二次函数图像解析版.docx
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二次函数图像解析版
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二次函数
一、选择题
1.若二次函数y=ax2的图象经过点P(﹣2,4),则该图象必经过点(
)
A.(2,4)
B.(﹣2,﹣4)C.(﹣4,2)D.(4,﹣2)
.在二次函数
y=﹣x
2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是(
)
2
A.x<1
B.x>1C.x<﹣1D.x>﹣1
2
2xc与y轴的交点为(0,﹣3),则下列说法不正确的是(
)
3.若抛物线y=x﹣
+
A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴是x=1
C.当x=1时,y的最大值为﹣4
D.抛物线与x轴的交点为(﹣1,0),(3,0)
4.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点(1,0)和点(0,﹣2),且顶点在第三象
限,设P=a﹣b+c,则P的取值范围是()
A.﹣4<P<0B.﹣4<P<﹣2C.﹣2<P<0D.﹣1<P<0
2
bxc的图象先向右平移
2个单位,再向下平移3
个单位,所得图象的函
5.抛物线y=x++
数解析式为y=(x﹣1)2﹣4,则b、c的值为(
)
A.b=2,c=﹣6
B.b=2,c=0
C.b=﹣6,c=8D.b=﹣6,c=2
(≠)的图象与
x
轴的交点坐标为(﹣,),则抛物线
2+bx
6.若一次函数y=ax+ba0
2
0
y=ax
的对称轴为(
)
A.直线x=1
B.直线x=﹣2
C.直线x=﹣1
D.直线x=﹣4
7.将抛物线y=(x﹣1)2+3向左平移1个单位,再向下平移3个单位后所得抛物线的解
析式为()
A.y=(x﹣2)2B.y=(x﹣2)2+6C.y=x2+6D.y=x2
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8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是()
A.ac>0
B.当x>1时,y随x的增大而减小
C.b﹣2a=0
D.x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根
9.对于抛物线y=﹣(x+1)2+3,下列结论:
①抛物线的开口向下;
②对称轴为直线x=1;
③顶点坐标为(﹣1,3);
④x>1时,y随x的增大而减小,
其中正确结论的个数为()
A.1B.2C.3D.4
.二次函数
2+bx的图象如图所示,那么一次函数
y=ax+b的图象大致是(
)
10
y=ax
A.B.C.D.
二、填空题
11.已知二次函数的y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图所示,有下列5个结论:
①abc<0;
②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b<m(am+b)(m≠1的实数),其中正确
结论的序号有.
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.若关于
x
的函数
2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点,则实数
k的值为.
12
y=kx
13.如图,抛物线的顶点为P(﹣2,2),与y轴交于点A(0,3).若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′(2,﹣2),点A的对应点为A′,则抛物线上PA段扫过
的区域(阴影部分)的面积为.
.二次函数
2
+1的图象的顶点坐标是.
14
y=x
.若抛物线
2+bx+c与x轴只有一个交点,且过点
A(m,n),B(m+6,n),则
15
y=x
n=.
16.如图,一段抛物线:
y=﹣x(x﹣3)(0≤x≤3),记为C1,它与x轴交于点O,A1;
将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3;
⋯
如此进行下去,直至得C13.若P(37,m)在第13段抛物线C13上,则m=.
.抛物线
2+1的最小值是.
17
y=x
18.如图,以扇形OAB的顶点O为原点,半径OB所在的直线为x轴,建立平面直角坐
标系,点B的坐标为(2,0),若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点,
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则实数k的取值范围是.
19.请写出一个开口向上,并且与
y轴交于点(
0,1)的抛物线的解析式,
y=
.
三、解答题
2
20.如图,抛物线y=a(x﹣1)+4与
x轴交于点A,B,与y轴交于点C,过点
C作
CD
∥x轴交抛物线的对称轴于点D,连接BD,已知点A的坐标为(﹣1,0)
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求梯形COBD的面积.
21.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交C点,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,3)它的对称轴是直线x=.
(1)求抛物线的解析式;
(2)M是线段AB上的任意一点,当△MBC为等腰三角形时,求M点的坐标.
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参考答案与试题解析
一、选择题
1
y=ax2的图象经过点P(﹣2,4),则该图象必经过点(
)
.若二次函数
A.(2,4)
B.(﹣
2,﹣4)C.(﹣4,2)D.(4,﹣2)
【解答】解:
∵二次函数
y=ax2的对称轴为y轴,
∴若图象经过点P(﹣2,4),则该图象必经过点(2,4).故选:
A.
.在二次函数
y=﹣x
2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是(
)
2
A.x<1
B.x>1C.x<﹣1D.x>﹣1
【分析】抛物线y=﹣x2+2x+1中的对称轴是直线x=1,开口向下,x<1时,y随x的增大
而增大.
故选A.
3.若抛物线
y=x2﹣2x+c与
y轴的交点为(
0,﹣3),则下列说法不正确的是(
)
A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴是x=1
C.当x=1时,y的最大值为﹣4
D.抛物线与x轴的交点为(﹣1,0),(3,0)
【解答】解:
∵抛物线过点(0,﹣3),
∴抛物线的解析式为:
y=x2﹣2x﹣3.
A、抛物线的二次项系数为1>0,抛物线的开口向上,正确.
B、根据抛物线的对称轴x=﹣=﹣=1,正确.
C、由A知抛物线的开口向上,二次函数有最小值,当
x=1时,y的最小值为﹣4,而不
是最大值.故本选项错误.
2﹣2x﹣3=0,解得:
x
﹣,
,抛物线与
x
轴的交点坐标为(﹣
,
D、当y=0时,有x
1=1x2=3
1
0),(3,0).正确.
故选C.
4.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点(1,0)和点(0,﹣2),且顶点在第三象
限,设
P=a﹣b+c,则
P的取值范围是(
)
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A.﹣4<P<0B.﹣4<P<﹣2C.﹣2<P<0D.﹣1<P<0
解:
∵二次函数的图象开口向上,
∴a>0,
∵对称轴在y轴的左边,
∴﹣<0,
∴b>0,
∵图象与y轴的交点坐标是(0,﹣2),过(1,0)点,代入得:
a+b﹣2=0,
∴a=2﹣b,b=2﹣a,
∴y=ax2+(2﹣a)x﹣2,
当x=﹣1时,y=a﹣b+c=a﹣(2﹣a)﹣2=2a﹣4,
∵b>0,
∴b=2﹣a>0,
∴a<2,
∵a>0,
∴0<a<2,∴0<2a<4,∴﹣4<2a﹣4<0,
∵y=a﹣b+c=a﹣(2﹣a)﹣2=2a﹣4,
∴﹣4<a﹣b+c<0,即﹣4<P<0.
故选:
A.
5.抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得图象的函
数解析式为y=(x﹣1)2﹣4,则b、c的值为()
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A.b=2,c=﹣6B.b=2,c=0C.b=﹣6,c=8D.b=﹣6,c=2【解答】解:
函数y=(x﹣1)2﹣4的顶点坐标为(1,﹣4),
∵是向右平移2个单位,再向下平移3个单位得到,
∴1﹣2=﹣1,﹣4+3=﹣1,
∴平移前的抛物线的顶点坐标为(﹣1,﹣1),
∴平移前的抛物线为y=(x+1)2﹣1,
即y=x2+2x,
∴b=2,c=0.
故选:
B.
6.若一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(﹣2,0),则抛物线y=ax2+bx
的对称轴为()
A.直线x=1B.直线x=﹣2C.直线x=﹣1D.直线x=﹣4
【解答】解:
∵一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(﹣2,0),
∴﹣2a+b=0,即b=2a,
∴抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=﹣=﹣=﹣1.
故选:
C.
7.将抛物线y=(x﹣1)2+3向左平移1个单位,再向下平移3个单位后所得抛物线的解
析式为()
A.y=(x﹣2)2B.y=(x﹣2)2+6C.y=x2+6D.y=x2
【解答】解:
将抛物线y=(x﹣1)2+3向左平移1个单位所得直线解析式为:
y=(x﹣1+1)2+3,即y=x2+3;
再向下平移3个单位为:
y=x2+3﹣3,即y=x2.
8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列
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结论中正确的是()
A.ac>0
B.当x>1时,y随x的增大而减小
C.b﹣2a=0
D.x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根
【解答】解:
由二次函数y=ax2+bx+c的图象可得:
抛物线开口向上,即a>0,抛物线与y轴的交点在y轴负半轴,即c<0,
∴ac<0,选项A错误;
由函数图象可得:
当x<1时,y随x的增大而减小;当x>1时,y随x的增大而增大,选项B错误;
∵对称轴为直线
x=1,∴﹣
=1,即
2a+b=0,选项
C错误;
由图象可得抛物线与x轴的一个交点为(﹣
∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),
1,0),又对称轴为直线
x=1,
则x=3是方程ax2+bx+c=0的一个根,选项D正确.故选D.
9.对于抛物线y=﹣(x+1)2+3,下列结论:
①抛物线的开口向下;
②对称轴为直线x=1;
③顶点坐标为(﹣1,3);
④x>1时,y随x的增大而减小,
其中正确结论的个数为()
A.1B.2C.3D.4
【解答】解:
①∵a=﹣<0,
∴抛物线的开口向下,正确;
②对称轴为直线x=﹣1,故本小题错误;
③顶点坐标为(﹣1,3),正确;
④∵x>﹣1时,y随x的增大而减小,
∴x>1时,y随x的增大而减小一定正确;
综上所述,结论正确的个数是①③④共3个.
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故选:
C.
.二次函数
2+bx的图象如图所示,那么一次函数
y=ax+b的图象大致是(
)
10
y=ax
A.B.C.D.
【解答】解:
∵二次函数图象开口方向向下,
∴a<0,
∵对称轴为直线x=﹣>0,
∴b>0,
∴一次函数y=ax+b的图象经过第二四象限,且与y轴的正半轴相交,
C选项图象符合.故选:
C.
二、填空题
11.已知二次函数的y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图所示,有下列5个结论:
①abc<0;
②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b<m(am+b)(m≠1的实数),其中正确结论的序号有①③④.
【解答】解:
①由图象可知:
a<0,b>0,c>0,abc<0,故此选项正确;
②当x=﹣1时,y=a﹣b+c<0,即b>a+c,错误;
③由对称知,当
x=2时,函数值大于
0,即y=4a2b
c>0,故此选项正确;
+
+
④当x=3时函数值小于0,y=9a+3b+c<0,且x=﹣
=1,
即a=﹣,代入得9(﹣)+3b+c<0,得2c<3b,故此选项正确;⑤当x=1时,y的值最大.此时,y=a+b+c,
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而当x=m时,y=am2+bm+c,
所以a+b+c>am2+bm+c,
故a+b>am2+bm,即a+b>m(am+b),故此选项错误.
故①③④正确.
故答案为:
①③④.
2
2x﹣1
与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为
0或﹣1.
12.若关于x的函数y=kx+
【解答】解:
令
y=0,则kx22x﹣1=0.
+
2
∵关于x的函数y=kx+2x﹣1与x轴仅有一个公共点,
①当k=0时,2x﹣1=0,即x=,∴原方程只有一个根,∴k=0符合题意;
②当
k≠0时,△=4+4k=0,
解得,k=﹣1.
综上所述,
k=0或﹣1.
故答案为:
0或﹣1.
13.如图,抛物线的顶点为
使其顶点P沿直线移动到点
P(﹣2,2),与P′(2,﹣2),点
y轴交于点A(0,3).若平移该抛物线
A的对应点为A′,则抛物线上PA段扫过
的区域(阴影部分)的面积为
12.
【解答】解:
连接AP,A′P,′过点A作AD⊥PP′于点D,
由题意可得出:
AP∥A′P,′AP=A′P,′
∴四边形APP′A是′平行四边形,
∵抛物线的顶点为P(﹣2,2),与y轴交于点A(0,3),平移该抛物线使其顶点P
沿直线移动到点P′(2,﹣2),
∴PO==2,∠AOP=45°,
又∵AD⊥OP,
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∴△ADO是等腰直角三角形,
∴PP′=2×2=4,
∴AD=DO=sin45°?
OA=×3=,
∴抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为:
4×=12.
故答案为:
12.
.二次函数
2+1的图象的顶点坐标是
(0,1)
.
14
y=x
【解答】解:
二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是(
0,1).
故答案为:
(0,1).
15.若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,且过点
A(m,n),B(m+6,n),则
n=9.
【解答】解:
∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,
∴当x=﹣时,y=0.且b2﹣4c=0,即b2=4c.
又∵点A(m,n),B(m+6,n),
∴点A、B关于直线x=﹣对称,
∴A(﹣﹣3,n),B(﹣+3,n)
将A点坐标代入抛物线解析式,得:
n=(﹣﹣3)2+b(﹣﹣3)+c=﹣b2+c+9
∵b2=4c,
∴n=﹣×4c+c+9=9.
故答案是:
9.
16.如图,一段抛物线:
y=﹣x(x﹣3)(0≤x≤3),记为C1,它与x轴交于点O,A1;
将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3;
⋯
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如此进行下去,直至得C13.若P(37,m)在第13段抛物线C13上,则m=2.
【解答】解:
∵一段抛物线:
y=﹣x(x﹣3)(0≤x≤3),
∴图象与x轴交点坐标为:
(0,0),(3,0),
∵将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;
将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3;
⋯
如此进行下去,直至得C13.
∴C13的解析式与x轴的交点坐标为(36,0),(39,0),且图象在x轴上方,
∴C13的解析式为:
y13=﹣(x﹣36)(x﹣39),当x=37时,y=﹣(37﹣36)×(37﹣39)=2.
故答案为:
2.
21
的最小值是1.
17.抛物线y=x+
【解答】解:
抛物线
y=x2
1
的最小值是1
.
+
故答案为:
1.
18.如图,以扇形OAB的顶点O为原点,半径OB所在的直线为x轴,建立平面直角坐
标系,点B的坐标为(2,0),若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点,
则实数k的取值范围是﹣2<k<.
【解答】解:
由图可知,∠AOB=45°,
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∴直线OA的解析式为y=x,
联立消掉y得,
x2﹣2x+2k=0,
△=b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×1×2k=0,
即k=时,抛物线与OA有一个交点,
此交点的横坐标为1,
∵点B的坐标为(2,0),
∴OA=2,
∴点A的坐标为(,),
∴交点在线段AO上;
当抛物线经过点B(2,0)时,×4+k=0,
解得k=﹣2,
∴要使抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点,实数k的取值范围是﹣2<k
<.
故答案为:
﹣2<k<.
2
1(答
19.请写出一个开口向上,并且与y轴交于点(0,1)的抛物线的解析式,y=x+
案不唯一).
【解答】解:
抛物线y=x2+1开口向上,且与y轴的交点为(0,1).
三、解答题
20.如图,抛物线y=a(x﹣1)2+4与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,过点C作CD
∥x轴交抛物线的对称轴于点D,连接BD,已知点A的坐标为(﹣1,0)
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求梯形COBD的面积.
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【解答】解:
(1)将A(﹣1,0)代入y=a(x﹣1)2+4中,得:
0=4a+4,
解得:
a=﹣1,
则抛物线解析式为y=﹣(x﹣1)2+4;
(2)对于抛物线解析式,令x=0,得到y=3,即OC=3,
∵抛物线解析式为y=﹣(x﹣1)2+4的对称轴为直线x=1,
∴CD=1,
∵A(﹣1,0),
∴B(3,0),即OB=3,
=
=6
则S梯形COBD
.
21.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交C点,点A的坐标为(2,0),点
C的坐标为(0,3)它的对称轴是直线x=.
(1)求抛物线的解析式;
(2)M是线段AB上的任意一点,当△MBC为等腰三角形时,求M点的坐标.
【解答】解:
(1)设抛物线的解析式
把A(2,0)、C(0,3)代入得:
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解得:
∴
即
(2)由y=0得
∴x1=2,x2=﹣3
∴B(﹣3,0)
①CM=BM时
∵BO=CO=3即△BOC是等腰直角三角形∴当M点在原点O时,△MBC是等腰三角形
∴M点坐标(0,0)
②如图所示:
当BC=BM时
在Rt△BOC中,BO=CO=3,
由勾股定理得BC=
∴BC=,
∴BM=
∴M点坐标(
,
综上所述:
M点坐标为:
M1(
,M2(0,0).
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