还原问题知识讲解及练习.docx
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还原问题知识讲解及练习.docx
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还原问题知识讲解及练习
还原问题知识讲解及练习(含答案)
已知一个数,经过某些运算之后,得到了一个新数,求原来的数是多少的应用问题,它的解法常常是以新数为基础,按运算顺序倒推回去,解出原数,这种方法叫做逆推法或还原法,这种问题就是还原问题。
还原问题又叫做逆推运算问题.解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理,根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算.在计算过程中采用相反的运算,逐步逆推。
在解题过程中注意两个相反:
一是运算次序与原来相反;二是运算方法与原来相反。
板块一、单个变量的还原问题
【例1】某数先加上3,再乘以3,然后除以2,最后减去2,结果是10,问:
原数是多少?
1【解析】分析时可以从最后的结果是10逐步倒着推。
这个数没减去2时应该是多少?
没除以2时应该是多少?
没乘以3时应该是多少?
没加上3时应该是多少?
这样依次逆推,就可以推出某数。
如果没减去2,此数是:
如果没除以2,此数是:
如果没乘以3,此数是:
如果没加上3,此数是:
综合算式
【巩固】1、(2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)有一个数,如果用它加上,然后乘以,再减去,最后除以,所得的商还是,那么这个数是。
【巩固】2、一个数减16加上24,再除以7得36,求这个数.你知道这个数是几吗?
【巩固】3、少先队员采集树种子,采得的个数是一个有趣的数.把这个数除以5,再减去25,还剩25,你算一算,共采集了多少个树种子?
【例2】牛老师带着37名同学到野外春游.休息时,小强问:
“牛老师您今年多少岁啦?
”牛老师有趣地回答:
“我的年龄乘以2,减去16后,再除以2,加上8,结果恰好是我们今天参加活动的总人数.”小朋友们,你知道牛老师今年多少岁吗?
1【解析】采用倒推法,我们可以从最后的结果“参加活动的总人数”即38倒着往前推.这个数没加上8时应是多少?
没除以2时应是多少?
没减去16时应是多少?
没乘以2时应是多少?
这样依次逆推,就可以求出牛老师今年的岁数.没加上8时应是:
;没除以2时应是:
;没减去16时应是:
;没乘以2时应是:
,
即(岁).
【巩固】1、小智问小康:
“你今年几岁?
”小康回答说:
“用我的年龄数减去8,乘以7,加上6,除以5,正好等于4.请你算一算,我今年几岁?
”
【巩固】2、学学做了这样一道题:
某数加上10,乘以10,减去10,除以10,其结果等于10,求这个数.
根据题意,一个数,经过加法、乘法、减法、除法的变化,得到结果10,应用逆推法,由结果10,根据加、减法与乘、除法的互逆运算,倒着往前计算.
,,,
解这种还原问题的关键是从最后结果出发,逐步向前一步一步推理,每一步运算都是原来运算的逆运算,即变加为减,变减为加,变乘为除,变除为乘.列式时还要注意运算顺序,正确使用括号,这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法.
综合算式为:
【巩固】3、学学做了这样一道题:
一个数加上3,减去5,乘以4,除以6得16,求这个数.小朋友,你知道答案吗?
1【解析】根据题意,一个数,经过加法、减法、乘法、除法的变化,得到结果16,应用逆推法,由结果10,根据加、减法与乘、除法的互逆运算,倒着往前计算.
综合算式为:
【例3】一次数学竞赛颁奖会上,小刚问老师:
“我得了多少分?
”老师说:
“你的得分减去后,缩小倍,再加上后,扩大倍,恰好是分”.小刚这次竞赛得了多少分?
1【解析】从最后一个条件“恰好是分”向前推算.扩大倍是分,没有扩大倍之前应是(分),加上后是分,没有加上前应是(分),缩小倍是分,那么没有缩小倍前应是(分),减去后是分,没有减去前应是(分).
综合列式为:
(分)
【巩固】1、在小新爷爷今年的年龄数减去15后,除以4,再减去6之后,乘以10,恰好是100,问:
小新爷爷今年多少
岁数?
【巩固】2、学学和思思在游玩时,遇到一位小神仙,他们问这位神仙:
“你一定不到100岁吧!
”谁知这位神仙摇摇头说:
“你们算算吧!
把我的年龄加上75,再除以5,然后减去15,再乘以10,恰好是2000岁.”小朋友,你知道这位神仙现在有多少岁吗?
【例4】哪吒是个小马虎,他在做一道减法题时,把被减数十位上的6错写成9,减数个位上的9错写成6,最后所得的差是577,那么这道题的正确答案应该是多少呢?
1【解析】被减数十位上的6变成9,使被减数增加,差也增加了30;减数个位上的9错写成6,使减数减少了,这样又使差增加了3,这道题可以说成:
正确的差加上30后又加上3得577,求正确差.
所以列式得:
.
【巩固】1、小马虎在做一道加法题时,把一个加数个位上的看作,十位上的看作,结果和是,那么正确的结果应该是多少呢?
【巩固】2、淘气在做一道减法时,把减数个位上的9看成了3,把十位上的4看成了7,得到的结果是164,请你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢?
.
【巩固】3、小新在做一道加法题,由于粗心,将个位上的5看作9,把十位上的8看作3,结果所得的和是123.正确的答案是多少?
【例5】三只猴子分一堆桃,大猴子先拿了这堆桃的一半少1个;第二只猴子拿了余下的桃子的一半多1个;小猴子分得余下的8个桃,桃子就被全分完了。
问,这堆桃子共多少个?
【分析与解】此题条件较复杂,我们可以通过画图进行分析,你能从图中发现哪个部分是大猴子拿的桃子吗?
其实解决这类问题我们关键是要找到“一半”所对应的数量,从最后进行推算。
剩下的一半:
8+1=9(个);剩下多少个:
9×2=18(个)
一半是多少个:
18-1=17(个);一共有多少个桃子:
17×2=34(个)
算式:
[(8+1)×2-1]×2
说明:
多拿、多吃、多做、多用….在还原问题算式中表现为“+”;
少拿、少吃、少做、少用……在还原问题算式中表现为“-”。
【巩固】1、学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦,第一次用去全长的一半还多2米,第二次用去余下的一
半少10米,第三次用去15米,最后还剩9米,那么这根绳子原来有多少米呢?
1【解析】根据题意,画图倒推分析:
(米)
(米)
(米)
综合算式:
【巩固】2、一捆电线,第一次用去全长的一半多3米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米,最后还剩7米。
这捆电线原来有多少米?
【解析】可依照题意画出右图。
从线段图上可以看出:
【巩固】3、甲在加工一堆零件,第一天加工了这堆零件的一半又10个,第二天又加工了剩下的一半又10个,还剩下25个没有加工,问:
这批零件有多少个?
1【解析】如右图所示,按照图与题目的条件,
列综合算式:
【例6】货场原有煤若干吨。
第一次运出原有煤的一半,第二次运进450吨,第三次又运出现有煤的一半又50吨,结果剩余煤的2倍是1200吨。
货场原有煤多少吨?
结合上面的线段图,用倒推法进行分析,题中的数量关系就可以跃然纸上,使学生们一目了然。
根据“剩余煤的2倍是1200吨”,就可以求剩余煤的吨数;根据“第三次运出现有煤的一半又50吨”和剩余煤的吨数,就可以求出现有煤的一半是多少吨,进而可求出现有煤的吨数;用现有煤的吨数减去第二次运进的450吨,就可以求出原有煤的一半是多少,最后再求出原有煤多少吨。
(1)剩余煤的吨数是:
(吨)
(2)现有煤的一半是:
(吨)
(3)现有煤的吨数是:
(吨)
(4)原有煤的一半是:
(吨)
(5)原有煤的吨数是:
(吨)
算式:
[(600+50)×2-450]×2
【巩固】1、食堂买进一批大米,第一天吃了全部的一半少千克,第二天吃了余下的一半少千克,最后剩下
千克.这批大米共有多少千克?
【巩固】2、山顶上有棵桃数,一只猴子偷吃桃子,第一天偷吃了总数的一半多2个,第二天又偷吃了剩下的一半多2个,这时还剩1个,问:
树上原来有多少个桃子?
【巩固】3、修建一条下水道,第一周修了全长的一半多米,第二周修了剩下的一半少米,第三周修了
米,最后还剩米,这条下水道长多少米?
2【解析】如下图,从图中可知是第一周修后余下的一半,米是下水道全长的一半.
【例7】小丽用4元买了一本《童话大王》,又用剩下的钱的一半买了一本《儿童时代》,买钢笔又用去第二次剩下的钱的一半多1元,最后还剩4元,问:
小丽原有多少钱?
1【解析】用倒推法,第二次剩下的一半是(元),第二次剩下(元),第一次剩下(元),原来有(元)。
列综合算式:
【巩固】1、有一筐苹果,甲取出一半又1个;乙取出余下的一半又1个;丙取出再余下的一半又1个,这时筐里只剩下1个苹果。
这筐苹果共值6元6角,问每个苹果平均值多少钱?
【例8】(2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)工程队要修一条小路,第一天修了全长的一半多米,第二天修了余下的一半少米,第三天修了米,此时还剩下米没有修,则这条小路长米。
【分析】如图所示,先根据线段图理清数量关系,可得全长为:
(米)。
【巩固】1、一个人沿着公园马路走了全长的一半后,又走了剩下路程的一半,还剩下1千米,问:
公园马路全长多少千米?
2【解析】如图,
【例9】思思看到织女在织布,她把一段五彩布第一次剪去一半,第二次又剪去余下的一半,这时还剩下8米,你知道这段五彩布原来长多少米吗?
2【解析】根据题意,画出线段图,倒推分析.
(米)
(米)
算式:
8×2×2
【巩固】1、一群蚂蚁搬家,原存一堆食物.第一天运出总数的一半少12克.第二天运出剩下的一半少12克,结果窝里还剩下43克.问蚂蚁家原有食物多少克?
2【解析】采用倒推法,教师可画线段图帮助学生理解.如果第二天再多运出12克,就是剩下的一半,所以第一天运出后,剩下的一半重量是(克);这样,第一天运出后剩下的重(克).那么同理,一半的重量是(克),原有食物(克).即
【巩固】2、一捆电线,第一次用去全长的一半多3米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米,最后还剩7米,这捆电线原有多少米?
【巩固】3、修建一条下水道,第一周修了全长的一半多米,第二周修了剩下的一半少米,第三周修了
米,最后还剩米,这条下水道长多少米?
1【解析】如下图,从图中可知是第一周修后余下的一半,米是下水道全长的一半.
【例10】桃园里来了第一群猴子,吃去桃子总数的一半又半个;第二群猴子又来吃掉剩下桃子的一半又半个;第三群猴子又来吃掉剩下桃子数的一半又半个.这时桃园里还只有100个桃了.那么园中原有多少桃?
1【解析】第三群猴没吃,相应有桃(个)
第二群猴没吃,相应有桃(个)
第一群猴没吃,相应有桃(即桃园中原有桃)(个)
算式:
{[(100+0.5)×2+0.5]×2+0.5}×2
【巩固】1、山顶上有棵桃数,一只猴子偷吃桃子,第一天偷吃了总数的一半多2个,第二天又偷吃了剩下的一半多2个,这时还剩1个,问:
树上原来有多少个桃子?
【例11】刚打完篮球,冬冬觉得非常渴,就拿起一大瓶矿泉水狂喝.他第一口就喝了整瓶水的一半,第二口又喝了剩下的,第三口则喝了剩下的,第四口再喝剩下的,第五口喝了剩下的.此时瓶子里还剩0.5升矿泉水,那么最开始瓶子里有几升矿泉水?
3【解析】最开始瓶子里有矿泉水:
0.5÷(1-)÷(1-)÷(1-)÷(1-)÷(1-1/2)
即(升).
【巩固】1、有一堆棋子,把它四等分后剩下一枚,取走三份又一枚;剩下的再四等分又剩一枚,再取走三份又一枚;剩下的再四等分又剩一枚,每份一枚.问:
原来至少有多少枚棋子?
【详解】棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为1枚.由此逆推,得到
第三次分之前有(枚),
第二次分之前有(枚),
第一次分之前有(枚).
【巩固】2、有一堆棋
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