届人教A版 双曲线 检测卷1.docx

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届人教A版双曲线检测卷1

考点测试53　双曲线

一、基础小题

1．已知平面内两定点A（－5,0），B（5,0），动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是（　　）

A.－＝1B.－＝1（x≥4）

C.－＝1D.－＝1（x≥3）

答案　D

解析　由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支，故排除A、C；又c＝5，a＝3，∴b＝＝4.

∵焦点在x轴上，∴轨迹方程为－＝1（x≥3）．故选D.

2．若双曲线－＝1（a>0，b>0）的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（　　）

A.B．5C.D．2

答案　A

解析　焦点（c,0）到渐近线y＝x的距离为＝2a，解得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2，∴离心率e＝＝.

3．已知双曲线C：

－＝1的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为（　　）

A.－＝1B.－＝1

C.－＝1D.－＝1

答案　A

解析　根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解．

∵－＝1的焦距为10，

∴c＝5＝.①

又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P（2,1）在渐近线上，

∴＝1，即a＝2b.②

由①②解得a＝2，b＝，

则C的方程为－＝1，故应选A.

4．已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，则|AB|＝（　　）

A．2B．3C．4D．2＋1

答案　C

解析　设双曲线的实半轴长为a，依题意可得a＝1，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，又|AF1|＝|BF1|，故|AF2|－|BF2|＝4，又|AB|＝|AF2|－|BF2|，故|AB|＝4，选C.

5．已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的焦点分别为F1（－c,0），F2（c,0）（c>0），过F2的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点．设＋＝m，＋＝n，则下列各式成立的是（　　）

A．|m|>|n|B．|m|<|n|

C．|m－n|＝0D．|m－n|>0

答案　C

解析　取过点F2且垂直于x轴的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点，则＋＝m＝2，＋＝n＝2，故|m－n|＝0，选C.

6．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程是（　　）

A.－＝1B.－＝1

C.－＝1D.－＝1

答案　D

解析　依题意得a2＋b2＝c2＝7，

由此设双曲线方程为－＝1，

另设直线与双曲线的交点为M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为（x，y）．

则－＝1，①

－＝1，②

①－②得：

（x1＋x2）（x1－x2）＝（y1＋y2）（y1－y2），

又由x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，x＝－，y＝x－1，k＝＝1，得a2＝2.

∴双曲线方程为－＝1，故选D.

7．已知双曲线C：

－＝1（a>0，b>0）的离心率e＝2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程为________．

答案　x2－＝1

解析　由题意得解得则b＝，故所求方程为x2－＝1.

8．设F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离为________．

答案　17

解析　解法一：

∵实轴长2a＝8，半焦距c＝6，

∴||PF1|－|PF2||＝8.

∵|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或|PF2|＝17.

又∵|PF2|的最小值为c－a＝6－4＝2，

∴|PF2|＝17.

解法二：

由题知，若P在右支上，

则|PF1|≥2＋8＝10>9，∴P在左支上．

∴|PF2|－|PF1|＝2a＝8，∴|PF2|＝9＋8＝17.

二、高考小题

9．[2016·全国卷Ⅰ]已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（　　）

A．（－1,3）B．（－1，）C．（0,3）D．（0，）

答案　A

解析　∵原方程表示双曲线，且焦距为4，

∴①

或②

由①得m2＝1，n∈（－1,3）．②无解．故选A.

10．[2016·天津高考]已知双曲线－＝1（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（　　）

A.－＝1B.－＝1

C.－＝1D.－＝1

答案　D

解析　不妨设A（x0，y0）在第一象限，由题意得

由①③得x＝，④

所以y＝×＝，⑤

由②④⑤可得b2＝12.

所以双曲线的方程为－＝1.故选D.

11．[2016·浙江高考]已知椭圆C1：

＋y2＝1（m>1）与双曲线C2：

－y2＝1（n>0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（　　）

A．m>n且e1e2>1B．m>n且e1e2<1

C．m1D．m

答案　A

解析　在椭圆中，a1＝m，c1＝，e1＝.在双曲线中，a2＝n，c2＝，e2＝.因为c1＝c2，所以n2＝m2－2.从而e·e＝＝，令t＝m2－1，则t>0，e·e＝>1，即e1e2>1.结合图形易知m>n，故选A.

12．[2016·全国卷Ⅱ]已知F1，F2是双曲线E：

－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为（　　）

A.B.C.D．2

答案　A

解析　解法一：

由MF1⊥x轴，可得M，

∴|MF1|＝.由sin∠MF2F1＝，可得cos∠MF2F1＝＝，又tan∠MF2F1＝＝，∴＝，∴b2＝ac，∵c2＝a2＋b2⇒b2＝c2－a2，∴c2－a2－ac＝0⇒e2－e－1＝0，∴e＝.故选A.

解法二：

由MF1⊥x轴，得M，

∴|MF1|＝，由双曲线的定义可得|MF2|＝2a＋|MF1|＝2a＋，又sin∠MF2F1＝＝＝⇒a2＝b2⇒a＝b，∴e＝＝.故选A.

13．[2016·北京高考]双曲线－＝1（a>0，b>0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.

答案　2

解析　由OA、OC所在直线为渐近线，且OA⊥OC，知两条渐近线的夹角为90°，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为x2－y2＝a2.OB是正方形的对角线，且点B是双曲线的焦点，则c＝2，根据c2＝2a2可得a＝2.

三、模拟小题

14．[2017·山西质量监测]设P为双曲线C：

x2－y2＝1上一点，F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点，若cos∠F1PF2＝，则△PF1F2的外接圆半径为（　　）

A.B．9C.D．3

答案　C

解析　由题意知双曲线中a＝1，b＝1，c＝，所以|F1F2|＝2.因为cos∠F1PF2＝，所以sin∠F1PF2＝.在△PF1F2中，＝2R（R为△PF1F2的外接圆半径），即＝2R，解得R＝，即△PF1F2的外接圆半径为，故选C.

15．[2017·哈尔滨调研]已知双曲线C的右焦点F与抛物线y2＝8x的焦点相同，若以点F为圆心，为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为（　　）

A.－x2＝1B.－y2＝1

C.－＝1D.－＝1

答案　D

解析　设双曲线C的方程为－＝1（a>0，b>0），而抛物线y2＝8x的焦点为（2,0），即F（2,0），∴4＝a2＋b2.又圆F：

（x－2）2＋y2＝2与双曲线C的渐近线y＝±x相切，由双曲线的对称性可知圆心F到双曲线的渐近线的距离为＝，∴a2＝b2＝2，故双曲线C的方程为－＝1.

16．[2016·河南三市调研]若双曲线－＝1（a>0，b>0）和椭圆＋＝1（m>n>0）有共同的焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝（　　）

A．m2－a2B.－

C.（m－a）D．m－a

答案　D

解析　不妨设点P是第一象限内两曲线的交点，由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2，由双曲线的定义可令|PF1|－|PF2|＝2，两式联立得|PF1|＝＋，|PF2|＝－，所以|PF1|·|PF2|＝m－a.

17．[2016·河北石家庄二模]已知直线l与双曲线C：

x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为（　　）

A.B．1C．2D．4

答案　C

解析　由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，设A（x1，x1），B（x2，－x2），则OA⊥OB，AB的中点为，又因为AB的中点在双曲线上，所以2－2＝2，化简得x1x2＝2，所以S△AOB＝|OA|·|OB|＝|x1|·|x2|＝|x1x2|＝2，故选C.

18．[2016·广东茂名二模]已知双曲线：

－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，直线y＝（x＋c）与双曲线的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则双曲线的离心率为（　　）

A.B.C．2D.＋1

答案　D

解析　∵直线y＝（x＋c）过左焦点F1，且其倾斜角为60°，∴∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°.∴∠F1MF2＝90°，即F1M⊥F2M.∴|MF1|＝|F1F2|＝c，|MF2|＝|F1F2|·sin60°＝c，由双曲线的定义有：

|MF2|－|MF1|＝c－c＝2a，∴离心率e＝＝＝＋1，故选D.

一、高考大题

1．[2014·福建高考]已知双曲线E：

－＝1（a>0，b>0）的两条渐近线分别为l1：

y＝2x，l2：

y＝－2x.

（1）求双曲线E的离心率；

（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、四象限），且△OAB的面积恒为8.试探究：

是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？

若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．

解　

（1）因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，

y＝－2x，所以＝2，所以＝2，故c＝a，

从而双曲线E的离心率e＝＝.

（2）解法一：

由

（1）知，双曲线E的方程为－＝1.

设直线l与x轴相交于点C.

当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，

则|OC|＝a，|AB|＝4a，

又因为△OAB的面积为8，

所以|OC|·|AB|＝8，因此a·4a＝8，解得a＝2，

此时双曲线E的方程为－＝1.

若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为－＝1.

以下证明：

当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：

－＝1也满足条件．

设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>2或k<－2，

则C.记A（x1，y1），B（x2，y2）．

由得y1＝，

同理得y2＝.

由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|，得

·＝8，

所以m2＝4|4－k2|＝4（k2－4）．

由得（4－k2）x2－2kmx－m2－16＝0.

又因为4－k2<0，所以Δ＝4k2m2＋4（4－k2）（m2＋16）

＝－16（4k2－m2－16），

又因为m2＝4（k2－4），

所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．

因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.

解法二：

由

（1）知，双曲线E的方程为－＝1.

设直线l的方程为x＝my＋t，A（x1，y1），B（x2，y2）．

依题意得－

由得y1＝，同理得y2＝.

设直线l与x轴相交于点C，则C（t,0）．

由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|＝8，

得|t|·＝8，

所以t2＝4|1－4m2|＝4（1－4m2）．

由得（4m2－1）y2＋8mty＋4（t2－a2）＝0.

因为4m2－1<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m2t2－16（4m2－1）（t2－a2）＝0，

即4m2a2＋t2－a2＝0，即4m2a2＋4（1－4m2）－a2＝0，

即（1－4m2）（a2－4）＝0，所以a2＝4，

因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.

解法三：

当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋m，A（x1，y1），B（x2，y2）．

依题意得k>2或k<－2.

由得（4－k2）x2－2kmx－m2＝0，

因为4－k2<0，Δ>0，所以x1x2＝，

又因为△OAB的面积为8，

所以|OA|·|OB|·sin∠AOB＝8，

又易知sin∠AOB＝，

所以·＝8，化简得x1x2＝4.

所以＝4，即m2＝4（k2－4）．

由

（1）得双曲线E的方程为－＝1，

由得（4－k2）x2－2kmx－m2－4a2＝0，

因为4－k2<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k2m2＋4（4－k2）（m2＋4a2）＝0，

即（k2－4）（a2－4）＝0，所以a2＝4，

所以双曲线E的方程为－＝1.

当l⊥x轴时，由△OAB的面积等于8可得l：

x＝2，又易知l：

x＝2与双曲线E：

－＝1有且只有一个公共点．

综上所述，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.

二、模拟大题

2．[2017·惠州月考]已知双曲线C：

－＝1（a>0，b>0）的一条渐近线的方程为y＝x，右焦点F到直线x＝的距离为.

（1）求双曲线C的方程；

（2）斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B、D两点，已知A（1,0），若·＝1，证明：

过A、B、D三点的圆与x轴相切．

解　

（1）依题意有＝，c－＝，

∵a2＋b2＝c2，∴c＝2a，

∴a＝1，c＝2，∴b2＝3，

∴双曲线C的方程为x2－＝1.

（2）证明：

设直线l的方程为y＝x＋m（m>0），B（x1，x1＋m），D（x2，x2＋m），BD的中点为M，

由得2x2－2mx－m2－3＝0，

∴x1＋x2＝m，x1x2＝－，

又∵·＝1，

即（2－x1）（2－x2）＋（x1＋m）（x2＋m）＝1，

∴m＝0（舍）或m＝2，

∴x1＋x2＝2，x1x2＝－，M点的横坐标为＝1，

∵·＝（1－x1）（1－x2）＋（x1＋2）（x2＋2）

＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0，

∴AD⊥AB，

∴过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，

∵点M的横坐标为1，∴MA⊥x轴，∵|MA|＝|BD|，

∴过A、B、D三点的圆与x轴相切．

3．[2017·山东临沂月考]P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E：

－＝1（a>0，b>0）上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.

（1）求双曲线的离心率；

（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．

解　

（1）由点P（x0，y0）（x0≠±a）在双曲线－＝1上，有－＝1.

由题意有·＝，

可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝＝.

（2）联立得4x2－10cx＋35b2＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则①

设＝（x3，y3），＝λ＋，即

又C为双曲线上一点，即x－5y＝5b2，有

（λx1＋x2）2－5（λy1＋y2）2＝5b2.

化简得

λ2（x－5y）＋（x－5y）＋2λ（x1x2－5y1y2）＝5b2.②

又A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线上，

所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2.

由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5（x1－c）（x2－c）＝－4x1x2＋5c（x1＋x2）－5c2＝10b2，

②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.

4．[2017·邢台月考]直线l：

y＝kx＋1与双曲线C：

2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B.

（1）求实数k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？

若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

解　

（1）将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1后，整理得（k2－2）x2＋2kx＋2＝0.①

依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，

故

解得k的取值范围是－2

（2）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），

则由①式得②

假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）．

则由FA⊥FB，得（x1－c）（x2－c）＋y1y2＝0，

即（x1－c）（x2－c）＋（kx1＋1）（kx2＋1）＝0.

整理得（k2＋1）x1x2＋（k－c）（x1＋x2）＋c2＋1＝0.③

把②式及c＝代入③式，化简得5k2＋2k－6＝0.

解得k＝－或k＝∉（－2，－）（舍去），

可知存在k＝－使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．

5．[2016·江苏泰州质检]已知点N（1,2），过点N的直线交双曲线x2－＝1于A，B两点，且＝（＋）．

（1）求直线AB的方程；

（2）若过N的另一条直线交双曲线于C，D两点，且·＝0，那么A，B，C，D四点是否共圆？

为什么？

解　

（1）由题意知直线AB的斜率存在．

设直线AB：

y＝k（x－1）＋2，代入x2－＝1，

得（2－k2）x2－2k·（2－k）x－（2－k）2－2＝0.（*）

由Δ>0，得k<.

令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（*）的两根，

∴2－k2≠0且x1＋x2＝.

∵＝（＋），

∴N是AB的中点，∴＝1.

∴k（2－k）＝－k2＋2，∴k＝1，满足k<.

∴AB的方程为y＝x＋1.

（2）将k＝1代入方程（*），得x2－2x－3＝0，

∴x＝－1或x＝3，

∴不妨设A（－1,0），B（3,4）．

∵·＝0，∴CD垂直AB.

∴CD所在直线方程为y＝－（x－1）＋2，

即y＝3－x，代入双曲线方程整理得x2＋6x－11＝0.

令C（x3，y3），D（x4，y4）及CD中点M（x0，y0），则

x3＋x4＝－6，x3·x4＝－11，

∴x0＝＝－3，y0＝6，即M（－3,6）．

|CD|＝|x3－x4|

＝＝4，

|MC|＝|MD|＝|CD|＝2，

|MA|＝|MB|＝2，

即A，B，C，D到M的距离相等，

∴A，B，C，D四点共圆．