如骆驼的体温随着时间变化等,这里有成正比例的量,也有成反比例的量,让学生理解了什么是相关联的量。
同时教材采用了表格、文字叙述、正比例图像三种呈现方法,在下面的学习中学生就能够想到利用这些方法描述两种量之间的关系,这一节的设计为正比例意义的教学做了很好的铺垫,分散了正比例教学的难点,在正比例意义一课中,教材也没有采用教师教概念,学生学概念的方法,出现了4个图像,正方形的周长与边长;面积与边长的变化情况,让学生填表,找出相似的变化规律,从而概括总结出正比例的意义。
力图在理解概念的过程中提高学生的概括能力。
考虑到学生需要有兴趣,所以在尊重教材教学意图,遵循新课程理念的情况下,做了些校本化的处理,只改变了某些题目的呈现方法,仍能达到殊途同归的效果。
三、学习目标
1、理解正比例的意义,掌握正比例的字母表达式,会正确判断两个量是不是成正比例关系的两个量,能找出生活中成正比例量的实例,并进行交流
2、在具体的生活情境中,经历操作、观察、对比、归纳的学习过程,学会在生活中体验知识,运用知识,感受数学和生活的密切联系。
3、渗透函数思想,初步建立事物是相互联系的辩证观念。
四、教学过程
(一)、谈话
知道埃及吗?
听到埃及你能想到什么吗?
你想了解跟金字塔有关的什么知识?
其他的知识我们有空在探讨,今天先来说说跟埃及高度有关的知识。
埃及的金字塔是闻名世界的建筑,他有多高,在古代没有那么先进的测量工具,他们又是怎样测量出金字塔的高度的呢?
请同学们先来了解一个人:
泰勒斯。
泰勒斯——第一个测量出金字塔高度的人
泰勒斯(公元前624年至前547年),出生在小亚细亚爱奥尼亚西岸的米利都城的一个奴隶主贵族家庭。
他年轻时,曾到很多国家游学。
回到家乡米利都后,他创办了希腊最早的哲学学派——爱奥尼亚学派,并继续从事哲学、数学、天文学等学科的研究。
恩格斯在他的《自然辩证法》中是这样评述泰斯勒的:
他是希腊最古老的哲学家、自然科学家、几何学家,是古希腊第一位享有世界声誉,有“科学之父”和“希腊数学的鼻祖”美称的伟大学者。
提起埃及这个古老神秘、充满智慧的国度,人们首先想到的金字塔。
金字塔是古埃及国王的陵墓,建于公元前2000多年。
古埃及人民仅靠简单的工具,竟能建造出这样雄伟而精致的建筑,真是奇迹!
虽历经漫长的岁月,它们如今仍巍峨的送礼者。
但是,在金字塔建成的1000多年里,人们都无法测量出金字塔的高度——他们实在太高大了。
当他看到金字塔在阳光下的影子时,他突然想到办法了。
这一天,阳光的角度很合适,他把他底下的所有东西都拖出一条长长的影子。
泰勒斯仔细地观察着影子的变化,找出金字塔地面正方形的一边的中点(这个点到边的两边的距离相等),并作了标记。
然后他笔直地站立在沙地上,并请人不断测量他的影子的长度。
当影子的长度和他的身高相等时,他立即跑过去的测量金字塔影子的顶点到做标记的中点的距离。
他稍做计算,就得出了这座金字塔的高度。
你能理解泰勒斯的计算方法吗?
(二)展开探究
1、猜想:
在此时此刻,相同的地点,如果有一根8米长的竹竿,它的影长有多长呢?
杆高
1米
8米
?
米
…
影长
1.5米
?
米
30米
…
画函数图
竹杆高度和影子的长度有关系吗?
什么关系?
你发现了什么?
1.5:
1=1.512:
8=1.530:
20=1.5(相对应的竹竿高度和影长的比值都是1.5,相等.)板书:
影长/杆高=1.5不变或者一定
说明:
物体的高度怎样变化,影长也跟着变化,但无论怎么变,有一样东西不变,那就是影长和杆高的比值或者说商
你能举例说明我们生活中有没有这样相关联的量呢?
2、从学生熟悉情境入手,体会比值不变的特点
相同的杯子,在里面加入水:
高度
2
4
6
8
10
50
…
体积
50
100
…
观察数据,你能发现体积和水的高度有什么规律?
为什么?
你能用一个算式来概括这两种量之间的变化规律吗?
(体积/高度=底面积)
也就是说无论高度怎样变化,体积也会跟着变化,在变化的过程中,体积和高度的比值是不变的。
3、通过找共同点,概括正比例的意义:
上面两个表格中的两种量的变化有什么共同的规律?
(都有两种量,而且是相关联的量,这两种量在变化的时候比值都会不变。
)
体积和高度是两种相关联的量,高度变化,体积也变化,当体积和高度的商一定时,那么体积和高度成正比例关系,这两个量就是成正比例关系的量。
练习:
C÷a=4()和()是两种相关联的量,()变化,()也随着变化,当()与()的商一定时,我们就说()和它的()成正比例关系,()和()是成正比例的量。
4、抽象出正比例的字母表达式
影长/杆高=1。
5体积/高度=底面积(25)
你能用含有字母的算式来表示成正比例关系的两种量吗?
(Y/X=K一定)
三、巩固习题:
1、在生活中,你知道哪些量之间有着关系呢?
有着什么关系?
长方形的长和宽、人的身高和体重、蜡烛燃烧的时间和蜡烛的长短、总价和数量
2、判断下面两种量是不是成正比例的量。
买《淘气包马小跳》的本数与所用钱数的关系如下表,根据表中总价与本数相对应的数据,判断当单价是6元是,它们是不是成正比例,并说明理由。
本数(本)
1
2
3
4
……
总价(元)
6
12
18
24
……
3、 读下面的儿歌,在这首儿歌中发现了成正比例的量了吗?
你能用一个算式表示这种关系吗?
一只青蛙一张嘴,两只眼睛四条腿;两只青蛙两张嘴,四只眼睛八条腿;三只青蛙三张嘴,六只眼睛十二条腿……
4、下列我们学过的公式中,哪些能成正比例关系?
S=2∏rV=sh(h一定)S=ah÷2(a一定)
S=a2S=∏r2C=(a+b)×2(b一定)S=vt(s一定)
(一)、谈话
知道埃及吗?
听到埃及你能想到什么吗?
你想了解跟金字塔有关的什么知识?
其他的知识我们有空在探讨,今天先来说说跟埃及高度有关的知识。
埃及的金字塔是闻名世界的建筑,他有多高,在古代没有那么先进的测量工具,他们又是怎样测量出金字塔的高度的呢?
请同学们先来了解一个人:
泰勒斯。
(讲解泰勒斯测量金字塔的高度的故事)
你能理解泰勒斯的计算方法吗?
二、教学新课:
东方明珠广播电视塔,又名东方明珠塔,是一座位于中国上海的电视塔。
坐落在中国上海浦东新区陆家嘴,毗邻黄浦江,与外滩隔江相望。
东方明珠塔是由上海现代建筑设计(集团)有限公司的江欢成设计。
建筑动工于1991年,于1994年竣工,投资总额达8.3亿元人民币。
1、设置情境,体会研究两种相关联的量的关系的必要性。
(幻灯片出示东方明珠电视塔的图片)
师:
你们知道怎样测量东方明珠吗?
他的有多高你知道吗?
师:
你想知道怎样测量金字塔的高度吗?
师:
泰勒斯做了一个实验,在同一时间,同一地点,把很多长度不同竹竿插在地上,(幻灯片出示图片,竹竿由矮到高,它们的影子也由短变长)
师:
你发现了什么?
(竹竿越高,影子越长)
师:
随着竹竿高度的增加,竹竿的影子怎么样了?
(就是竹竿的高度变化了,影子的高度也随着变化了)
师:
请同学们想办法整理一下前面的数据,小组讨论一下,看一看你发现了什么?
(教师给出竿高和影长的具体数据)在此时此刻,相同的地点,如果拿来一根8米长的竹竿,它的影子有多长呢?
杆高(m)
1
3
4
5
8
…
影长(m)
1.5
4.5
6
7.5
?
…
(1.5/1=1.54.5/3=1.56/4=1.5……)(相对应的竿高和影长的比值都是1.5)
师:
这个规律我能不能用一个算式概括呢?
(竿高/影长)
师:
如果拿来一根8米长的竹竿,它的影子有多长呢?
你是怎样解决这个问题的?
师:
原来物体的高度和影子的长度之间还存在这样的秘密呢。
也就是说无论物体的高度怎样变,影子的长度也随着它变,但是有一样东西不变?
什么不变?
(他们的商或者是比值不变)
师:
那么,这个神奇的规律和东方明珠的高度又有什么关系呢?
你想到了什么?
(学生试说)
师:
你想到了泰勒斯怎样测量金字塔的高度了吗?
师:
我们再来看一眼这个神奇的规律,在这个规律中存在两种变化的量它们是(竿高和影长)竿高增加了,影长(也随着增加),竿高减少了,影长(也随着减少)但是无论他们怎么变,这两种量的(商)不变。
2、从学生熟悉的速度货物时间入手,体会比值不变的特点。
(设计意图:
跳动学生的多种感官,让学生在动手的过程中,动脑思考,发现规律,并能应用规律解决问题。
渗透函数的思想。
由于规律学生是自己动手发现的,更有信服力。
)
明明用火柴棒摆正方形,摆一个正方形用4根小棒,摆两个正方形用8根小棒,请同学们按照这样的规律摆一摆,并完成下面的表格。
正方形的个数/个
1
2
3
4
5
19
…
小棒的根数/根
4
8
…
师:
观察这些数据,你能发现正方形的个数与小棒的根数有什么规律?
(4/1=48/2=412/3=4…,也就是两种量的比值都是4)
师:
你能够用一个算式概括这两种量之间变化的规律吗?
(小棒的根数/正方形的个数)
师:
也就是无论正方形个数怎样变化,小棒的根数随着变化,在变化的过程中,它们的比值是不变的。
这个规律非常有用,当正方形的个数非常多的时候,我们不用再摆了,只需要计算一下,就知道小棒是多少根了。
点评:
动手操作,学生不再旁观了,增强了学生的参与意识,同时也验证了这种规律普遍存在于生活中。
3.通过找共同点,概括正比例的意义。
(设计意图:
通过归纳的方法,结合具体量,总结正比例的意义。
解决以往教学中教师对概念中的词逐字逐句地咀嚼,而学生还不能理解概念的情况。
上面两个表格中的两种量的变化有什么共同的规律?
)
(都有两种量,这两种量有关联,这两种量在变化的时候都是比值不变)
师:
凡是存在这样关系的两种量,我们就可以把它叫做成正比例的量。
我们可以这样说杆高和影长是两种相关联的量,杆高变化,影长也随着变化,当杆高与影长的商一定时,我们就说物体的高度和它影子的长度成正比例,物体的高度和它的影子的长度是成正比例的量。
师:
你能说一说吗?
(填空练习)
小棒根数÷正方形个数=4
()和()是两种相关联的量,()变化,()也随着变化,当()与()的商一定时,我们就说()和它的()成正比例,()和()的长度是成正比例的量。
(设计意图:
通过上面两个例子,学生虽然不能用准确的数学语言进行描述,已经对正比例的意义有所感悟了,通过概括相同点,学生能够更清晰地看到了正比例意义中的变化与不变。
)
4.抽象出正比例的字母表达式。
(设计意图:
正比例的字母表达式是更高一层的抽象,让学生自己想办法用一个式子表示出这种规律,对学生的概括能力提出了更高的要求,学生在想办法的过程中理解了表达式中每个字母的含义。
)
师:
竿高/影长=1.5小棒的根数/正方形的个数=4
你能用一个算式表示出成正比例的两种量的关系吗?
(y÷x=k(一定))
师:
y代表一种量,x代表另一种量,k代表他们的比值,一定用来限制这个比值的,说明它是一个不变的数
三、习题设计
1、判断下面两种量是不是成正比例的量。
(设计意图:
通过应用,理解正比例的意义。
)
买《淘气包马小跳》的本数与所用钱数的关系如下表,根据表中总价与本数相对应的数据,判断当单价是6元是,它们是不是成正比例,并说明理由。
本数(本)
1
2
3
4
……
总价(元)
6
12
18
24
……
2、 读下面的儿歌,在这首儿歌中发现了成正比例的量了吗?
你能用一个算式表示这种关系吗?
(设计意图:
让学生能在开放性的情境中应用正比例的意义进行判断题,拓宽学生的思路。
)
一只青蛙一张嘴,两只眼睛四条腿;两只青蛙两张嘴,四只眼睛八条腿;三只青蛙三张嘴,六只眼睛十二条腿……
四、总结:
通过这节课的学习,你了解了什么?
有什么问题想问老师的吗?
反思:
1、设疑,引起学生思考和探索的兴趣。
设计金字塔教学情境,目的是为了把学生放在一个解决问题的情境中,引起学生积极主动的思考;竿高和影长的比值是不变的,是生活中原本就存在的规律,不是教师臆造的,使学生体会数学的神奇,激起学生的兴趣。
同时渗透发现规律的重要性,只要知道了规律,就可以不用测量,而直接计算就可以了。
怎样测量金字塔的高度呢?
爬上去吗?
不可能,即使爬上去了,塔身是斜的,也没有办法测出金字塔的高度,泰勒斯居然能用小小的竹竿解决问题,怎么解决的呢,当学生在整理数据并计算的过程中,忽然发现只要在同一时间同一地点,无论竿高与影长怎样变化,它们的比值都不变,真是太神奇了?
2、选用教材内容,原因之一是比较接近学生,学生容易理解。
不选用路程和时间、总价和数量,是因为路程要在汽车匀速行驶的前提下才能成正比例,现实中是达不到的,而总价和数量呢,和现实生活中买多可以讨价还价、优惠的事实不符合。
3、重视知识的形成过程,放慢学习速度,有助于概念的理解。
新课程标准中强调从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。
正比例意义一课包含的难点很多,正比例的意义,正比例的图像都是教学的难点,如果把这些知识都集中在一堂课中,学生囫囵吞枣,理解得不深不透。
本节课把教学目标定位于正比例的意义,并且在发现规律上重点着墨,看起来好像是浪费了很多时间,俗话说:
“磨刀不误砍柴功”,学生在知识的形成过程中,已经深刻理解了重点词“相关联的量”、“比值一定”的含义,为后继学习扫清了障碍。
4、学习方式的一点点转变,带来学习效果的一大块进步。
要改变以往接受式的学习,多给学生探索、动手操作的时间与空间,让学生在探索中自主发现规律。
实践表明,学生喜欢动手操作,喜欢有挑战性的问题,能够积极主动投入到学习中。
在正比例的练习中,学生都能够用除法去验证结果是不是一定的,从而判断两种量是否成正比例,可见教学效果非常好。
相比之下,让学生亲身经历探索的过程,有利于学生对新知识的掌握和理解,遗憾的是:
在同一时间,同一地点,物体的竿高与影长是成正比例的。
如果能够让学生到外面实际测量一下,会更有说服力。
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