中职高考数学一轮复习讲练测专题10-1--计数原理(练)解析版.docx
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专题10.1计数原理
1.小王有70元钱,现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡.若他至少买一张,则不同的买法共有( A )
A.7种 B.8种
C.6种 D.9种
[解析] 要完成的“一件事”是“至少买一张IC电话卡”,分3类完成:
买1张IC卡、买2张IC卡、买3张IC卡,而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事.买1张IC卡有2种方法,买2张IC卡有3种方法,买3张IC卡有2种方法.不同的买法共有2+3+2=7种.
2.有一排5个信号的显示窗,每个窗可亮红灯、绿灯或者不亮灯,则共可以发出的不同信号有( )种
A.25 B.52
C.35 D.53
[答案] C
3.将5名大学毕业生全部分配给3所不同的学校,不同的分配方案有( )
A.8 B.15
C.125 D.243
[答案] D
4.1.等于( )
A.12 B.24
C.30 D.36
[答案] D[解析] A=7×6×A,A=6×A,所以原式==36.
5.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )
A.192种 B.216种
C.240种 D.288种
[答案] B
[解析] 分两类:
最左端排甲有A=120种不同的排法,最左端排乙,由于甲不能排在最右端,所以有AA=96种不同的排法,由加法原理可得满足条件的排法共有120+96=216种.
6.3名男生和3名女生排成一排,男生不相邻的排法有多少种( )
A.144 B.90
C.260 D.120
[答案] A
[解析] 3名女生先排好,有A种排法,让3个男生去插空,有A种方法,故共有A·A=144种.故选A.
7.某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了________条毕业留言.(用数字作答)
[答案] 1560
[解析] 同学两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数,所以全班共写了A=40×39=1560条毕业留言.
8.若C=C,则n=( )
A.2 B.8
C.10 D.12
[答案] C
[解析] 由组合数的性质可知n=8+2=10.8.某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成,其中4个数字互不相同英文字母可以相同的牌照号码共有( )
A.(C)2A个 B.AA个
C.(C)2104个 D.A104个
[答案] A
[解析] ∵前两位英文字母可以重复,∴有(C)2种排法,又∵后四位数字互不相同,∴有A种排法,由分步乘法计数原理知,共有不同牌照号码(C)2A个.
9.在100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少有1件次品的不同取法的种数是( )
A.CC B.CC
C.C-C D.A-A
[答案] C
[解析] 从100件产品中抽取3件的取法数为C,其中全为正品的取法数为C,∴共有不同取法为C-C.故选C.
10.某文艺小组有20人,每人至少会唱歌或跳舞中的一种,其中14人会唱歌,10人会跳舞.从中选出会唱歌与会跳舞的各1人,有多少种不同选法?
[解析] 只会唱歌的有10人,只会跳舞的有6人,既会唱歌又会跳舞的有4人.这样就可以分成四类完成:
第一类:
从只会唱歌和只会跳舞的人中各选1人,用分步乘法计数原理得10×6=60(种);
第二类:
从只会唱歌和既会唱歌又会跳舞的人中各选1人,用分步乘法计数原理得10×4=40(种);
第三类:
从只会跳舞和既会唱歌又会跳舞的人中各选1人,用分步乘法计数原理得6×4=24(种);
第四类:
从既会唱歌又会跳舞的人中选2人,有6种方法.
根据分类加法计数原理,得出会唱歌与会跳舞的各选1人的选法共有60+40+24+6=130(种).
1.用0、1、…、9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A.243 B.252
C.261 D.279
[答案] B
[解析] 用0,1,…,9十个数字,可以组成的三位数的个数为9×10×10=900,其中三位数字全不相同的为9×9×8=648,所以可以组成有重复数字的三位数的个数为900-648=252.
2.某公共汽车上有10名乘客,要求在沿途的5个车站全部下完,乘客下车的可能方式有( )
A.510种 B.105种
C.50种 D.以上都不对
[答案] A
[解析] 任何一个乘客可以在任一车站下车,且相互独立,所以每一个乘客下车的方法都有5种,由分步计数原理知N=510.故选A.
3.用数字1,2,3组成三位数.
(1)假如数字可以重复,共可组成____________个三位数;
(2)其中数字不重复的三位数共有____________个;
(3)其中必须有重复数字的有____________个.
[答案]
(1)27
(2)6 (3)21
[解析]
(1)排成数字允许重复的三位数,个位、十位、百位都有3种排法,∴N=33=27(个).
(2)当数字不重复时,百位排法有3种,十位排法有两种,个位只有一种排法,∴N=3×2×1=6(个)(也可先排个位或十位).
(3)当三数必须有重复数字时分成两类:
三个数字相同,有3种,只有两个数字相同,有3×3×2=18(个),
∴N=3+18=21(个).
4.若A-A=n!
·126(n∈N+),则n等于( )
A.4 B.5
C.6 D.5或6
[答案] D
[解析] 本题不易直接求解,可考虑用代入验证法.故选D.
5.6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有( )种( )
A.720 B.360
C.240 D.120
[答案] C
[解析] 因甲、乙两人要排在一起,故将甲、乙两人捆在一起视作一人,与其余四人全排列共有A种排法,但甲、乙两人有A种排法,由分步计数原理可知:
共有A·A=240种不同的排法.故选C.
6.若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( )
A.60种 B.63种
C.65种 D.66种
[答案] D
[解析] 本题考查了排列与组合的相关知识.4个数和为偶数,可分为三类.四个奇数C,四个偶数C,二奇二偶,CC.共有C+C+CC=66种不同取法.分类讨论思想在排列组合题目中应用广泛.
7.12名同学合影,站成前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是( )
A.CA B.CAC.CA D.CA
[答案] C
[解析] 第一步从后排8人中抽2人有C种抽取方法,第二步前排共有6个位置,先从中选取2个位置排上抽取的2人,有A种排法,最后把前排原4人按原顺序排在其他4个位置上,只有1种安排方法,∴共有CA种排法.
8.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( )
A.60种 B.70种
C.75种 D.150种
[答案] C
[解析] 本题考查了分步计数原理和组合的运算,从6名男医生中选2人有C=15种选法,从5名女医生选1人有C=5种选法,所以由分步乘法计数原理可知共有15×5=75种不同的选法.
9.有6名学生,其中有3名会唱歌,2名会跳舞,1名既会唱歌也会跳舞.现在从中选出2名会唱歌的,1名会跳舞的去参加文艺演出,则共有选法________种.
[答案] 15
[解析] C·C+C·C+C=15种.
10.一个口袋里装有7个白球和2个红球,从口袋中任取5个球.
(1)共有多少种不同的取法;
(2)恰有1个为红球,共有多少种取法?
[解析]
(1)从口袋里的9个球中任取5个球,不同的取法为C=C=126(种);
(2)可分两步完成,首先从7个白球中任取4个白球,有C种取法,然后从2个红球中任取1个红球共有C种取法,∴共有C·C=70种取法.
11.有五张卡片,正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起,共可组成多少个不同的三位数?
[解析] 解法1:
从0和1两个特殊值考虑,可分三类:
第一类,取0不取1,可先从另四张卡片中任选一张作百位,有C种方法;0可在后两位,有C种方法;最后需从剩下的三张中任取一张,有C种方法;除含0的那张外,
其他两张都有正面或反面两种可能,因此可组成不同的三位数C·C·C·22个.
第二类:
取1不取0,同上分析可得不同的三位数有C22A个.
第三类:
0和1都不取,有不同的三位数C23A个.
综上所述,不同的三位数共有CCC22+C22A+C23A=432(个).
解法2:
任取三张卡片可以组成不同的三位数C23A(个),其中0在百位的有C22A(个),这是不合题意的,故不同的三位数共有C23A-C22A=432(个).
12..某校为庆祝2015年教师节,安排了一场文艺演出,其中有3个舞蹈节目和4个小品节目,按下面要求安排节目单,有多少种方法:
(1)3个舞蹈节目互不相邻;
(2)3个舞蹈节目和4个小品节目彼此相间.
[解析]
(1)先安排4个小品节目,有A种排法,4个小品节目中和两头共5个空,将3个舞蹈节目插入这5个空中,共有A种排法,
∴共有A·A=1440(种)排法.
(2)由于舞蹈节目与小品节目彼此相间,故小品只能排在1,3,5,7位,舞蹈排在2,4,6位,安排时可分步进行.
解法1:
先安排4个小品节目在1,3,5,7位,共A种排法;再安排舞蹈节目在2,4,6位,有A种排法,故共有A·A=144(种)排法.
解法2:
先安排3个舞蹈节目在2,4,6位,有A种排法;再安排4个小品节目在1,3,5,7位,共A种排法,故共有A·A=144(种)排法.
1.(2020年河北对口高考)某医院为支援湖北疫情,从4名医生和6名护士中选派3名医生和3名护士参加援鄂医疗小分队,不同的选派方法共有()A.20种B.40种C.60种D.80种
【答案】D
2.(2020年河北对口高考)某学校举行元旦曲艺晚会,有5个小品节目,3个相声节目,要求相声节目不能相邻,则不同的出场次序有种.
【答案】14400
3.(2019年河北对口高考)北京至雄安将开通高铁,共设有6个高铁站(包含北京站和雄安站),则需设计不同车票的种类有( )
A.12种 B.15种 C.20种 D.30种
【答案】D
4.(2019年河北对口高考)某学校参加 2019北京世界园艺博览会志愿活动,计划从5名女生,3名男生中选出4人组成小分队,则选出的4人中2名女生2名男生的选法有种.
【答案】30
5.(2018年河北对口高考)某体育兴趣小组共有4名同学,如果随机分为2组进行对抗赛,每组二名队员,分配方案共有()种
A、2B、3C、6D、12
【答案】B
6.(2017年河北对口高考)从4种花卉中任选3种,分别种在不同形状的3个花盆中,不同的种植方法有()
A.种B.种
C.种D.种
【答案】C
7.(2017年河北对口高考)为加强精准扶贫工作,某地市委计划从8名处级干部(包括甲、乙、丙三位同志)中选派4名同志去4个贫困村工作,每村一人.问:
(1)甲、乙必须去,但丙不去的不同选派方案有多少种?
(2)甲必须去,但乙和丙都不去的不同选派方案有多少种?
(3)甲、乙、丙都不去的不同选派方案有多少种?
解:
(1)甲、乙必须去,但丙不去的选派方案的种数为
(2)甲去,乙、丙不去的选派方案的种数为
(3)甲、乙、丙都不去的选派方案的种数为
8.(2016年河北对口高考)某生态园有个出入口,若某游客从任一出入口进入,并且从另外个出入口之一走出,进出方案的种数为()
A.B.C.D.
【答案】D
9.(2016年河北对口高考)从中任选三个数字组成一个无重复数字的三位数,则这个三位数是偶数的概率是.
【答案】
10.(2015年河北对口高考)从6名学生中选出2名学生担任数学,物理课代表的选法有()
A.10种B.15种
C.30种D.45种
【答案】C
11.(2015年河北对口高考)从数字1,2,3,4,5中任取三个不同的数,可以作为直角三角形三条边的概率是__________.【答案】
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