版新课标高考第一轮总复习理科数学第一章集合 常用逻辑第3讲 简单的逻辑联结词全称量词与存在量词.docx

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版新课标高考第一轮总复习理科数学第一章集合常用逻辑第3讲简单的逻辑联结词全称量词与存在量词

第3讲　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

夯实基础　【p6】

【学习目标】

1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；

2．理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

【基础检测】

1．若命题p：

x＝2且y＝3，则綈p为________．

【解析】p且q的否定为綈p或綈q，所以“x＝2且y＝3”的否定为“x≠2或y≠3”．

【答案】x≠2或y≠3

2．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么（　　）

A．命题p，q均为真命题

B．命题p，q均为假命题

C．命题p，q有且只有一个为真命题

D．命题p为真命题，q为假命题

【解析】由p∨q为真命题，p∧q为假命题知，p，q一真一假；

即p，q中只有一个真命题．

【答案】C

3．命题“∀x∈R，∃n0∈N*，使得n0≥x2”的否定形式是（　　）

A．∀x∈R，∃n0∈N*，使得n0

B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n

C．∃x0∈R，∃n0∈N*，使得n0

D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n

【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，n≥x2的否定是n

【答案】D

4．已知命题p：

∃x0>0，x0＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是（　　）

A．（－∞，1）B．（－∞，1]

C．（1，＋∞）D．[1，＋∞）

【解析】p为假命题，等价于方程x＋a－1＝0无正实根，

即x＝1－a≤0，得a≥1.

【答案】D

5．命题p：

∀x∈R，sinx＋cosx≥－

，命题q：

∃x<0，e－x<1，下列选项中是真命题的是（　　）

A．p∧qB．（綈p）∨q

C．p∧（綈q）D．（綈p）∧（綈q）

【解析】因为命题p：

sinx＋cosx＝

sin

≥－

恒成立，故命题p为真命题；

对于命题q：

当x<0时，－x>0，从而得到e－x>1，故命题q是假命题，根据复合命题真值表可知p∧（綈q）是真命题．

【答案】C

【知识要点】

1．逻辑联结词

命题中的__“或”“且”“非”__叫逻辑联结词．

（1）当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中至少有一个是假命题时，p∧q是假命题．

（2）命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断

p

q

p∧q

p∨q

綈p

真

真

真

真

假

真

假

假

真

假

假

真

假

真

真

假

假

假

假

真

2.全称量词、存在量词

（1）全称量词

短语“对所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做__全称量词__，并用符号__∀__表示．含有全称量词的命题，叫做__全称命题__，全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”，简记作__∀x∈M，p（x）__．

（2）存在量词

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做__存在量词__，并用符号__∃__表示．含有存在量词的命题，叫做__特称命题__，特称命题“存在M中的元素x0，使p（x0）成立”，简记作__∃x0∈M，p（x0）__．

（3）两种命题的关系

全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.

命题

命题的否定

∀x∈M，p（x）

∃x0∈M，綈p（x0）

∃x0∈M，p（x0）

∀x∈M，綈p（x）

（4）全称量词和存在量词

量词名词

常见量词

表示符号

全称量词

所有、一切、任意、全部、每一个、任何等

∀

存在量词

存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等

∃

典例剖析　【p6】

考点1　含逻辑联结词命题的真假判断

（1）若命题“p∨q”与命题“綈p”都是真命题，则（　　）

A．命题p与命题q都是真命题

B．命题p与命题q都是假命题

C．命题p是真命题，命题q是假命题

D．命题p是假命题，命题q是真命题

【解析】因为綈p为真命题，所以p为假命题，又p∨q为真命题，所以q为真命题．

【答案】D

（2）设命题p：

∃x0∈R，x

－x0＋1<0；命题q：

若a2>b2，则a>b，则下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧q

B．p∧（綈q）

C．（綈p）∧q

D．（綈p）∧（綈q）

【解析】因为x2－x＋1＝

＋

≥

＞0成立，

所以不存在x0∈R，x

－x0＋1<0，

故命题p为假命题，綈p为真命题；

当a＝－2，b＝1时，a2>b2成立，但a>b不成立，

故命题q为假命题，綈q为真命题；

故命题p∧q，（綈p）∧q，p∧（綈q）均为假命题，

命题（綈p）∧（綈q）为真命题．

【答案】D

【点评】判断含有逻辑联结词命题真假的2个步骤：

（1）先判断简单命题p，q的真假；

（2）再根据真值表判断含有逻辑联结词的命题的真假．

考点2　全称命题与特称命题

（1）命题“对任意x∈R，都存在m0＞1，使得m0x>ex成立”的否定为（　　）

A．对任意x∈R，都存在m0>1，使得m0x≤ex成立

B．对任意x∈R，不存在m0>1，使得m0x>ex成立

C．存在x0∈R，对任意m>1，都有mx0≤ex0

D．存在x0∈R，对任意m>1，都有mx0>ex0

【解析】∵全称命题的否定是特称命题，

∴命题“对任意x∈R，都存在m0>1，使得m0x>ex成立”的否定是：

“存在x0∈R，对任意m>1，都有mx0≤ex0成立”．

【答案】C

（2）若命题“∃x0∈R，使得x

＋（a－1）x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－1，3）

B．[－1，3]

C．（－∞，－1）∪（3，＋∞）

D．（－∞，－1]∪[3，＋∞）

【解析】由题得Δ＝（a－1）2－4>0，所以a2－2a－3>0，

∴（a－3）（a＋1）>0，∴a>3或a<－1.

【答案】C

【点评】

（1）对全（特）称命题进行否定的方法：

①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；②对原命题的结论进行否定．

（2）判定全称命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p（x0）成立．

考点3　根据命题的真假求参数的取值范围

（1）命题“∃x0∈R，2x

－3ax0＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．

【解析】因题中的命题为假命题，则它的否定“∀x∈R，2x2－3ax＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，因此只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即－2

≤a≤2

.

【答案】[－2

，2

]

（2）已知a>0，且a≠1，命题p：

函数y＝loga（x＋1）在x∈（0，＋∞）内单调递减，命题q：

曲线y＝x2＋（2a－3）x＋1与x轴交于不同的两点．若“p∨q”为假，则a的取值范围是（　　）

A.

B.

∪

C.

D.

∪

【解析】当01.曲线y＝x2＋（2a－3）x＋1与x轴交于不同的两点等价于（2a－3）2－4>0，即a<

或a>

.若q为假，则a∈

.若使“p∨q”为假，则a∈（1，＋∞）∩

，即a∈

.

【答案】A

已知a∈R，命题p：

∀x∈[－2，－1]，x2－a≥0，命题q：

∃x0∈R，x

＋2ax0－（a－2）＝0.

（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

【解析】

（1）因为命题p：

∀x∈[－2，－1]，x2－a≥0.

令f（x）＝x2－a，

根据题意，只要x∈[－2，－1]时，f（x）min≥0即可，

也就是1－a≥0，即a≤1.

（2）由

（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，

命题q为真命题时，Δ＝4a2－4（2－a）≥0，

解得a≤－2或a≥1，

因为命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，所以命题p与q一真一假，

当命题p为真，命题q为假时，－2

当命题p为假，命题q为真时，a>1.

综上：

a>1或－2

【点评】以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式（组）求解即可．

方法总结　　【p7】

1．逻辑中“或”“且”“非”的含义与集合中“并”“交”“补”的含义非常类似，在一定条件下可相互转化．

2．判定复合命题真假的办法是：

首先判定简单命题的真假，再判定复合命题的真假．

3．否命题与命题的否定是两个不同的概念，要会区别，另外要掌握一些常见词的否定词．

4．要判断一个全称命题的真假，必须对限定的集合M中的每一元素x，验证p（x）是否成立．要判断一个特称命题是真命题，只要能在集合M中找到一个元素x0，使p（x0）成立即可；如果在集合M中，使p（x）成立的元素不存在，那么这个特称命题是假命题．

5．注意：

一个全称命题的否定是特称命题，如命题“∀x∈M，p（x）成立”的否定“∃x0∈M，p（x0）不成立”；特称命题的否定是全称命题，如命题“∃x0∈M，p（x0）成立”的否定“∀x∈M，p（x）不成立”．

走进高考　　【p7】

1．（2017·山东）已知命题p：

∀x>0，ln（x＋1）>0；命题q：

若a＞b，则a2>b2，下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧qB．p∧（綈q）

C．（綈p）∧qD．（綈p）∧（綈q）

【解析】由x>0得x＋1>1，ln（x＋1）>0，知p是真命题，由－1>－2，（－1）2<（－2）2，可知q是假命题，即p，綈q均是真命题，故选B.

【答案】B

考点集训　　【p177】

A组题

1．命题“∀x∈[－2，＋∞），x＋3≥1”的否定为（　　）

A．∃x0∈[－2，＋∞），x0＋3<1

B．∃x0∈[－2，＋∞），x0＋3≥1

C．∀x∈[－2，＋∞），x＋3<1

D．∀x∈（－∞，－2），x＋3≥1

【解析】∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈[－2，＋∞），x＋3≥1”的否定是“∃x0∈[－2，＋∞），x0＋3＜1”．

【答案】A

2．设p、q是两个命题，若綈（p∨q）是真命题，那么（　　）

A．p是真命题且q是假命题

B．p是真命题且q是真命题

C．p是假命题且q是真命题

D．p是假命题且q是假命题

【解析】若綈（p∨q）是真命题，则p∨q是假命题，则p，q均为假命题．

【答案】D

3．下列命题正确的是（　　）

A．∀x∈（0，＋∞），

B．∀x∈（0，2），cosx>0

C．∃x0∈（－1，0），2x0＋2＝3

D．∃x0∈（3，＋∞），x

＋5x0－24＝0

【解析】选项A不正确，如取x＝

，有

>x.因为当x∈

时，cosx<0，所以选项B不正确．当x∈（－1，0）时，x＋2∈（1，2），2x＋2∈（2，4），所以选项C正确．由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以选项D不正确.

【答案】C

4．已知命题p：

∀x，y∈R，x（x＋1）＋2>y（2－y），q：

∃x0∈R，1＋

①p∧q；②p∨q；③（綈p）∧（綈q）；④（綈p）∨（綈q），其中是真命题的有（　　）

A．①②B．①③C．②④D．③④

【解析】∵x（x＋1）＋2－y（2－y）＝x2＋x＋y2－2y＋2＝

＋（y－1）2＋

>0，∴命题p为真；∵y＝1＋

是减函数，y＝x是增函数，∴它们的图象在第一象限有交点，从而1＋

【答案】A

5．若命题“∀x∈

，x＋

≥m”是假命题，则实数m的取值范围是________．

【解析】即“∃x0∈

，x0＋

＝2，x＝1时取等号．所以m>2.

【答案】

6．命题p：

若a，b∈R，则“ab＝0”是“a＝0”的充分条件，命题q：

函数y＝

的定义域是[3，＋∞），则“p∨q”，“p∧q”，“綈p”中是真命题的为________．

【解析】∵若ab＝0，则a＝0或b＝0，即a＝0不成立；故命题p：

“ab＝0”是“a＝0”的充分条件，为假命题；∵函数y＝

的定义域是

，∴命题q为真命题；由复合命题真值表得：

綈p为真命题；p∨q为真命题；p∧q假命题．

【答案】p∨q，綈p

7．已知命题p：

∀x∈[0，1]，a≥ex，命题q：

“∃x0∈R，x

＋4x0＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是__________．

【解析】命题p为真：

a≥e；命题q为真：

16－4a≥0，a≤4，

因为命题“p∧q”是真命题，

所以p，q都为真，即实数a的取值范围是

.

【答案】

8．已知命题p：

“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”，命题q：

“∃x0∈R，x

＋2ax0＋a＋2＝0”，若命题“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．

【解析】命题p为真：

a≤（x2）min＝1.

命题q为真：

Δ＝4a2－4（a＋2）≥0⇔a≤－1或a≥2.

∵“p∨q”为真命题，∴p、q中至少有一个为真命题．

即a≤1或a≤－1或a≥2，所以a≤1或a≥2.

∴“p∨q”是真命题时，实数a的取值范围是（－∞，1]∪[2，＋∞）．

B组题

1．已知命题p是命题“若ac>bc，则a>b”的逆命题；命题q：

若复数（x2－1）＋（x2＋x－2）i是实数，则实数x＝1，则下列命题中为真命题的是（　　）

A．p∨qB．（綈p）∧q

C．p∧（綈q）D．（綈p）∧（綈q）

【解析】由题得命题p：

若a>b，则ac>bc，是假命题．

因为（x2－1）＋（x2＋x－2）i是实数，

所以x2＋x－2＝0，∴x＝－2或x＝1.

所以命题q是假命题，

故（綈p）∧（綈q）是真命题．

【答案】D

2．已知函数f（x）＝4|a|x－2a＋1.若命题：

“∃x0∈（0，1），使f（x0）＝0”是真命题，则实数a的取值范围是________．

【解析】由“∃x0∈（0，1），使得f（x0）＝0”是真命题，得f（0）·f

（1）<0⇒（1－2a）（4|a|－2a＋1）<0⇔

或

⇒a>

.

【答案】

3．命题p：

关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；命题q：

函数y＝－（5－2a）x是减函数，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围为________．

【解析】先求出命题p，q为真命题时实数a的取值范围，x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，则Δ＝（2a）2－4×1×4<0，解得－2

－21，得a<2，即命题q：

a<2.p∨q为真命题，则p和q至少有一个为真，p∧q为假命题，则p和q至少有一个为假，所以p和q一真一假，但当p为真时，q一定为真，故p假且q真，所以实数a的取值范围是（－∞，－2]．

【答案】（－∞，－2]

4．已知m∈R，命题p：

对∀x∈

，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命题q：

∃x0∈

，使得m≤ax0成立．

（1）若p为真命题，求m的取值范围；

（2）当a＝1时，若p∧q为假，p∨q为真，求m的取值范围．

【解析】

（1）设y＝2x－2，则y＝2x－2在[0，1]上单调递增，

∴ymin＝－2.

∵对任意x∈[0，1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，

∴m2－3m≤－2，即m2－3m＋2≤0，

解得1≤m≤2.

∴m的取值范围是

.

（2）a＝1时，y＝x在区间[－1，1]上单调递增，

∴ymax＝1.

∵存在x0∈[－1，1]，使得m≤ax0成立，

∴m≤1.

∵p∧q为假，p∨q为真，

∴p与q一真一假，

①当p真q假时，

可得

解得1＜m≤2；

②当p假q真时，

可得

解得m<1.

综上可得1＜m≤2或m＜1.

∴实数m的取值范围是（－∞，1）∪（1，2]．