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5.3定轴转动的转动惯量
•质量离散分布的刚体J二lAm;r.2
•质量连续分布的刚体J-\r2dm
d加为质量元,简称质元。
其计算方法如下:
质量为线分布dm=Adi
质量为面分布dm=bds
质量为体分布dm=pdV
丿与质量大小、质量分布、转轴位置有关
演示程序:
影响刚体转动惯量的因素
IfJ
例题1求质量为加,长为Z的均匀细棒对下面转轴的转动惯量:
(1)转轴通过棒的中心并和棒垂直;
(2)转轴通过棒的一端并和棒垂直。
解:
(1)在棒上离轴兀处,取一长度元dx(如图所示),如果棒的质量线密度为儿则长度元的质臺为dm=2dx,椒据转动惯畫计算公式:
12
2$22rdm=Axdx=
J-〃212
将加=〃代入上式,得:
7o=
(2)当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时
r2dm=
J212
Axdx=—ml
o3
L==l
例题2)半径为R的质量均匀分布的细圆环,质量均为m,试劳别求出对通过质心并与环面垂直的焦轴的转动惯量。
鑑蠶翔、M腸體质圆盘
R_
解:
如图所示,将圆盘看成许多薄圆环组成。
取任一半径为宽度为dr的薄圆环,此薄圆环的转动惯量为
dJ=r2dm
d加为薄圆环的质量。
以p表示圆盘的质量体密度
dm=pdV=p・27vrhdr
3
dJ=27irhpdr
=(dJ=C27rr3hpdr=丄兀R^h.p
」Jo2
7rR2h
一个质量为加、半径为人的实心圆柱体对其中心轴的转动惯量也与上述结果相同。
例4)求一质量为m的均匀实心球对其一条直径为轴的转动惯蠢。
8§22_°3
=—p7vR—一mRrrt—Q7vR
1553
(1)平行轴定理
Jd=Jc十md
(2)薄板的正交轴定理
常见刚体的转动惯量
丿=加(彳+厂;)/2
J=2mr2/3
例题1一长为2,质量为加的匀质细杆竖直放置,
其下端与一固定饺链。
相连,并可绕其转动•当其
受到微小扰动时,细杆将在重力的作用下由静止开始绕较链。
转动•试计算细杆转到与铅直线呈&解:
受力分析
1
MZ|=—mglsin0=丿0
2
J=-ml2
d®dO3g
二——sin6
dOdf2/
l——/codco
二—sin9^9
21
初始条件为:
6M),妇0
COdCD
3g
21
sin0d0
o
—(1-cos&)
21
例题2—个质量为M,半径为人的定滑轮(当作均匀圆盘)上面绕有细绳。
绳的一端固定在滑轮边上,另一端挂一质量为加的物体而下垂。
忽略轴处摩擦,求物体观由静止下落方高度时的速度和此时滑轮的角速度。
解:
对定滑轮M,由转动定律,对于轴0,有
12
RT=Jfi=-MR0
2
对物体加,由牛顿第二定律,
mg—T—ma
滑轮和物体的运动学关系为a^R(3
以上三式联立,可得物体下落的加速度为
m
物体下落高度仇时的速度
这时滑轮转动的角速度
/4mgh
vV2m+Mco=一二
RR
例题3—质量为加、半径为人的均质圆柱,在水平外力作用下,在粗糙的水平面上作纯滚动,力的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为2,如图所示。
求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。
解:
设静摩擦力/•的方向如图所示,则由质心运动方程
纯滚动条件为:
圆柱对质心的转动惯量为:
1
=——mR
联立以上四式,解得:
2F(R+l)
=
3mR
R-21
f=F
3R
由此可见
当2<血2时J>0,静摩擦力向后;
当2>血2时JVO,静摩擦力向前。
例一静止刚体受到一等于Mq(N.m)的不变力矩的作用,同肘又引起一阻力矩叫,Ml与刚体转动的角速度成正比,即IM]|=a©(Nm),(a^j常数)。
又已知刚体对转轴的转动惯量为J,试求刚体角速度变化的规律。
M+
解⑷列方程:
分离变量:
例)设一细杆的质量为m,长为L,一端支以枢轴而能自由旋转,设此杆自水平静止释放。
求订)当杆与铅直方向成a角时的角加速度:
2)当杆过铅直位置肘的角速度:
3)当杆过铅直位置时,轴作用于杆上的力。
建立OXYZ坐标系(并以Z轴为转动量的正方向)
/?
=—sincr
2L
3)求N二?
....实际上正是质心的转动的切向加速度
....实际上正是质心的转动的法向加速度
{
由角量和线量的关系:
代入⑴J
(2)式中:
.
5入
•・.N=
二—mgj
2
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