中考数学专题讲座 应用性问题.docx
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中考数学专题讲座应用性问题
中考数学专题讲座应用性问题
概述:
学习数学的目的在于应用,应用性问题已成为近年中考的热点,在解决这类问题时,要认真理解题意,将问题转化为纯数学问题,用所学数学知识进行解答,在解答过程中要考虑其合理性.
典型例题精析
例1.在正常情况下,一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数5分(次/分)是这个人年龄n(岁)的一次函数.
(1)根据以上信息,求在正常情况下,S关于n的函数的关系式;
(2)若一位63岁的人在跑步,医生在途中给他测得10秒心跳为26次,问:
他是否有危险?
为什么?
根据医学上的科学研究表明,人在活动时,心跳的快慢通常和年龄相关.
在正常情况下,年龄在15岁和45岁的人在运动时所能承受的最高心跳次数分别为164次/分和144次/分.
解:
(1)设S与n之间的函数关系式为S=kn+b,
由题意得
解得
∴S与n之间的函数关系是S=-
n+174.
(2)当n=63岁时,S=
×63+174=132.
现在这位老人心跳是26×6=156>132.
因此,他这时有一定的危险.
例2.教室里放有一台饮水机(如图),饮水机上有两个放水管,课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水.假设接水过程中水不发生泼洒,每个同学所接的水量都是相等的.两个放水管同时打开时,他们的流量相同.放水时先打开一个水管,过一会儿,再打开第二水管,放水过程中阀门一直开着.饮水机的存水量y(升)与放水时间x(分钟)的函数关系如图所示:
(1)求出饮水机的存水量y(升)与放水时间x(分钟)(x≥2)的函数关系式;
(2)如果打开第一个水管后,2分钟时恰好有4个同学接水结束,则前22个同学接水结束共需要几分钟?
(3)按
(2)的放法,求出在课间10分钟内班级中最多有多少个同学能及时接完水?
解:
设存水量y与放水时间x的解析式为y=kx+b
把(2,17),(12,8)代入y=kx+b得
解得k=-
,b=
,
∴y=-
x+
.(2≤x≤
)
(2)由图可得每个同学接水量是0.25升,
则前22个同学需接水0.25×22=5.5升.
存水量y=18-5.5=12.5升,
∴12.5=-
x+
,∴x=7.
∴前22个同学接水共需7分钟.
(3)当x=10时,存水量y=-
×10+
=
,
用去水18-
=8.2升,
8.2÷0.25=32.8.
∴课间10分钟最多有32人及时接完水,或设课间10分钟最多有z人及时接完水,由题意可得0.25x≤8.2,z≤32.8.
例3.某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品,已知每件产品的进价为40元,每年销售该种产品的总开支(不含进价)总计120万元,在销售过程中发现,年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间存在着如图所示的一次函数关系.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)试写出该公司销售该种产品的年获利z(万元)关于销售单价x(元)的函数关系式(年获利=年销售额-年销售产品总进价-年总支开),当销售单位x为何值时,年获利最大?
并求这个最大值;
(3)若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元,借助
(2)中函数的图象,请你帮助该公司确定销售单价的范围.在此情况下,要使产品销售量最大,你认为销售单价应定为多少元?
解:
(1)设y=kx+b,它过点(60,5),(80,4),
∴
解得
∴y=-
x+8.
(2)z=yx-40y-20=(-
x+8)(x-40)-120=-
x2+10x-440,
∴当x=100元时,最大年获利为60万元.
(3)令z=40,得4=-
x2+10x-440,整理得:
x2-200x+9600=0,
解得:
x1=80,x2=120.
由图象可知,要使年获利不低于40万元,销售单价应在80元到120元之间,又因为销售单价越低,销售量越大,所以要使销量最大,又要使年获利不低于40万元,销售单价应定为80元.
中考样题训练
1.据《人民日报》2007年6月11日报道,今年1~4月福州市完成工业总产值550亿元,比去年同期工业总产值增长21.46%,请估计去年同期工业总产值在()
A.380~400(亿元)B.400~420(亿元)
C.420~440(亿元)D.440~460(亿元)
2.在地表以下不太深的地方,温度y(℃)与所处的深度x(km)之间的关系可以近似用关系式y=35x+20表示,这个关系式符合的数学类型是()
A.正比例函数B.反比例函数C.二次函数D.一次函数
3.用一张面积为900cm2的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面,则这个圆柱的底面直径为________cm.
4.如图,某燃料公司的院内堆放着10个外径为1米的空油桶,为了防雨,需搭建简易雨棚,这个防雨棚的高度最低应为_______米(
取1.73,结果精确到0.1米).
5.如图,一把纸折扇完全打开后,外侧两竹条AB和AC的夹角为120°,AB长为25cm,贴纸部分的宽BD为17cm,则贴纸部分的面积为_______cm2(结果用
表示).
6.为庆祝六一儿童节,某市中小学统一组织文艺汇演,甲、乙两所学校共92人,(其中甲校人数多于乙校人数,且甲校人数不够90人),准备统一购买服装参加演出,下面是某服装厂给出的演出服装的价格表:
购买服装的套数
1~45套
46~90套
91套以上
每套服装的价格
60元
50元
40元
如果两所学校分别单独购买服装,一共应付5000元.
(1)如果甲、乙两校联合起来购买服装,那么比各自购买服装共可以节省多少钱?
(2)甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出?
(3)如果甲校有10名同学抽调去参加书法绘画比赛而不能参加演出,请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装的方案.
7.某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套,经过一段时间的经营发现:
当每套机械设备的月租金为270元时,恰好全部租出.在此基础上,当每套设备的月租金每提高10元时,这种设备就少租出一套,且未租出的一套设备每月需要支出费用(维护费、管理费等)20元,设每套设备的月租金为x(元),租赁公司出租该型号设备的月收益(收益=租金收入-支出费用)为y(元)
(1)用含x的代数式表示未租出的设备数(套)以及所有未租出设备(套)的支出费用;
(2)求y与x之间的二次函数关系式;
(3)当月租金分别为300元和350元时,租赁公司的月收益分别是多少元?
此时应该出租多少套机械设备?
请你简要说明理由?
(4)请把
(2)中所求出的二次函数配方成y=a(x+
)2+
的形式,并据此说明:
当x为何值时,租赁公司出租该型号设备的月收益最大?
最大月收益是多少?
考前热身训练
1.某商品原价100元,现有4种调价方案,其中0 (A)先涨价m%,再降价n% (B)先涨价n%,再降价m% (C)先涨价 %,再降价 % (D)先涨价 %,再降价 % 2.某商品标价1375元,按标价的80%售出仍可获利10%,则该商品的进价是____元. 3.某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机,已知该厂家生产三种不同型号的电视机,出厂价分别为: 甲种每台1500元,乙种每台2100元,丙种每台2500元. (1)某商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台,用去9万元,请你研究一下商场进货方案; (2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元,销售一台乙种电视机可获利200元,销售一台丙种电视机可获利250元,在同时购进两种不同型号电视机的方案中,为使销售的获利最多,你选择哪种进货方案? 4.某校组织360名师生去参观三峡工程建设,如果租用甲种客车若干辆刚好坐满;如果租用乙种客车可少租1辆且余40个空位. (1)已知甲种客车比乙种客车少20个座位,求甲、乙两种客车各有多少个座位? (2)已知甲种客车租金是每辆400元,乙种客车租金是每辆480元,这次参观同时租用这两种客车,其中甲种客车比乙种客车少租1辆,所用租金比单独租用任何一种客车要节省,按这种方案需用租金多少元? 5.如图,有长为24m的篱笆,一面利用墙(墙的最大长度为10m),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB为xm,面积为Sm2. (1)求S与x的函数关系式; (2)如果要围成面积为45m2的花圃,AB长应为多少m? (3)能围面积比45m2更大的花圃吗? 如果能,请求出最大的面积,并说明围法;如不能,请说明理由. 答案: 中考样题训练 1.D2.D3. 4.3.65. 6.解略. 7. (1)未租出的设备为 套,所有未租出设备的支出费用为(2x-540)元; (2)y=(40- )x-(2x-540)=- x2+65x+540, ∴y=- x2+65x+540. (说明: 此处不要求写出x的取值范围) (3)当月租金为300元时,租赁公司的月收益为11040元,此时租出设备37套; 当月租金为350元,租赁公司的月收益为11040元,此时租出设备32套. 因为出租37套和32套设备获得同样的收益,如果考虑减少设备的磨损,应该选择出租32套;如果考虑市场的占有率,应该选择出租37套; (4)y=- x2+65x+540=y- (x2-2×325x+3252)+540+ ×3252 =- (x-3252)+11102.5 ∴当x=325时,y有最大值11102.5,但是,当月租金为325元时,租出设备套数为34.5,而34.5不是整数,故租出设备应为34(套)或35(套),即当月租金为330元(租出34套)或月租金为320元(租出35套)时,租赁公司的月收益最大,最大月收益均为11100元. 考前热身训练 1.(A)2.1000元 3. (1)分情况计算比较.①设购甲种电视机x台,乙种电视机y台,则 解之得x=25,y=25 ②设甲种电视机购x台,丙种电视机购z台,则 解得x=35,z=15 ③设购乙种电视机y台,丙种电视机z台,则 解之得y=87.5,z=-37.5(舍去) 故应选①、②方案. (2)①当购甲种25台,乙种25台时,获得: 150×25+200×25=8750元; ②当购甲种35台,丙种15台时,获利: 150×35+250×15=9000元. 故应选第②种方案. 4. (1)设甲种客车有x个座位,则乙种客车有(x+20)个座位,依题意, +1解之得x1=60,x2=-120(舍) (2)设租用甲种客车y辆,则租用乙种客车(y+1)辆,由于单独租用甲种客车需6辆,单独租用乙种客车需5辆,租金都是2400元,所以得 400y+480(y+1)<2400,y< ,∴y=1或2. 当y=1时,y+1=2,则60×1+80×2=220<360(舍). 当y=1时,y+1=3,则60×2+80×3=360. 此时,租金为400×2+480×3=2240(元). 5. (1)设宽AB为x米,则BC为(24-3x)米. 这时面积S=x(24-3x)=-3x2+24x. (2)由条件-3x2+24x=45, 化为x2-8x+15=0,解得x1=5,x2=3. ∵0<24-3x≤10得 ≤x<8, ∴x2不合,AB=5,即花圃的宽AB为5米. (3)S=-3x2+24x=-3(x2-8x)=-3(x-4)2+48, ∵ ≤x<8,当∴x= 时,S有最大值 48-3( -4)2=46 (米2) 能,围法: 24-3× =10,花圃的长为10米,宽为4 米,这时有最大面积46 平方米.
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