二次函数应用辅导.docx
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二次函数应用辅导
二次函数应用练习题
一、解答题(本大题共67小题;共793.0分.)
1.
(12.0分)已知下表:
(1)求a、b、c的值,并在表内空格处填入正确的数;
(2)请你根据上面的结果判断:
①是否存在实数x,使二次三项式ax2+bx+c的值为0?
若存在,求出这个实数值;若不存在,请说明理由.
②画出函数y=ax2+bx+c的图象示意图,由图象确定,当x取什么实数时,ax2+bx+c>0.
2.
(12.0分)如图,有长为24m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为xm,面积为Sm2.
(1)求S与x的函数关系式;
(2)如果要围成面积为45m2的花圃,AB的长是多少米?
(3)能围成面积比45m2更大的花圃吗?
如果能,请求出最大面积,并说明围法;如果不能,请说明理由.
3.
(12.0分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=8,点D在斜边AB上,分别作DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E、F,得四边形DECF,设DE=x,DF=y.
(1)用含y的代数式表示AE;
(2)求y与x之间的函数关系式,并求出x的取值范围;
(3)设四边形DECF的面积为S,求S与x之间的函数关系,并求出S的最大值.
5.
(10.0分)某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物,如图所示,大门地面宽AB=4m,顶部C离地面高度为4.4m.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.8m,装货宽度为2.4m.请判断这辆汽车能否顺利通过大门.
6.
(14.0分)某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品.已知每件产品的进价为40元,每年销售该种产品的总开支(不含进价)总计120万元.在销售过程中发现,年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间存在着如图1所示的一次函数关系.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)试写出该公司销售该种产品的年获利z(万元)关于销售单价x(元)的函数关系式(年获利=年销售额-年销售产品总进价-年总开支).当销售单价x为何值时,年获利最大?
并求这个最大值;
(3)若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元,借助图2中函数的图象,请你帮助该公司确定销售单价的范围.在此情况下,要使产品销售量最大,你认为销售单价应定为多少元?
7.
(14.0分)OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴上,点C在y轴上,OA=10,OC=6.
(1)如下图,在AB上取一点M,使得△CBM沿CM翻折后,点B落在x轴上,记作
点,求
点的坐标;
(2)求折痕CM所在直线的解析式;
(3)作
G∥AB交CM于点G,若抛物线y=
x2+m过点G,求抛物线的解析式,并判断以原点O为圆心,OG为半径的圆与抛物线除交点G外,是否还有交点.若有,请直接写出交点坐标.
8.
(12.0分)某校九年级的一场篮球比赛中,如图所示,队员甲正在投篮,已知球出手时离地面高
m,与篮圈中心的水平距离为7m,当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m.设篮球的运动轨迹为抛物线,篮圈距地面3m.
(1)请你建立适当的平面直角坐标系,并判定此球能否准确投中?
(2)此时,若对方队员乙在甲面前1m处跳起盖帽拦截,已知乙的最大摸高为2.9m,那么他能否获得成功?
9.
(12.0分)某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发,经过大量的服用试验后可知:
成年人按规定的剂量服用后,每毫升血液中含药量y微克(1微克=10-3毫克)随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)相吻合,并测得服用时(即时间为0时)每毫升血液中含药量为0微克;服用2小时后每毫升血液中含药量为6微克;服用后3小时每毫升血液中含药量为7.5微克.
(1)试求出含药量y(微克)与服药时间x(小时)的函数解析式;
(2)画出0≤x≤8的函数简单示意图;
(3)服药后几小时,才能使每毫升血液中含药量最大?
并求出这个最大药量;
(4)结合图示说明一次服药后的有效时间是多少小时?
(有效时间为血液中含药量不为0的总时间)
10.
(12.0分)运用二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的关系.画出函数
的草图,并根据草图(如图所示),回答下列问题:
(1)当x取何值时,y小于零?
当x取何值时,y大于零?
(2)能否用含x的不等式来描述
(1)中的问题?
11.
(10.0分)已知三角形的两边和为20cm,这两边的夹角为120°,如图所示,求三角形的面积的最大值;当面积最大时,这两边的长各是多少?
12.
(14.0分)如图所示,是某防空部队进行射击时在平面直角坐标系中的示意图,在地面O,A两个观测点测得空中固定目标C的仰角分别为α,β,OA=1km,tanα=
,tanβ=
,位于O点正上方
km的D处的直升机向目标C发射防空导弹,该导弹运行达到距地面最大高度3km时,相应的水平距离为4km即图中E点.
(1)若导弹运行轨道为一抛物线,求该抛物线的关系式;
(2)按
(1)中轨道运行的导弹能否击中目标C?
13.
(10.0分)在体育测试时,初三的一名高个子男同学掷铅球,已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象一部分,如图所示,如果这个男同学的出手处A点的坐标为(0,2),铅球路线的最高处B点的坐标(6,5).
(1)求这个二次函数的关系式;
(2)该男同学把铅球掷出去多远?
(精确到0.01m,
)
14.
(10.0分)有一抛物线型的立交桥,这个桥拱的最大高度为16m,跨度为40m.现把它的图形放在平面直角坐标系里,如图所示,若在离跨度中点M 5m处垂直竖立一铁柱支撑拱顶,该铁柱应取多长?
15.
(12.0分)某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的,为牢固起见,每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管(如图a)做成的立柱,为了计算所需不锈钢管立柱的总长度,设计人员利用图b所示的坐标系进行计算.
(1)求该抛物线的函数关系式;
(2)计算所需不锈钢管立柱的总长度.
17.
(12.0分)泰州某河上有一座古拱桥,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是1m,拱桥的跨度为10m,桥洞与水面的最大距离是5m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中(如图所示).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求两盏景观灯之间的水平距离.
18.
(12.0分)如图所示,一位篮球运动员在离篮圈水平距离为4m处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当球运行的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心离地面距离为3.05m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数关系式;
(2)若该运动员身高1.8m,这次跳投时,球在他头顶上方0.25m处出手.问:
球出手时,他跳离地面多高?
19.
(12.0分)某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线.在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面10
m,入水处距池边的距离为4m,同时运动员在距水面高度5m以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势时,否则就会出现失误.
(1)求这条抛物线的函数关系式;
(2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是
(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为
m,问此次跳水会不会失误?
并通过计算说明理由.
20.
(12.0分)作水平飞行的轰炸机,在距地面高度600m时投弹,炸弹离开飞机后运行的轨迹是抛物线,在如图所示的直角坐标系中,炸弹下落的垂直距离y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=-
x2.
(1)如果不计其他因素,飞机在离目标多远(水平距离)时投弹,才能命中地面目标?
(2)飞机和敌机的相对高度是500m,距敌机的水平距离是1500m,此时投弹,能否击中敌机?
21.
(12.0分)某广告公司设计一幅周长为20m的矩形广告牌,设矩形的一边长为xm,广告牌的面积为Sm2.
(1)写出广告牌的面积S与边长x的函数关系式;
(2)画出这个函数的大致图象(其中0≤x≤10);
(3)根据图象观察当边长x为何值时,广告牌面积S最大?
22.
(10.0分)平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线,如图1所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5m处,绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶,已知学生丙的身高是1.5m,则学生丁的身高为多少?
(建立的平面直角坐标系如图2所示)
23.
(12.0分)如图1是泰州某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是1m,拱桥的跨度为10m,桥洞与水面的最大距离是5m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中(如图2).
(1)求抛物线的解析式.
(2)求两盏景观灯之间的水平距离.
24.
(12.0分)一副眼镜的两镜片下半部分轮廓线可以近似看成抛物线形状.建立如图所示的平面直角坐标系.已知左轮廓线端点A、B间的距离为4cm,点A、B与右轮廓线端点D、E均在平行于x轴的直线上,最低点C在x轴上,且与AB的距离CH=1cm,y轴平分BD,BD=2cm,解答下列问题:
(1)求轮廓线ACB所对应的二次函数关系式(写出自变量x的取值范围);
(2)由
(1)写出右轮廓线DFE的函数关系式及自变量x的取值范围.
25.
(12.0分)如图
(1)是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料,得到下表中的数据:
(1)请你以上表中的各对数据(x,y)作为点的坐标,尝试在图
(2)所示的坐标系中画出y关于x的函数图象;
(2)①填写下表:
②根据所填表中数据呈现的规律,猜想出用x表示y的二次函数表达式:
__________;
(3)当水面宽度为36m时,一艘吃水深度(船底部到水面的距离)为1.8m的货船能否在这个河段安全通过?
为什么?
26.
(14.0分)如图
(1),直线OC、BC的函数关系式分别为y=x和y=-2x+6,动点P(x,0)在OB上移动(0<x<3),过点P作直线l与x轴垂直.
(1)求点C的坐标;
(2)设在△OBC中位于直线l左侧部分的面积为S,写出S与x之间的函数关系式;
(3)在直角坐标系中画出
(2)中函数的图象;
(4)当x为何值时,直线l平分△OBC的面积?
27.
(14.0分)某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程.如图的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系).
根据图提供的信息,解答下列问题:
(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;
(2)截止到几月末公司累积利润可达到30万元?
(3)第8个月公司所获利润是多少万元?
28.
(10.0分)如图所示,某隧道设计为双向回车道,车道宽22m,要求通过车辆限高4.5m,隧道全长2.5km,隧道的拱线近似地看成是抛物线形状,若最大拱高为6m,求隧道应设计的拱长是多少.
29.
(14.0分)如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从A出发,沿AB边向点B以1cm/s的速度移动.同时Q从B出发,沿BC边向C以2cm/s的速度移动,如果P、Q两点分别到达B、C两点后就停止移动,回答下列问题:
(1)运动开始第几秒时,△PBQ的面积等于8cm2?
(2)设运动开始到第ts时,五边形APQCD的面积为Scm2,写出S与t的函数关系式.
(3)t为何值时,S最小?
求出S的最小值.
30.
(10.0分)如图,在一场球赛中,一球员从球门正前方10米处将球踢起,射向球门,球飞行的水平距离为6米时,球达到最高点,此时球高3米,已知球门高2.44米,问能否射中球门?
31.
(14.0分)有一种螃蟹,从海上捕获后不放养,最多只能存活两天.如果放养在池塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去.假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收购这种活蟹1000kg放养在池塘内,此时市场价为每千克30元,据测算,此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是,放养一天需支出各种费用为400元,且平均每天还有10kg蟹死去,假定死蟹均于当天全部销售出,售价都是每千克20元.
(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元,写出p关于x的函数关系式;
(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售,并记1000kg蟹的销售总额为Q元,写出Q关于x的函数关系式;
(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润(利润=Q-收购总额)?
32.
(14.0分)如图所示,是一条高速公路的隧道口在平面直角坐标系上的示意图,点A和A1、点B和B1分别关于y轴对称,隧道拱部分BCB1为一条抛物线,最高点C离路面AA1的距离为8米,点B离路面为6米,隧道的宽度AA1为6米.
(1)求隧道拱抛物线BCB1的函数解析式.
(2)现有一大型运货汽车,装载某大型设备后,其宽度为4米,车载大型设备的顶部与路面的距离均为7米,它能否通过这个隧道?
请说明理由.
33.
(10.0分)如图所示,在生产中,为了节约原材料,加工零件时常用一些边角余料,△ABC为锐角三角形废料.其中BC=12cm,BC边上高AD=8cm,在△ABC上截取矩形PQMN,与BC边重合,画出草图说明P,N两点落在什么位置上,才能使它的面积最大?
最大面积是多少?
并求出这时矩形的长和宽.
34.
(14.0分)如图所示,E,F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC,CD上的点,CE=1,CF=
,直线EF交AB的延长线于G,过线段FG上一个动点H作HM⊥AG,HN⊥AD,垂足分别为M,N.设HM=x,矩形AMHN的面积为y.
(1)求y与x之间的函数关系;
(2)当x为何值时,矩形AMHN的面积最大?
最大面积是多少?
35.
(12.0分)图是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料,得到下表中的数据:
(1)请你以上表中的各对数据(x,y)作为点的坐标,尝试在图所示的坐标系中画出y关于x的函数图像;
(2)①填写下表:
②根据所填表中数据呈现的规律,猜想出用x表示y的二次函数表达式:
________.
(3)当水面宽度为36m时,一艘吃水深度(船底部到水面的距离)为1.8m的货船能否在这个河段安全通过?
为什么?
36.
(10.0分)已知二次函数的图像经过直线y=3x-6与x轴的交点A,与y轴的交点B,又经过M(3,
),求这个二次函数的解析式.
37.
(14.0分)如图,AB、CD是两个过江电缆的铁塔,塔AB高40米,AB的中点为P,塔底B距江面的垂直高度为6米.跨江电缆因重力自然下垂近似成抛物线形,为了保证过往船只的安全,电缆下垂的最低点距江面的高度不得少于30米.已知:
人在距塔底B点西50米的地面E点恰好看到点E、P、C在一直线上;再向西前进150米后从地面F点恰好看到点F、A、C在一直线上.
(1)求两铁塔轴线间的距离(即直线AB、CD间的距离);
(2)若以点A为坐标原点,向东的水平方向为x轴,取单位长度为1米,BA的延长线方向为y轴建立坐标系.求刚好满足最低高度要求的这个抛物线的解析式.
38.
(14.0分)某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售,在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上,对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行预测,提供了两个方面的信息,如图1,图2.
注:
图1、图2中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本,生产成本6月份最低;图1的图像是线段,图2的图像是抛物线.
请你根据图像提供的信息说明:
(1)在3月份出售这种蔬菜,每千克的收益是多少元?
(2)哪个月出售这种蔬菜,每千克的收益最大?
说明理由.
39.
(12.0分)某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多利润,商店决定提高销售价格.经试验发现:
若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件;若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件,假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数.
(1)试求y与x之间的函数关系式;
(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能使每月获得最大利润?
每月的最大利润是多少?
40.
(12.0分)如图,△ABC是一等腰三角形铁板,其中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC上截出一个矩形零件DEFG,使EF在边BC上,若D、G分别在边AB、AC上.
(1)设EF=xcm,S矩形DEFG=ycm2,试求y关于x的函数关系式;
(2)当x为多少时,矩形DEFG的面积最大?
41.
(10.0分)己知:
正方形ABCD的边长为4,经过AB边上一点P作平行于对角线AC、BD的直线,分别与边BC、AD交于点Q、R.设△PQR的面积为y,AP=x,求y与x之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
42.
(12.0分)如图,直线y=
x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点,P是直线y=
x+2上任意一点,PC⊥x轴,垂足为C(x,0).若S△APC=y,试求x、y间的关系,并画出它的图像.
43.
(10.0分)如图,一位篮球运动员在离篮圈水平距离4m处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当球运行的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮筐内.已知篮圈中心离地面距离为3.05m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数关系式;
(2)若该运动员身高1.8m,这次跳投时,球在他头顶上方0.25m处出手.问:
球出手时,他跳离地面多高?
44.
(15.0分)已知在Rt△ABC中,∠B=
,BC=4cm,AB=8cm,D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点,若P为AB边上的一个动点,PQ∥BC,且交AC于点O,以PQ为一边,在点A的右侧作正方形PQMN,记正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y.
(1)如图,当AP=3cm时,求y的值;
(2)设AP=xcm,试用含x的代数式表示y(cm2);
(3)当y=2cm2时,试确定点P的位置.
45.
(12.0分)如图,已知:
△ABC中,AC=BC=
,∠C=
,AB上有一动点P,过P作PE⊥AC,垂足为E,作PF⊥BC,垂足为F.
设CF=x,用含x的代数式把Rt△AEP,矩形PECF及Rt△PFB的面积表示出来.
46.
(12.0分)某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数:
m=162-3x.
(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式;
(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?
最大销售利润为多少?
47.
(12.0分)如图,在△ABC中,∠ACB=
,AC=30cm,BC=40cm,矩形DEFG在△ABC内部,且顶点均在三角形的边上,若DG=xcm,矩形DEFG面积为ycm2,请你写出y与x的函数关系式,并求出当x取何值时,y最大?
最大值是多少?
48.
(12.0分)已知:
如图,矩形EFGH在△ABC内部,点E,F在AC上,点H,G分别在AB,BC边上,AC=8cm,高线BD=6cm,设矩形的一条边HE为xcm.
(1)试求出矩形EFGH的面积y(cm2)与矩形EFGH边HE长x(cm)之间的函数关系式.
(2)当矩形的边HE多长时,矩形面积最大?
最大面积是多少?
49.
(12.0分)如图,已知正方形ABCD边长为8,E,F,P分别是AB,CD,AD上的点,(不与正方形顶点重合),且PE⊥PF,PE=PF,问当AE为多长时,五边形EBCFP面积最小?
最小面积是多少?
50.
(12.0分)如图,已知△ABC中,AB=4,D在AB边上移动(不与A,B重合),DE∥BC交AC于E,连接CD,设S△ABC=S,S△DEC=S1.
(1)当D为AB中点时,求S1∶S的值;
(2)设AD=x,
=y,求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围.
(3)是否存在点D,使得S1>
S成立?
若存在,求出D点位置;若不存在,请说明理由.
51.
(12.0分)Rt△ABC以2m/s的速度沿BC方向从矩形移出,直到AB与CD重合,AB=3m,AC=5m,设xs时,三角形与矩形重合部分面积为ym2.
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)经过多少秒,AB与CD重合?
(3)经过多少秒,重叠部分的面积是矩形面积的
?
52.
(12.0分)如图,有一块形状是直角梯形的铁片ABCD,它的上底AD=3cm,下底BC=8cm,垂直于底的腰CD=6cm,现要截成一块矩形铁皮MPCN,使它的顶点M,P,N分别在AB,BC,CD上,当MN多长时,矩形MPCN面积有最大值?
53.
(10.0分)某菜农搭建了一个横断面为抛物线形的蔬菜大棚,有关尺寸如图所示.
(1)现建立如图所示的平面直角坐标系,试写出这条抛物线的函数表达式;
(2)若这位菜农身高1.60m,则她在不弯腰的情况下,在大棚里横向活动范围有多长(精确到0.1m)?
54.
(12.0分)
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