解析:
因为a=f()=f(-)=-f()=-lg=lg,
b=f()=f(-)=-f()=-lg=lg2,
c=f()=f()=lg=-lg2,
所以b>a>c.
6.定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=-,且f(0)=1,则f(2016)等于( A )
(A)1(B)-1(C)2(D)-2
解析:
f(x+4)=-,
所以f(x+8)=-=f(x),
所以f(2016)=f(252×8)=f(0)=1.故选A.
7.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0,且
a≠1).若g
(2)=a,则f
(2)等于( B )
(A)2(B)(C)(D)a2
解析:
因为f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,
所以f(-2)=-f
(2),g(-2)=g
(2)=a,
因为f
(2)+g
(2)=a2-a-2+2,①
所以f(-2)+g(-2)=g
(2)-f
(2)=a-2-a2+2,②
由①②联立得g
(2)=a=2,f
(2)=a2-a-2=.
8.函数f(x)在R上为奇函数,且x>0时,f(x)=+1,则当x<0时,f(x)= .
解析:
因为f(x)为奇函数,x>0时,f(x)=+1,
所以当x<0时,-x>0,
f(x)=-f(-x)=-(+1),
即x<0时,f(x)=-(+1)=--1.
答案:
--1
9.已知函数f(x)为奇函数,函数f(x+1)为偶函数,f
(1)=1,则f(3)= .
解析:
根据条件可得f(3)=f(2+1)=f(-2+1)=f(-1)=-f
(1)=-1.
答案:
-1
10.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f(x)-g(x)=()x,则f
(1),g(0),g(-1)之间的大小关系是 .
解析:
在f(x)-g(x)=()x中,用-x替换x,得f(-x)-g(-x)=2x,由于f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此得-f(x)-g(x)=2x.于是解得f(x)=,g(x)=-,于是f
(1)=-,g(0)=-1,g(-1)=-,故f
(1)>g(0)>g(-1).
答案:
f
(1)>g(0)>g(-1)
11.(20xx峨眉山模拟)设f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=.
(1)求当x<0时,f(x)的解析式;
(2)解不等式f(x)<-.
解:
(1)因为f(x)是奇函数,所以当x<0时,f(x)=-f(-x),-x>0,
又因为当x>0时,f(x)=,
所以当x<0时,f(x)=-f(-x)=-=.
(2)f(x)<-,当x>0时,即<-,
所以<-,所以>,所以3x-1<8,
解得x<2,所以x∈(0,2),
当x<0时,即<-,
所以>-,
所以3-x>32,所以x<-2,
所以解集是(-∞,-2)∪(0,2).
能力提升练(时间:
15分钟)
12.函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,下列说法正确的是( C )
①函数y=f(x)满足f(-x)=-f(x);
②函数y=f(x)满足f(x+2)=f(-x);
③函数y=f(x)满足f(-x)=f(x);
④函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x).
(A)①③(B)②④(C)①②(D)③④
解析:
根据图象知函数f(x)的图象关于原点对称,故为奇函数,所以①正确;又其图象关于直线x=1对称,所以②正确.
13.(20xx济南一模)已知函数y=f(x)是R上的偶函数,当x1,x2∈(0,+∞)时,都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0.设a=ln,b=(lnπ)2,c=ln,则( C )
(A)f(a)>f(b)>f(c)(B)f(b)>f(a)>f(c)
(C)f(c)>f(a)>f(b)(D)f(c)>f(b)>f(a)
解析:
根据已知条件便知f(x)在(0,+∞)上是减函数,且f(a)=f(|a|),f(b)=f(|b|),f(c)=f(|c|),而|a|=lnπ>1,|b|=(lnπ)2>|a|,
0<|c|=<|a|,
所以f(c)>f(a)>f(b).
故选C.
14.(20xx菏泽模拟)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+2)=0,且f(4-x)
=f(x)现有以下三种叙述:
①8是函数f(x)的一个周期;②f(x)的图象关于直线x=2对称;③f(x)是偶函数.
其中正确的序号是 .
解析:
由f(x)+f(x+2)=0,得f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即4是f(x)的一个周期,8也是f(x)的一个周期,由f(4-x)=f(x),得f(x)的图象关于直线x=2对称;由f(4-x)=f(x)与f(x+4)=f(x),得f(4-x)=f(-x),f(-x)=f(x),即函数f(x)为偶函数.
答案:
①②③
15.定义在R上的函数f(x)对任意a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)+k(k为常数).
(1)判断k为何值时,f(x)为奇函数,并证明;
(2)设k=-1,f(x)是R上的增函数,且f(4)=5,若不等式f(mx2-2mx+3)>3对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.
解:
(1)若f(x)在R上为奇函数,则f(0)=0,
令a=b=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)+k,所以k=0.
证明:
由f(a+b)=f(a)+f(b),令a=x,b=-x,
则f(x-x)=f(x)+f(-x),
又f(0)=0,则有0=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立,所以f(x)是奇
函数.
(2)因为f(4)=f
(2)+f
(2)-1=5,所以f
(2)=3.
所以f(mx2-2mx+3)>3=f
(2)对任意x∈R恒成立.
又f(x)是R上的增函数,所以mx2-2mx+3>2对任意x∈R恒成立,
即mx2-2mx+1>0对任意x∈R恒成立,
当m=0时,显然成立;
当m≠0时,由得0所以实数m的取值范围是[0,1).
16.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2,
(1)求证:
f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;
(3)计算f(0)+f
(1)+f
(2)+…+f(2016).
(1)证明:
因为f(x+2)=-f(x),
所以f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是周期为4的周期函数.
(2)解:
由f(x+2)=-f(x),
且x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2,
所以当x∈[2,4]时,
f(x)=-f(x-2)=-[2(x-2)-(x-2)2]=x2-6x+8.
即f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].
(3)解:
因为f(0)=0,f
(2)=0,
f
(1)=1,f(3)=-1,
所以f(0)+f
(1)+f
(2)+f(3)=0,
所以f(0)+f
(1)+f
(2)+…+f(2016)=f(2016)=f(0)=0.
精彩5分钟
1.(20xx岳阳模拟)设函数f(x)和g(x)分别为R上的奇函数和偶函数,则下列结论恒成立的是( D )
(A)f(x)-|g(x)|为奇函数
(B)-|f(x)|-g(x)为奇函数
(C)-f(x)+|g(x)|为偶函数
(D)|f(x)|-g(x)为偶函数
解题关键:
利用奇、偶函数的性质逐一判断.
解析:
因为函数g(x)和f(x)分别是R上的偶函数和奇函数,
所以|f(x)|也为偶函数,
所以f(x)-|g(x)|是非奇非偶函数,故A不满足条件;
-g(x)-|f(x)|是偶函数,故B不满足条件;
-f(x)+|g(x)|也为非奇非偶函数,
|f(x)|-g(x)为偶函数.
2.(20xx洛阳二模)若函数y=f(2x+1)是偶函数,则函数y=f(x)的图象的对称轴方程是( A )
(A)x=1(B)x=-1(C)x=2(D)x=-2
解题关键:
利用函数图象的平移、伸缩、对称等变换求解.
解析:
因为y=f(2x+1)=f(2(x+)),
所以函数y=f(x)的图象纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,得出y=f(2x),再向左平移个单位得出y=f(2x+1)=f(2(x+))的图象.
因为函数y=f(2x+1)是偶函数,
所以函数y=f(2x+1)的对称轴为x=0,
所以函数y=f(2x)的对称轴为x=,
y=f(x)的对称轴为x=1.
3.(20xx东莞质检)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),则f[f()]的值是( C )
(A)(B)1(C)0(D)2017
解题关键:
由恒等式变形后得到=,从而得到是周期函数.
解析:
原等式等价于=,
所以函数y=是T=1的周期函数,
所以=,化简为f(-)=-f(),
又因为y=f(x)是偶函数,
所以f(-)=f(),
所以f()=0,
所以==0,
即f()=0,原式等价于求f(0),
又因为xf(x+1)=(x+1)f(x),
所以当x=0时,求得f(0)=0,
所以f[f()]=0.故选C.