高考数学考纲解读与热点难点突破专题函数的图象与性质热点难点突破文.docx
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高考数学考纲解读与热点难点突破专题函数的图象与性质热点难点突破文
专题02函数的图象与性质
1.下列函数中既是奇函数,又在区间(0,+∞)上是减函数的为( )
A.y=B.y=-x3
C.y=
D.y=x+
答案 B
解析 由题意得,对于函数y=和函数y=
都是非奇非偶函数,排除A,C.
又函数y=x+在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,排除D,故选B.
2.已知函数f(x)=是奇函数,则f(a)的值等于( )
A.-B.3
C.-或3D.或3
答案 C
解析 函数f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),
即=-在定义域内恒成立,
整理可得=,
即a2=1恒成立,∴
a=±1,
当a=1时,函数f(x)的解析式为
f(x)=,f=f==-,
当a=-1时,函数f(x
)的解析式为
f(x)=,f=f==3.
综上可得f的值为-或3.
3.函数f(x)=loga(0 答案 C 解析 f(x)=loga =故选C. 4.设函数f(x)= (1+x2)+,则使得f(x)≤f(2x-1)成立的x的取值范围是( ) A.(-∞,1]B.[1,+∞) C.D.∪ 答案 C 5.已知函数f(x)=x+sinx,若a=f(3),b=f (2),c=f,则a,b,c的大小关系为( ) A.a C.b 答案 D 解析 由于f(-x)=-f(x),且定义域为R, 故函数f(x)为奇函数, 由 于f′(x)=1+cosx≥0, 故函数f(x)为定义域上的增函数, 而2 6.若 函数f(x)=在R上是增函数,则a的取值范围为( ) A.[2,3]B.[2,+∞) C.[1,3]D.[1,+∞) 答案 A 解析 由题意得 ∴a∈[2,3],故选A. 7.函数 y=的图象大致为( ) 答案 B 解析 令y=0,可得x=2,即函数y=有唯一的零点x=2,四个选项中,只有选项B符合题意,故选B. 8.已知log2x=log3y=log5z<0,则,,的大小排序为( ) A.< C.< 答案 A 解析 x,y,z为正实数,且log2x=log3y=log5z<0, 令log2x=log3y=log5z=k(k<0), ∴=2k-1,=3k-1,=5k-1, 可得=21-k,=31-k,=51-k, 又1-k>0, ∴函数f(x)=x1-k在(0,+∞)上单调递增, ∴<<.故选A. 9.已知y=f(x)满足f(x+1)+f(-x+1)=2,则以下四个选项一定正确的是( ) A.f(x-1)+1是偶函数 B.f(-x+1)-1是奇函数 C.f(x+1)+1是偶函数 D.f(x+1)-1是奇函数 答案 D 解析 方法一 根据题干条件可知函数f(x)关于点(1,1)中心对称,故f(x+1)关于点(0,1)中心对称,则f(x+1)-1关于点(0,0)中心对称,是奇函数. 方法二 ∵f(x+1)+f(-x+1)=2, ∴f(-x+1)-1=-f(x+1)+1=-[f(x+1)-1], ∴f(x+1)-1是奇函数. 10.若函数y=f(x),x∈M对于给定的非零实数a,总存在非零常数T,使得定义域M内的任意实数,都有af(x)=f(x+T)恒成立,此时T为f(x)的类周期,函数y=f(x)是M上的a级类周期函数,若函数y=f(x)是定义在区间[0,+∞)内的3级类周期函数且T=2,当x∈[0,2),f(x)=函数g(x) =-2lnx+x2+x+m,若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,+∞)使g(x2)-f(x1)≤0成立,则实数m的取值范围是( ) A.B.(-∞,12] C.(-∞,39]D.[12,+∞) 答案 C 解析 根据题意,对于函数f(x),当x∈[0,2)时, f(x)= 分析可得: 当0≤x≤1时,f(x)=-2x2, 此时f(x)的最大值f(0)=,最小值f (1)=-, 当1 则此时有- 又由函数y=f(x)是定义在区间[0,+∞)内的3级类周期函数,且T=2, 则在x∈[6,8)上,f(x)=33·f(x-6), 则有-≤f(x)≤, 则f(8)=27f (2)=81f(0)=, 则函数f(x)在区间[6,8]上的最大值为, 最小值为-; 对于函数g(x)=-2lnx+x2+x+m, g′(x)=. 分析可得: 在(0,1)上,g′(x)<0,函数g(x)为减函数, 在(1,+∞)上,g′(x)>0,函数g(x)为增函数, 则函数g(x)在(0,+∞)上有最小值g (1)=+m, 若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,+∞), 使g(x2)-f(x1)≤0成立, 必有g(x)min≤f(x)max,即+m≤, 得m的取值范围为(-∞,39]. 11.函数f(x)=x 2-lnx的单调递减区间为( ) A.(-1,1] B.(0,1] C.[1,+∞)D.(0,+∞) 解析: 由题意知,函数的定义域 为(0,+∞),又由f′(x)=x-≤0,解得0 答案: B 12.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,若t=ab,则t的最大值为( ) A.2B.3C.6D.9 解析: ∵f(x)=4x3-ax2-2bx+2, ∴f′(x)=12x2-2ax-2b, 又∵f(x)在x=1处有极值, ∴f′ (1)=12-2a-2b=0⇒a+b=6, ∵a>0,b>0,a+b≥2, ∴ab≤9,当且仅当a=b=3时等号成立. 答案: D 13.已知函数f(x)=x3+ax2+3x+1有两个极值点,则实数a的取值范围是( ) A.(,+∞) B.(-∞,-) C.(-,) D.(-∞,-)∪(,+∞) 解析: f′(x)=x2+2ax+3. 由题意知方程f′(x)=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=4a2-12>0, 解得a>或a<-. 答案: D 14.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,若x=-3是函数f(x)的一个极值点,则实数a=________. 解析: f′(x)=3x2+2ax+3,由题意知x=-3为方程3x2+2ax+3=0的根, ∴3×(-3)2+2a×(-3)+3=0,解得a=5. 答案: 5 15. 若函数f(x)=-x2+4x-3lnx在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是________. 16.已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4. (1)求a,b的值; (2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值. 解: (1)f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4. 由已知得f(0)=4,f′(0)=4. 故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4. (2)由 (1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x, f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2). 令f′(x)=0,得x=-ln2或x=-2. 从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f′(x)>0; 当x∈(-2,-ln2)时,f′(x)<0. 故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln2)上单调递减. 当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)= 4(1-e-2). 17.设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性; (2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值. 解: (1) f(x)的定义域为(-∞,+∞), f′(x)=1+a-2x-3x2. 令f′(x)=0,得x1=, x2=,x1 ∴f′(x)=-3(x-x1)(x-x2). 当x 当x 1 故f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)内单调递减,在(x1,x2)内单调递增. (2)∵a>0,∴x1<0,x2>0. ①当a≥4时,x2≥1, 由 (1)知,f(x)在[0,1]上单调递增, ∴f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值. ②当0 由( 1)知,f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减, 因此f(x)在x =x2=处取得最大值. 又f(0)=1,f (1)=a, ∴当0 当a=1时,f(x)在x=0和x =1处同时取得最小值;
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